第五章导数与微分 §1导数概念 内容:1导数的概念 2导数的定义 3单侧导数 4用定义计算简单函数的导数 5导数的几何意义 重点:导数的定义和建立导数的变量数学思想。 在第一章我们研究了函数,,函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖 关系,但是,对研究运动过程来说,仅知道变量之间的依赖关系是不够的,还需 要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度,比如我国的卫星发射技术已进入 世界先进行列,并且即将发射载人宇宙飞船,火箭升空过程中飞行速度的变化非 常快,我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握,才能确保火箭准时进入 预定的轨道,可见研究物体每时每刻的速度是很重要的,掌握速度变化规律是科 学技术中的一个重要课题。 变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过平均速度△t,平均速度只能使我们对物体在一段时间 内的运动大致情况有个了解,这不但对于火箭发射控制够,就是对于比火箭速 度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的,火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时 速度都有一定的要求,至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度,而且要掌握火箭 飞行速度的变化规律 。不过瞬时速度的概念并不神秘,它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿 第一运动定理,物体运动具有惯性,不管它的速度变化多么快,在一段充分短的 时间内,它的速度变化总是不大的,可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代 替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数S,则在到t这 段时间内的平均速度为
第 五 章 导数与微分 §1 导数概念 内容： 1 导数的概念 2 导数的定义 3 单侧导数 4 用定义计算简单函数的导数 5 导数的几何意义 重点： 导数的定义和建立导数的变量数学思想。 在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖 关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需 要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入 世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非 常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入 预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科 学技术中的一个重要课题。 变速运动物体的速度问题 在中学里我们学过 平均速度 ， 平均速度只能使我们对物体在一段时间 内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制够，就是对于比火箭速 度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时 速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭 飞行速度的变化规律 。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿 第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的 时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代 替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数 ，则在 到 这 段时间内的平均速度为
s(t)s(to) 可以看出t与越接近,平均速度与如 时刻的瞬时速度越接近,当E无限接近时,平均速度就发生了一个质 的飞跃,平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度,即物体在如时刻的瞬时 速度为 s(t)-s(t) v(to)=lim- t 照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下:因为自由落体运动的运动 方程为 按照上面的公式 gt-=gto v(t=lim So=lim t-t =lim=(t+to=gt t++ 2 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 切线问题
可以看出 与 越接近，平均速度 与 时刻的瞬时速度越接近，当 无限接近 时，平均速度 就发生了一个质 的飞跃，平均速度转化为物体在 时刻的瞬时速度， 即物体在 时刻的瞬时 速度为 （1） 照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动 方程为 按照上面的公式 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。 切线问题
设曲线的方程为f(x),为过曲线上两点5(n0%)与P(x的 割线,则P的斜率为 f(rf(x, 如图,当点P(xy)沿着曲线趋近50(x)0)时,割线2,就趋近于点 20(x0))处的切线,b趋近于切线的斜率E,因此切 线的斜率应定义为 f(x)f(x) K=11 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容,但如果撇开它们具体的 物理意义,单从数量关系上看,它们有共同的本质:两者都表示函数因变量随自 变量变化的快慢程度,即都反映了函数的变化率 f(xf( 二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容,但如果撇开它们具体的物理 意义,单从数量关系上看它
设曲线的方程为 ， 为过曲线上两点 与 的 割线，则 的斜率为 如图，当点 沿着曲线趋近 时，割线 就趋近于点 处的切线， 趋近于切线的斜率 ，因此切 线的斜率应定义为 （2） 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的 物理意义，单从数量关系上看，它们有共同的本质：两者都表示函数因变量随自 变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 二、导数的定义 上述的速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理 意义，单从数量关系上看它
们有共同的本质,两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度,即都反映了 函数的变化率 lim f(x)-f(x0) (3) 定义1、设函数y=(x)在点的某邻域内有定义,若极限 f(xf( 存在,则称函数在点可导,并称该极限为函数在点和处的导数, dy df f(xo), yI 等 若上述极限不存在,则称在点0不可导 注:令x=x0+△x,y=f(x+△)-f(x0),则(3)式可改写为 f(x+Δx)-f(x) lim △y=11m =f(x Ax (4) 所以,导数是函数增量△y与自变量增量△x之比Δx的极限,这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数 f(x0)则为了在x处关于x的变化率,它能够近似描绘函数 y=(x)在点0附近的变化性态 例1求函数f(x)=x在点x=1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的 切线方程。 解:由定义求得 f(1)=1im f(1+Δx)-f(1) (1+△x)2-1 Δx 24x+Ax 2+Δx)=2 4x
们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了 函数的变化率 （3） 定义 1、设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在点 可导，并称该极限为函数 在点 处的导数， 等. 若上述极限不存在，则称 在点 不可导。 注：令 ， ，则（3）式可改写为 （4） 所以，导数是函数增量△y 与自变量增量△x 之比 的极限，这个增量比称 为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 则为 在χ0处关于 的变化率，它能够近似描绘函数 在点 附近的变化性态。 例 1 求函数 在点 x=1 处的导数，并求曲线在点（1，1）处的 切线方程。 解：由定义求得
由此知道抛物线y=x在点(1,1)处的切线斜率 为k=f()=2 所以切线方程为 2(x-1) 例2求函数x在x0≠0处的导数 解根据导数的定义 f(xo)=lim Xo+Ax = lim xo-xn-Ax △x0 Ax0△x0(x0+△x) lim Ax0x0(x0+△x 例3证明函数f(x)=x在点x=0处不可导 证:因为 f(x)f(0) -1 0 所以,函数f(x)1x在点x=0处不可导 极限x0x-0不存在,所以f(x)在x=0处不可导 Xsin二,x≠0 例4证明函数 x=0x=0处不可导
由此知道抛物线 在点（1，1）处的切线斜率 为 所以切线方程为 即 . 例 2 求函数 在 处的导数 解 根据导数的定义 例 3 证明函数 在点 处不可导. 证: 因为 所以，函数 在点 处不可导. 极限 不存在，所以 在 处不可导. 例 4 证明 函数 ， 处不可导
证明由于极 lim 限 1元 不存在,所以)在x=0处不可导 例5常量函数f(x)=c在任何一点 x的导数都等于零,即 f(x)=0 接下来我们来了解一下函数在点x可导与函数在点0连续的关系,为此先介 绍有限增量公式 由无穷小量和导数的定义,(4)式可写为 △y=f(x0)△x+0(△x) 我们称这个是式子为有限增量公式 注:此公式对△x=0仍旧成立。利用有限增量公式,可得下面结论: 定理1若函数(x)在不0处可导,则函数f(x)在0处连续。但是可 导仅是连续的充分条件,而不是必要条件,比如:函数
证明 由于极 限 ， 不存在,所以 在 处不可导. 例 5 常量函数 在任何一点 的导数都等于零，即 接下来我们来了解一下函数在点 可导与函数在点 连续的关系，为此先介 绍有限增量公式. 由无穷小量和导数的定义，（4）式可写为 我们称这个是式子为有限增量公式。 注：此公式对△χ= 0 仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论： 定理 1 若函数 在 处可导，则函数 在 处连续。但是可 导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数
y=|x在x=0处连续,但不可导。 例2证明函数f(x)=xD(x)仅在点x0=0处可导。其中D(x)为狄利 克雷函数 D(x) 当x为有理数 0,当x为无理数 证:当x0≠0时,由归结原理可得f(x)在x=x。处不连续,所以,由 定理5.1,f(x)=x在x=x≠0处不可导。 当x=0时,由于D(x)为有界函数,因此得到 f(0)=1im2 f(x)-f(0) C=limxD(x)=0 (二)函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限,对于定义在某个闭区间或半开区间上的函 数,如果要讨论改函数在端点处的变化率时,就要对导数概念加以补充,引出单 侧导数的概念。 定义2设函数y=f()在点的某右邻域(xn,x+6)上有定义,若右 极限 Ay f(x+Δx)-f(x1) A △x<8) 或 ffxc-fxo) 存在,则称该极限值为J在点x。的右导数,记作+(0),类似地,可 定义左导数 f(x=1f(+△x)-f(x) 右导数和左导数统称为单侧导数
在 处连续，但不可导。 例 2 证明函数 仅在点 = 0 处可导。其中 D（ ）为狄利 克雷函数 证：当 x0≠0 时，由归结原理可得 在 处不连续，所以, 由 定理 5.1， 在 处不可导。 当 时，由于 为有界函数, 因此得到 （二）函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函 数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。 定义 2 设函数 在点 的某右邻域 上有定义，若右 极限 (0＜ ＜ 或 ( 存在，则称该极限值为 在点 0 的右导数，记作 ，类似地，可 定义左导数 右导数和左导数统称为单侧导数
如同左、右极限与极限之间的关系,导数与单侧导数的关系是: 定理5.2若函数f(x)在点的某邻域内有定义,则(x0)存在的充分必要 条件是:f(),2(x)都存在,且 说明:分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论,通过左、右导数来 判断该点是否存在导数及若存在应等于什么 例J(2=1x1,0=如m+=9n-7 f(0)=1mx|-szb下1 X x→0 例讨论函数f()2=x2gx在x=0的导数 ≥0 f(x)= ∫(0)=m9 x2-0 0 Jf+(0) 由定理2,f(O)=0 连续函数不存在导数举例 f(x)={2,x≤0 函数 x,x>0,x=0处是焦点,不可导
如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是： 定理 5.2 若函数 在点 的某邻域内有定义，则 存在的充分必要 条件是： 都存在，且 = 。 说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来 判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。 例 例 讨论函数 在 的导数。 解 由定理 2， 连续函数不存在导数举例 函数 ， 处是焦点，不可导
xsIn X≠0 在x=0处振荡,左右导数都不存在 (三)导函数 若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数), 则称J为1上的可导函数。此时对每一个x∈1,都有f的一个导数f(x)(或单 侧导数)与之对应,这样就定义了一个在I上的函数,称为在I上的导函数, f(x), y, 也简称为导数,记作 ax等.即 f(x)= lim f(x+△x)-f(x X∈I Ax 说明:1°区间上的可导概念与连续一样,也是逐点定义的局部概念 在物理学中导数y也常用牛顿记号y表示,而记号d是 莱布尼茨
在 处振荡，左右导数都不存在。 （三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数）， 则称 为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 的一个导数 （或单 侧导数）与之对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 在 I 上的导函数， 也简称为导数，记作 等. 即 . 说明：1°区间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。 2°在物理学中导数yˊ也常用牛顿记号y ` 表示，而记号 是 莱布尼茨
dy dy 首先引用的。目前我们把dx看作为一个整体,也可把它理解为d施加 于y的求导运算,待到学过“微分”之后,将说明这个记号实际上是一个“商” f'|,。或 相应于上述各种表示导数的形式, dx 例6证明: (i)(x)=nx2,n为正整数 (ii) (sinuxy'=casx, (cosxd'=-sinx ug,x=lg(a0),特别( (iii) 证:(i)对于y=x,由于 y(x+△xy)-x =c1x1+C2x2-2△x+…+CAx1 Ax 因此 y= lim y =lim(cx21+c2x2-2-△x+…+cAx4) Ax (ii)下面证第一个等式,类似可证第二个等式,由于 Ax winfx +Ax)-sirx 2sin--casix+ sfx 因为cosx是(-∞,+∞)上的连续函数,因此得到 (six= lim lim cosfx+ 4r 0△xAx (ii)由于 log (1 AY
首先引用的。目前我们把 看作为一个整体，也可把它理解为 施加 于 y 的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”， 相应于上述各种表示导数的形式， 例 6 证明： (i) ; (ii) (iii) 证：（i）对于 y = x n , 由于 因此 = (ii) 下面证第一个等式，类似可证第二个等式，由于 = 因为 cosx 是（- ∞, + ∞）上的连续函数，因此得到 = cos . (iii) 由于