§2数集。确界 §2二数集.确界原理 区间与邻域 xa<x<b}称为开区间,记作(ab) b 区间 (xl≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b]
1 §2 数集。确界 §2 二 数集 . 确界原理: 一 区间与邻域: 区间 ：
半开区间, x≤x<b}记作[a,b) 半开区间,{x<x≤b}记作(a,b [a,+∞)={x≤x} (-∞,b)={xx<分
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邻域 设a与6是两个实数,且8>0称点集U(a)={|-0,存在x∈S,|x1>M,则称S为无界集。 (-∞,+∞),(-0,0),(0,+)等都是无界数集, E={y|y=-,x∈(0,1) 例证明集合 是无界数集 证明:对任意M>0,,1∈(0,1),y=∈B,y=M+1>M 由无界集定义,E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,其 中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界:同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界。 精确定义 定义2设S是R中的一个数集,若数7满足一下两条: (1)对一切x∈8有x≤”,即7是数集S的上界
3 邻域 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 对任意 ，存在 ，则称 S 为无界集。 等都是无界数集, 例 证明集合 是无界数集. 证明：对任意 , 存在 由无界集定义，E 为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其 中最小的一个上界我们称 它为数集 S 的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 有 ，即 是数集 S 的上界；
(2)对任何a(即”是S的最小上界) 则称数为数集S的上确界。记作7=p 定义3设S是R中的一个数集,若数‘满足一下两条: (3)对一切x∈8有x≥5,即占是数集S的下界 (4)对任何月>5存在x0∈使得0<8(即5是S的最大下界) 则称数5为数集S的下确界。记作5=itS 8=1+(1) 例1(1) 则apS= 2)g={ly=snx.x∈(0,) supe= nf E= 定理1』(确界原理)设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界; 若S有下界,则S必有下确界。 证明(见教材) 例2非空有界数集的上(或下)确界是唯一的. 例3设S和A是非空数集,且有SA则有 supS≥supA,infS≤nfA 例4设A和B是非空数集。若对Vx∈A和y∈B,都有x≤y,则有 supA≤nfB 证y∈B,y是A的上界,书即A5y→即A是B的下 界, A≤nfB 例5A和B为非空数集,S=AUB.试证明 inf S=min(inf A, inf B) 证Vx∈S,有x∈A或x∈B,由A和fB分别是A和B的下界有 x2mfA或x2B.→x≥mt{rfA,irfB 即mn{irfA,ifB)是数集S的下界,→rS≥mn( inf A, inf B
4 （2） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最小上界） 则称数 为数集 S 的上确界。记作 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （3） 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界； （4） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最大下界） 则称数 为数集 S 的下确界。记作 例 1 ⑴ 则 ⑵ 则 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明（见教材） 例 2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例 3 设 和 是非空数集，且有 则有 . 例 4 设 和 是非空数集. 若对 和 都有 则有 证 是 的上界, 是 的下 界, 例 5 和 为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有 或 即 是数集 的下界
又心3A,→S的下界就是A的下界,ifS是S的下界,→nfS是A的下 inf S<inf A 同理有 于是有 infs≤ mini inf A,infB 综上,有 nf S=min inf A, inf B) 2.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1(2)为例做解释 3.确界与最值的关系:设E为数集 (1)E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点 (2)非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值 (3)若maE存在,必有maE=supE 对下确界有类似的结论
5 又 的下界就是 的下界, 是 的下界, 是 的下 界, 同理有 于是有 . 综上, 有 . 2. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例 1⑵为例做解释. 3. 确界与最值的关系: 设 为数集. ⑴ 的最值必属于 , 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论