第十章定积分的应用 §1平面图形的面积 教学内容:平面图形面积的计算 教学目的: 理解定积分的意义;学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 直角坐标系下平面图形的面积: 由定积分的几何意义,连续曲线y=f(x)C0)与直线: x=c,x=b(b>a),x轴所围成的曲边梯形的面积为
1 第 十 章 定 积 分 的 应 用 § 1 平 面 图 形 的 面 积 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 一． 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 与直线： 轴所围成的曲边梯形的面积为：
i(xld V=,(r) 若f(x)在a,b上不都是非负的, a b 则所围成图形(如右图) 的面积为A=∫(x)t f(x)dx-f(x)dx a f(x)dx-f(x)dx 2
2 ( ) [ , ] , ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . b a c d a c e b d e f x a b A f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx = = − + − 若 在 上不都是非负的 则所围成图形（如右图） 的面积为 y = f (x) a 0 x y b b o y = f (x) c d e x y a o
般地,若平面区域是x-区域:由上 曲线y1=f1(x)、下曲线y2=f(x)、 D,=f(x) 左直线x=a、右直线x=b所围成, 则其面积公式为:A=[(x)-(x) f2(x) 若平面区域是y-区域:由左曲线 区域b x1=g(y)、右曲线x2=g2(y)、 下直线y=a、上直线y=b 所围成,则其面积公式为: g,y x=g,() A=∫g2(y)-g1(y)如 a 图所示。 y—区域
3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) b a x y f x y f x x a x b A f x f x y x g y x g y y a y b = = = = = − = = = = 一般地，若平面区域是 —区域：由上 曲线 、下曲线 、 左直线 、右直线 所围成， 则其面积公式为： 若平面区域是 —区域：由左曲线 、右曲线 、 下直线 、上直线 x—区域 2 1 , ( ) ( ) . b a A g y g y dy = − 所围成 则其面积公式为： 如 图所示。 y—区域 y x o ( ) 1 1 y = f x ( ) 2 2 y = f x a b x y o a b ( ) 1 x = g y ( ) 2 x = g y
如果平面区域既不是ⅹ—型区域,也不是y型区域,则用一组 平行于坐标轴的直线,把平面区域分成尽可能少的若干个x—型 区域与y—型区域,然后计算每一区域的面积,则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图: 上曲线由三条不同的曲线: AB、BC与CD构成;下曲 线由两条不同曲线:EF与 FG所构成。为计算其面积, 可分别过点B、C与F作平行 / 于y轴的直线,则把平面区 域分成4个x—型区域
4 如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组 平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型 区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图： 上曲线由三条不同的曲线： AB、BC与CD 构成；下曲 线由两条不同曲线：EF与 FG所构成。为计算其面积， 可分别过点B、C与F作平行 于 y轴的直线，则把平面区 域分成4个x—型区域。 y x E a b A B C D F G o
例1求抛物线y2=x与直线:x-2y-3=0 所围成的平面区域的面积 解法1:如图所示: 9/A A 所给的区域不是一个规范的ⅹ-域,如图 需将其切成两块,即可化成x-形区域的 面积问题。 第一块的面积: A=[x-(√x)]ax=2J水=3,第二块的面积: ∫(=x s)h、28总面积:A=A1+A2=10
5 解法 ： 如图所示： 所围成的平面区域的面积 例 求抛物线 与直线： 1 . 1 2 3 0 2 y = x x − y − = 所给的区域不是一个规范的x-域, 如图 需将其切成两块, 即可化成x-形区域的 面积问题。 第一块的面积 ： A B A1 A2 ,第二块的面积 ： ,总面积：
解法2:若把围成的平面区域看成 型区域:则左曲线为: 右曲线为:x=2y+3,下直线:y=-1 上直线为:y=3直接由y—型区 域面积的计算公式得面积 A=(2y+3)-y21p =10 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示 x=x(t),y=y(t)c≤t≤6
6 ( ) . 3 2 2 3 10 3 2 3, 1, , 2 3 1 2 2 − = + − = = = + = − = A y y dy y y x y y y x y 域面积的计算公式得面积 上直线为： 直接由 — 型区 右曲线为： 下直线： — 型区域：则左曲线为： 解法 ： 若把围成的平面区域看成 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示
且:x(),y(t)在[a,月]上连续,a=x(a),b=x(月) x()>0,(对于 或 的情况类似讨论) S=Ix(1dx=lx()1x(t))dt 计算中,主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常 有两种方法: 1)具体计算时常利用图形的几何特征 2)从参数方程 定义域的分析确定 例2求由椭圆+y=1所围成的面积。 解
7 且： 在 上连续， （，对于 或 的情况类似讨论）， 则 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常 有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 2）从 参数方程 定义域的分析确定 2 2 2 2 1 x y a b 例2 求由椭圆 所围成的面积。 + = 解
例3求摆线 的 拱与x轴所围的平面图形的面积(如图阴影部分) C C 2na 由图看出,t=0对应原点(0,0),t=2丌对应一拱的终点 ,所以其面积为 La(1-cost[a(t-sin t)]dt=a(1-cost)dt
8 例3 求摆线 的一 拱与x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分) 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 ,所以其面积为:
、极坐标下平面图形的面积 设曲线C由极坐标方程r=r(e), ∈[a,6]给出,其中r(0)在[a,f] r=r(6 上连续,B-a≤2x.由曲线C与 两射线:的=a、=B所围成的 rre) 平面图形的面积: r2(d0 2 和参数方程一样,极坐标情况面积的计算主要困难是积分上 下限的确定。确定上下限方法通常也是 1)利用图象;2)分析 定义域(见下页示图)
9 三、极坐标下平面图形的面积 A r d C r C r r = = = − = ( ) 2 1 2 . [ , ] ( ) [ , ] ( ) , 2 平面图形的面积： 两射线： 、 所围成的 上连续， 由曲线 与 给出，其中 在 设曲线 由极坐标方程 o r = r() ( ) = i−1 r = r( i ) r r i x 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上 下限的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 定义域 （见下页示图）
r=de peI g园 =g(6
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