第一节幂级数 ,二幂级数的收敛区间 二幂级数的分析性质 牛·三幂级数的运算 王·四小结 上页
第一节 幂级数 • 一 幂级数的收敛区间 • 二 幂级数的分析性质 • 三 幂级数的运算 • 四 小结
一、幂级数及其收敛区间 1定义:形如∑an、(x-x)的级数称为级数 n=0 当x=0时,∑anx,其中an为幂级数系数 H-=0 2.收敛性: 例如级数∑x n=1+x+x+…’ H=0 尽当x之时收敛当x≥时,发散 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1J1,+) 上页 圆
一、幂级数及其收敛区间 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);
定理1(Abe定理) 牛如果级数∑a1x在x=2x(x≠0处收敛则 n=0 它在满足不等式xx0的一切处发散 o 证明(1)∵∑nx0"收敛,: lima,o=0, n=0 上页
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
彐M,使得nx≤M(m=0,2,) n ax =a.x nO n ≤M 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛, 0 H=0 0 ∑anx"收敛,即级数∑a1x收敛; =0 =0 上页
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
(2)假设当x=x时发散, 而有一点x适合x>x0使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域_R0R发散区域 上页
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
推论 如果幂级数∑anx”不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 c的正数R存在,它具有下列性质: 当xR时幂级数发散; 当x=R与x=-R时幂级数可能收敛也可能发散 上页
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义:正数R称为幂级数的收敛半径 c幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 T GR,R),I-R, R),(R,RI, I-R, RI 王规定()幂级数只在x=0处收敛 R=0,收敛区间x=0; (2)幂级数对一切都收敛, R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 牛问题如何求幂级数的收敛半径? 上页
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛
定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, H=0 王设mbH1=p(或 lima=p) 王()则当P≠0时R=;(2)当p=0时R=+∞; (3)当p=+时,R=0. 王证明对级数∑n“应用达朗贝尔判别法 n+1 …,x li n+1 m=lim n+ lx=plx, n→>∞0aLnX n n->0a 上页
定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x
(1)如果u1_n(D≠0存在, n→ o 庄由比值审法当1xk时级数4x收 从而级数∑ax"绝对收敛 n=0 当x时,级数∑|anx"1发散, n-=0 年且从某个n开始|amx|lanx"lanx|0 王从而级数∑4x"发散收敛半径R=1 n=0 上页 圆
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散 ; 1 收敛半径 R =
上(2)如果ρ=0,x≠0 n+1 a→0n→0,级数∑收敛 有 n+1 n=0 从而级数∑anx"绝对收敛.收敛半径R=+ ●● n-=0 (3)如果ρ=+∞, x≠0,级数∑anx"必发散 n=0 上(否则由定理知将有点x≠0使∑a1x1收敛) n= 收敛半径R=0 定理证毕
(2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n 级数 an x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛 = n n x an x 收敛半径 R = 0. 定理证毕
