§3数列极限存在的条件 单调有界定理:任何单调有界数列都有极限 例1设4=11 2 证明该数列收敛。 例2证明数列 … 收敛,并求其极限。(c15(n)) clf, n=20; a(1)=sgrt(2); plot([O; n], [2: 2]), hold on for i=l: n a (i+1=sgrt(2+a(i)) plot(i, a(i),r'), hold axis([1,n,1,2.2]) 数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且 +=√2+a,利用单调有界定理,设 其极限为A,则有 A=√2+A A=2
§3 数列极限存在的条件 单调有界定理：任何单调 有界数列都有极限。 例 1 设 ， 证明该数列收敛。 例 2 证明数列 收敛，并求其极限。（c15(n)） clf,n=20; a(1)=sqrt(2); plot([0;n],[2;2]),hold on for i=1:n; a(i+1)=sqrt(2+a(i)); plot(i,a(i),'r.'),hold on end axis([1,n,1,2.2]) 数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明, 而且 利用单调有界定理, 设 其极限为 , 则有 , A=2
例3证明 n存在。(c16,n=) 先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界(小于3),所以极限存在, 且由图象看出:随着n的 (1+-) 增大 n逐渐接近一个2718 的无理数e clf, n=50: x=l: n f(x)=(1+1./x).x plot([0;n],[2.718;2.718]), hold on plot(x, f(x),r. 证明:(见教材) Cauchy收敛准则: 定理2.10数列{a)收敛, E>0,丑,Vm,n>M,→|an-an|0,3Mn>M,VpeN,→ax+-a,<E 例4证明:任一无限十进小数a=022……10a0的不足近 似值所组成的数列
例 3 证明 存在。（c16, n=） 先看一下数列的变化的图像, 该数列单调有界（小于 3），所以极限存在， 且由图象看出：随着 n 的 增大, 逐渐接近一个 的无理数 e clf, n=50; x=1:n; f(x)=(1+1./x).^x; plot([0;n],[2.718;2.718]),hold on plot(x,f(x),'r.') 证明：（见教材） Cauchy 收敛准则： 定理 2.10 数列{ 收敛， （ 或数列{ 收敛， } 例 4 证明: 任一无限十进小数 的不足近 似值所组成的数列
收敛.其中么(2=12…9)是0…9中的数 b1 ax=10 有 1+二+…+ 102=1(-0)<1< 例5设0<q<1,=q如+如√十…+q试证明数列 (x)收敛 数列 单调有界证法欣赏 Cauchy(1789-1857)最先给出这一极限, Riemann(1826-1866)最先给 出以下证法 X 证法一( Riemann最先给出这一证法)设 应用二项式展 开,得 x(2-1).142(2-1)(-2).1+…+1(n-1)…3211 +1 1+1+ x+1)(x+1
收敛. 其中 是 中的数. 证 令 有 …… 例 5 设 试证明数列 { 收敛. 数列 单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给 出以下证法一. 证法一 （ Riemann 最先给出这一证法） 设 应用二项式展 开，得 ， +
注意 到 +1 73 72 且 X 比 多一项(+1 0, x+1 0-n为正整数),有 +1 1+ n2+2n 1+ n+1 +2n+1 1+ 1儿(x+1)2 由V2+1 利用 Bernoulli不等式,有 ≥1+ +32+32+1 N+1 y 为证{x}上方有界,考虑数列 n)可类证y.事实上
注意 到 且 比 多一项 即 ↗. 有界。 综上, 数列{ }单调有界. 证法二 ( 利用 Bernoulli 不等式 ) 注意到 Bernoulli 不等式 为正整数 ), 有 由 利用 Bernoulli 不等式,有 ↗. 为证{ }上方有界, 考虑数列 可类证 ↘. 事实上
n+1 +2 n+1 n+1 1+ 1+2+1 +2 x+2(x2+2 显然有x 有x<y ≤…≤y1=4. 即数列{}有上 界. 评註:该证法的特点是惊而无险,恰到好处. 证法三(利用均值不等式)在均值不等式 1+ 令 72 就有 1)1+ +1=1+ ≤x 即“N 可仿上证得
↘. 显然有 有 即数列{ }有上 界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗. 令 可仿上证得 时 ↗
(n=1时无意义,n=2时诸:=0,不能用均值不等式.)当≥2 时,由 1,→1 由 证法四(仍利用均值不等式) 1+ N+1 均值不等式妙用两则” 证法五先证明:对V0≤a<b和正整数,有不等式
( 时无意义, 时诸 = , 不能用均值不等式. ) 当 时, 由 由 ↗ ↘. 证法四 ( 仍利用均值不等式 ) 即 ↗. “均值不等式妙用两则”. 证法五 先证明：对 和正整数 ，有不等式
<( b-a)(b+b2a+…+b 事实上, b+b2-a+……+bax-1+ (n+1)b 该不等式又可变形为 b[(n+1)a-mb]<a+1 0≤a<b,n为正整数) 在此不等式中,取 n+1 则有0≤a<b,就有 1+ n+1 =1.b=1+ 取 又有 1+2)2对成立, →|1+ <2 又由
事实上， < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 ) 在此不等式中, 取 则有 就有 ↗. 取 又有 对 成立， 又由