第六章微分中值定理及其应用 §1拉格朗日定理和函数的单调性 教学目标 1使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意 义。掌握它的证明方法,了解它在微分中 值定理中的地位 2通过知识学习,使学生初步具有应用中值定理进行分析论 证的能力,能用以证明某些有关的命题, 特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。 3使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某 些整体性质,如单调性,有界性等 4使学生掌握拉格朗日中值定理,领会其实质,为微分学的应 用打好坚实的理论基础。 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质,而研究 函数性质的最重要工具之一就是微分中 值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 极值概念 1.回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:
1 第六章 微分中值定理及其应用 § 1 拉格朗日定理和函数的单调性 教学目标： 1 使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意 义。掌握它的证明方法，了解它在微分中 值定理中的地位。 2 通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论 证的能力，能用以证明某些有关的命题， 特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。 3 使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某 些整体性质，如单调性，有界性等。 4 使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应 用打好坚实的理论基础。 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究 函数性质的最重要工具之一就是微分中 值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 一． 极值概念： 1． 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:
定理( Ferma t) 设函数在点x的某邻域内有定义, 且在点和可导,若点为7的极值点, 则必有f(x0)=0 1、罗尔中值定理:若函数满足如下条件 (i)J在闭区间[a,b]上连续; (ii)在开区间(a,b)内可导; (ii)J(a)=f(), C y=f(r 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(5)=0 (分析)由条件(i)知在[a,b]上 有最大值和最小值,再由条件(ii)及(ii),应用费马定理便可 得到结论 证明:因为在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用 M与m表示,现分两种情况讨论: (i)若M=m,则J在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立
2 定理 ( Fermat ) 设函数 在点 的某邻域内有定义， 且在点 可导，若点 为 的极值点， 则必有 1、罗尔中值定理：若函数 满足如下条件： （i） 在闭区间[a，b]上连续； （ii） 在开区间（a，b）内可导； （iii） ， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 （ξ）=0 （分析）由条件（i）知 在[a，b]上 有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可 得到结论。 证明：因为 在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两种情况讨论： (i)若 M = m , 则 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立
(i)若m<M,则因J(a)=(b),使得最大值M与最小值m至 少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从 而ξ是的极值点,由条件(i)在点ξ处可导,故由费马定理推 知 f()=0 注1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端点高度相等,则至少 存在一条水平切线。 注2:习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充 分而非必要的,但缺少其中任何一个条 件,定理的结论将不一定成立,见下图: 缺条件2 缺条件3 例 x|<1 F(x)={0 2≤X≤-1 如 1,1≤x≤
3 (ii)若 m ＜ M，则因 (a)= (b)，使得最大值 M 与最小值 m 至 少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从 而ξ是 的极值点，由条件(ii) 在点ξ处可导，故由费马定理推 知 =0. 注 1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上， 如果曲线的两端点高度相等，则至少 存在一条水平切线。 注 2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充 分而非必要的，但缺少其中任何一个条 件，定理的结论将不一定成立，见下图： 例 如：
x1=-2:-0.09;x2=-1;x3=-0.99:0.01:1;x4=1:2; x=[X1, x2, x3, x4]; y1=0*xl; y2=NaN; y 3=X3. x3; y4=ones(siz y=[y1,y2,y3,y4];plot(x,y,’r’) axis(-2,2,-1.2,1.3]) 易见,F在x=-1不连续,在x=±1不可导,F(2)≠F(2),即 罗尔定理的三个条件均不成立,但是在 (-2,2)内存在点ξ,满足F5=0 注3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚 至无限多个,例如:
4 x1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2; x=[x1,x2,x3,x4];y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.^x3;y4=ones(siz e(x4)); y=[y1,y2,y3,y4]; plot(x,y,'r') axis([-2,2,-1.2,1.3]) 易见，F 在 x=-1 不连续，在 x=±1 不可导，F(-2)≠F（2）, 即 罗尔定理的三个条件均不成立，但是在 （-2，2）内存在点 ξ, 满足 注 3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚 至无限多个，例如：
X SII f(x 0,x=0 x=-0.2:0.005:0.2;y=(x.4).*(sin(1./x).2); X, y,r axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在[-1,1]上满足罗尔定理的条件, 4xsin 1-2x isin l cps f fx) 显然 0,x=0 在(-1,1)内存在无限多个cn=27(e2 使得(n)=0。 2、拉格朗日( Lagrange)中值定理:若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,]上连续 (ii)f在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
5 x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2); plot(x,y,'r') axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件， 显然 在（-1，1）内存在无限多个 = 使得 =0。 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 f 满足如下条件： （i）f 在闭区间[ ]上连续； （ii）f 在开区间( )内可导； 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
(5=16-(a b (分析)罗尔定理是拉格朗日 中值定理:∫(a)孑∫(b)时的特殊情况,应用罗尔定理证明此定理 要构造辅助函数(x),使得 F(x满足罗尔定理的条件 (i)-(i)且"=(x)-f(b)-f(a) f()-f(a) Fx)=fx)-fa 从而推得 x-a),x∈[a,b] Fx=f(x-fa 证明:作辅助函数 地)-玛(-a 显然,F(a)F(b)(=0),且F在[a,b上满足罗尔定理的另两 个条件,故存在点 5∈(a,b),使得 F'(=y(-5)-f=0 b 6
6 （分析）罗尔定理是拉格朗日 中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理 要构造辅助函数 ，使得 满足罗尔定理的条件 （i）-(iii) 且 ， 从而推得 证明：作辅助函数 显然，F（a）=F(b)（=0），且 F 在[a，b]上满足罗尔定理的另两 个条件，故存在点 ξ (a，b)，使得
r(=)- 即 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理a)=()时的特例 注2°几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=(x)上 至少存在一点(5,(5),该曲线在 该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅 助函数(x),正是曲线y=f(x)与 直线AB y=f(a)+ f()-f(a) 之差,事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内 的旋转,使在新坐标系下,线段AB平 行于新x轴(F(a)=F(b))。 注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精 彩典范;同时通过巧妙地数学变换,将 般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析 的重要而常用的数学思维的体现 注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种 常用的等价形式,可根据不同问题的特
7 即 注 1°罗尔定理是拉格朗日中值定理 时的特例 注 2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线 上 至少存在一点 ，该曲线在 该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB，我们在证明中引入的辅 助函数 ，正是曲线 与 直线 AB 之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内 的旋转，使在新坐标系下，线段 AB 平 行于新х轴（F（a）=F（b））。 注 3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精 彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将 一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析 的重要而常用的数学思维的体现。 注 4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种 常用的等价形式，可根据不同问题的特
点,在不同场合灵活采用: f()-f(a)=f(2)(b-a),e∈(a,b) Jf()-f(a)=a+(b-a)](b-a),∈(0,1) f(a+A)-f(a)=f(a+)h,8∈(0,1) 注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立, 因为:J在(a,b)可导可以推出f在 (a,b)连续,但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉, 改成“函数(x)在(a,b)可导且 ∫(x)在a右连续在b左连续”这样,两个条件互相独立,但文字累赘 且不便记忆,因此一般不这样叙述 中值定理的简单应用:(讲1时) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论1函数f(x)在区间I上可导且x)=0,→f(x)为I上的常 值函数 证明: 任取两点,日1(设<x2),在区间[x]上 应用拉格朗日中值定理,存在 5∈(x1x)cI,使得 f(x2)-f(x1)=f'()(x2-x1)=0
8 点，在不同场合灵活采用： 注 5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立， 因为： 在（a,b）可导可以推出ƒ在 （a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉， 改成“函数 在（a，b）可导且 在 a 右连续在 b 左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘 且不便记忆，因此一般不这样叙述。 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论1 函数 在区间I 上可导且 为I 上的常 值函数. 证明： 任取两点 （设 ），在区间 [ ] 上 应用拉格朗日中值定理，存在 ξ （ ） I，使得
推论2函数f(x)和g(x)在区间I上可导且 f(x)≡g(x),→f(x)=g(x)+c,xeI 推论3(导数极限定理)设函数′在点和的某邻域U(邓)内连续, 在U°(x)内可导,且极限 lim f(x) x→0存在,则∫在点和可导,且 f(xo)= lm f(x) 证明:分别按左右导数来证明上式成立 任取xea(),J(x)在[x,]上满足拉格朗日中 值定理条件,则存在 ∈ 使得 f(x)-f(x0) f(s) x 由于和<ξ<x,因此当→对时随之有5→对,对上式两边取极 限,使得 J(x)=lmf(x)-f(x)=mnf()=∫“(x。+0) x→x (2)同理可得(x。)=(x0-0
9 推论 2 函数 和 在区间 I 上可导且 推论 3（导数极限定理）设函数 在点 的某邻域 U（ ）内连续， 在 U°（ ）内可导，且极限 存在，则 在点 可导，且 证明：分别按左右导数来证明上式成立 （1） 任取 ， 在[ ]上满足拉格朗日中 值定理条件，则存在 ξ ，使得 由于 ＜ξ＜ ，因此当 时随之有ξ→ ，对上式两边取极 限，使得 （2）同理可得
因为f(x)=k存在,所以。+0=(x0-0=k,从而 J+(x0)=J(x0)=kf(x。)=k 注1°由推论3可知:在区间I上的导函数f(x)在I上的每一点, 要么是连续点,要么是第二类 间断点,不可能出现第一类间断点 注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。 推论4(导函数的介值性)若函数在闭区间a上可导, 且f(a)(b)<0 →3∈(a,b),3f(2)=0 证) 定理( Darboux)设函数f(x)在区间a上可导且a)≠(6) 若k为介于 f(a)与”()之间的任一实数,则35∈(a.b),3(=k 这就证得在区间I上任何两点之值相等。 可微函数单调性判别法: 1.单调性判法: 定理1设函数f(x)在区间(ab)内可导.则在(ab)内f(x)(或 )兮在ab内f(x)20(或≤0)
10 因为 = 存在，所以 = = ，从而 即 注 1°由推论 3 可知：在区间 I 上的导函数 在 I 上的每一点， 要么是连续点，要么是第二类 间断点，不可能出现第一类间断点。 注 2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。 推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 ) 定理( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 这就证得 在区间 I 上任何两点之值相等。 可微函数单调性判别法： 1． 单调性判法： 定理 1 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ↗(或 ↘) 在 内 ( 或 )