§3函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的变化趋势来判断其极限 的存在性。下面的定理只 对x→x这种类型的函数极限进行论述,但其结论对其它类型的函数极限也 是成立的。下述归结原则有 时成为海涅( Heine)定理 limf(x) 定理3.8(归结原则)设f在U,0)内有定义。篇 存在的 充要条件是:对任何含于 Uy(.0)且以为极限的数列(x3,极限如) 都存在且相等。 lir A 证[必要性]设x→ 则对任给的>0,存在正数 6k6) 使得当00,存在 M>0,使得当n>N时, 有0<,-刚<6,从而有()4<,这就证明了m()=4 (充分性)设对任何数列】U(,8)imxn=x1m(x)=A 且 有 则可用反证法推出 mx=A
§3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限 的存在性。下面的定理只 对 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也 是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理 3.8（归结原则）设 在 内有定义。 存在的 充要条件是：对任何含于 且以 为极限的数列 ，极限 都存在且相等。 证 [必要性] 设 ，则对任给的 ，存在正数 ， 使得当 时， 有 。 另一方面，设数列 且 ，则对上述的 ，存在 ，使得当 时， 有 ，从而有 。这就证明了 。 (充分性) 设对任何数列 且 ，有 ， 则可用反证法推出
事实上,倘若当x→时不以A为极限,则存在某>0,对任何6>0(不 论多么小),总存在 点x,尽管0<k一列<6,但有(x)-426。现依次取6=8,2 3,…,n,…,则存在 相应的点x,x2,形,…,x…,使得/ 而 (x2)-4≥6 显然数列{}(,0)且mmx=与,但当→时,)不趋于 A。这与假设相矛盾,所以必 limf(x)=A 有 注1归结原则也可简述为 f(x) 台对任何不→x0(n→0)有 limf(xm)=A 注2若可找到一个以为极限的数列,使m(x) 0 不存在,或找到 两个都以x0为极限的数列 注3()与,使如 都存在而不相等, limf(x) 则 不存在
事实上，倘若当 时 不以 为极限，则存在某 ，对任何 （不 论多么小），总存在 一点 ，尽管 ，但有 。现依次取 ， ， ，…， ，…，则存在 相应的点 ， ， ，…, …,使得 ，而 ， 。 显然数列 且 ，但当 时 不趋于 。这与假设相矛盾，所以必 有 。 注 1 归结原则也可简述为： 对任何 （ ）有 。 注 2 若可找到一个以 为极限的数列 ，使 不存在，或找到 两个都以 为极限的数列 注 3 与 ，使 与 都存在而不相等， 则 不存在
0.75-0.5 0.50,75 limin 例1证明极限x0x不存在 X 证设 n丌 2n7+(n=1,2¨),则显然有 →0(n→0) 0→0 =1→→1 (→00)。 故有归结原则即得结论。 函数x的图象如图3-4所示。由图象可见,当x→0时,其函数值无 限地在-1与1的范围内振 荡,而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而,我们能应用 归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质 对于x→x,x→x,x→+0和x→-0这四种类型的单侧极限,相应 的归结原则可表示为更强的
例 1 证明极限 不存在。 证 设 ， （ ），则显然有 ， （ ） ， （ ）。 故有归结原则即得结论。 函数 的图象如图 3-4 所示。由图象可见，当 时，其函数值无 限地在-1 与 1 的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用 归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于 ， ， 和 这四种类型的单侧极限，相应 的归结原则可表示为更强的
形式,现以x→x这种类型为例阐述如下 定理3.9设函数在点0的某空心右邻域410有定义。x→x 的 充要条件是:对任何以 xo为极限的递减数列},(),有/()A 这个定理的证明可仿照定理3.8进行,但在运用反证法证明充分性时,对 的取法要作适当的修改, 以保证所找到的数列{x能递减地趋于不0。证明的细节留给读者作为练习 相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理 现以这种类型为例叙述如下: 定理3.10设是定义在列()上的单调有界函数,则右极限/() 证不妨设在上递增。因在(x)上有界,由确界原理, 存在,记为A lin A 下证 事实上,任给e>0,按下确界定义,存在xeU,(x),使得f() 则由 f的递增性,对一切x∈(v,x0,(0),有 ()≤( 另一方面,由4≤f(x),更有4-sf(),从而对一切x∈U,(x02)有
形式，现以 这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数 在点 的某空心右邻域 有定义。 的 充要条件是：对任何以 为极限的递减数列 ，有 。 这个定理的证明可仿照定理 3.8 进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列 能递减地趋于 。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。 现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设 是定义在 上的单调有界函数，则右极限 存 在。 证 不妨设 在 上递增。因 在 上有界，由确界原理， 存在，记为 。 下证 。 事实上，任给 ，按下确界定义，存在 ，使得 。 取 ，则由 的递增性，对一切 = ，有 另一方面，由 ，更有 。从而对一切 有
A-e0,存在 正数60,存在正数6(0, 存在正数。(0,存在M>0, 使得当m>时有不,不E列(x。),从而有J(x)-/()<e
这就证得 。 最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。 定理 3.11（柯西准则）设 在 内有定义。 存在的充要 条件是：任给 ，存在 正数 ，使得对任何 ， ，有 ． 证 必要性 设 ，则对任给的 ，存在正数 ，使得 对任何 有 。于是对任何 ， 有 。 充分性 设数列 且 。按假设，对任给的 ， 存在正数 ，使得 对任何 ， 有 。由于 （ ），对上 述的 ，存在 ， 使得当 时有 ， , 从而有
于是按数列的柯西收敛准则,数列{/(x)的极限存在,记为A,即 limf(xm)=A 设另一数列(n)里1my=而,则如上所证,m/(y)在 在,记为B.现证B=A 为此,考虑数列{}:x,y1,x2,y2 易见(v,)且 limin= Xo (见第二章§3例7) 故仍如上所证,(x月也收敛 于是,作为(n》的两个子列,{(x与(,)必有相同的极限。所以由 归结原则推得 按照函数极限的柯西准则,我们能写出极限 limf(x) 不存在的充要条件:存 在 E>0 对任何6>0 (无论多么小),总可找到x,x (x,使得|()-()2 如在例1中我们可取5=1,对任何6>0设正整数6,令n丌, 丌 丌十 ,则有x′ x"∈U0(0,) sin 而
于是,按数列的柯西收敛准则,数列 的极限存在,记为 ,即 . 设另一数列 且 , 则如上所证, 存 在, 记为 . 现证 . 为此,考虑数列 : , , , ,．．．, , ,．．．易见 且 (见第二章§3 例 7). 故仍如上所证, 也收敛. 于是，作为 的两个子列， 与 必有相同的极限。所以由 归结原则推得 按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限 不存在的充要条件：存 在 ，对任何 （无论 多么小），总可找到 ， ，使得 ． 如在例１中我们可取 ，对任何 设正整数 ，令 ， ，则有 ， ，而
于是,按柯西准则极限x-0x不存在
于是，按柯西准则极限 不存在．