第四节 第十八章 条件嘏值及其求店 条件极值 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第十八章 第四节 条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 条件极值及其求法
条件极值 无条件极值:对自变量只有定义城限制 极值同题条件极值对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 条件极值的求法 方法1代入法.例如 在条件q(x,y)=0下,求函数z=f(x,y)的极值 花从条件(xy)2=0中解出y=v(x) 求一元函数z=f(x,y(x))的无条件极值问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转 化 在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y)的极值 从条件(x, y) = 0中解出 y =(x) z = f (x,(x)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2拉格朗日乘数法.例如, 在条件q(x,y)=0下,求函数z=f(x,y)的极值 如方法1所述,设(x,y)=0可确定隐函数y=v(x) 则问题等价于元函数z=f(x,v(x)的极值问题,故 极值点必满足 dz f d y 0 dx X tOy dx 因 d 故有fx-fyx=0 d 记 frf HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
在条件(x, y) = 0下, 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 求函数 z = f (x, y)的极值. (x, y) = 0 y =(x), z = f (x,(x)) 例如, 故 0 d d d d = + = x y f f x z x y , d d y x x y 因 = − − = 0 y x x y f f y y x x f f = 故有 =− 机动 目录 上页 下页 返回 结束
fr +no=0 极值点必满足{fy+9,=0 P(x,y)=0 引入辅助函数F=f(x,y)+10(x,y) Fr=f+1or=o 则极值点满足:〈F1=f,+=0 x==0 辅助函数F称为拉格朗日( Lagrange)函数利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 + = 0 x x f + = 0 y y f (x, y) = 0 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. F = f (x, y) + (x, y) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 例如,求函数u=f(x,y,2)在条件0(x,y,z)=0 y(x,y,z)=0下的极值 设F=f(x,y,2)+1(x,y2z)+2v(x,y,z) Fr=fr+Mo+nvR=0 Fy=/y+19,+2yy=0 解方程组F2=f2+A1+2v2=0 F2,=p=0 y 0 可得到条件极值的可疑点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. u = f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0, (x, y,z) = 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 F = f x y z + x y z + x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.要设计一个容量为V。的长方体开口水箱,试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省? 解:设x,y,z分别表示长、宽、高,则问题为求x,y z使在条件xyz=V下水箱表面积S=2(xz+yz)+xy 最小 令F=2(x2+y2)+xy+1(xy2-10)∠ Fx=2z+y+nyz=0 解方程组F=22+X+Ax=0 F2=2(x+y)+xy=0 Fa=xy2-Vo=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 要设计一个容量为 V0 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 2z + y + yz = 0 2z + x + xz = 0 2(x + y) + xy = 0 xyz −V0 = 0 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 V0 x yz = S = 2(xz + yz) + x y 2( ) ( ) V0 F = xz + yz + x y + x yz − x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
得唯一驻点x=y=2=3210,=2 由题意可知合理的设计是存在的,因此,当高为 4 长、宽为高的2倍时,所用材料最省. 思考: 1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?x 提示:利用对称性可知,x=y=z=30 2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价 最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何? 提示:F=2(x+y=)+2xy+(xyz-0) 长、宽、高尺寸相等 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
得唯一驻点 2 2 , 3 V0 x = y = z = 3 2 0 4 V − = 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 , 3 4 V0 x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 3 V0 x = y = z = 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 2( ) ( ) V0 F = xz + yz +2 x y + x yz − 长、宽、高尺寸相等
内容小结 1.函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 如对二元函数z=f(x,y),即解方程组 fr(, y)=0 f,(x,y=0 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2.函数的条件极值问题 (1)简单问题用代入法 (2)一般问题用拉格朗日乘数法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 z = f (x, y), = = ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f x y y x 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如求二元函数z=f(x,y)在条件o(x,y)=0下的极值 设拉格朗日函数F=f(x,y)+10(x,y) fr+ao=0 解方程组{F1=f+0,=0求驻点 A=9=0 3函数的最值问题 第一步找目标函数确定定义域(及约束条件) 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . z = f (x, y) (x, y) = 0 F = f (x, y) + (x, y) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习已知平面上两定点4(1,3),B(4,2) 试在椭圆+y=1(x>0,y>0)圆周上求一点C使 94 △ABC面积S最大 解答提示:设C点坐标为(x,,D B 则S △ AB×AC O Ex x-1y-30/2700,x+3y-10) 3 x+3y-10 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: C B A o y E x 设 C 点坐标为 (x , y), D 思考与练习 1 3 0 3 1 0 − − − x y i j k (0, 0, 3 10) 2 1 = x + y − 1 ( 0, 0) 9 4 2 2 + = x y x y 则 3 10 2 1 = x + y − 机动 目录 上页 下页 返回 结束