第一节函数极限概念 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第一节 函数极限概念 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数Mx当x→>+∞时的变化趋势
x . x sin x 观察函数 当 → + 时的变化趋势 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 x x y sin =
问题:函数y=∫(x)在x→>+的过程中,对 应函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面的观察 当x无限增大时,∫(x) sIn 无限接近于0 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 f(x)-AX表示x→+6过程
问题:函数 y = f ( x)在x → + 的过程中, 对 应函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x → +的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近
1定义 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式>X的 切x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式, f(x)-A+时的极限, 记作 linf(x)=A或f(x)→4当x→+∞) "8-X"定义im∫(x)=A兮 x-0 v>0,3X>0,使当x>利时恒有f(x)-A<E
1. 定义 : " − X"定义 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . lim x→+ f (x) = A 定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一 切 , 所对应的函数值 都满足不等式, 那末常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 X x X x f (x) f (x) − A A f (x) x → + ( ) = ( ) → ( → +) →+ lim f x A f x A x x 或 当
2另两种情形: 1.x→-0情形:limf(x)=A x→-0 vE>0,X>0,使当x0,丑X>0,使当|xX时,恒有f(x)-A<E 定理:limf(x)=A分limf(x)=A且lim∫(x)=A x→0 x→+0
. x → 情形 : 0 2 0, X 0,使当| x | X时,恒有 f (x) − A . . x → − 情形 : 0 1 f x A x = →− lim ( ) 0,X 0,使当x −X时,恒有 f ( x ) − A . lim f x A x = → ( ) 2.另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ 且 →−
3几何解释:limf(x)=A SInx J GAE 当xX时,函数y=f(x)图形完全落在以 直线v=A为中心线,宽为2e的带形区域内
x x y sin = 3.几何解释: − − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 = − = y A x X x X y f x A lim f x A x = → ( )
例1证明lm=0 证 0 ve>0,取X=,则当x>X时恒有 0<E 故im=0
例 1 0 . 1 lim = x → x 证明 证 x x1 0 1 − = , 0 , , 1 取 X = 则当 x X时恒有 0 , 1 − x 0. 1 lim = x → x 故
例2证明 lim arctan x= 证 Va>O,arctan x-c arctan x0取x号一则当对>N时恒有 元 arctan x 2八,故 lim arctan x=
例2 . 2 lim arctan = →− x x 证明 证 0, , 2 tan = − 取 X 则当 x X时恒有 ) , 2 arctan ( x − − 2 arctan 2 )| 2 0,| arctan ( − − − − − x x 左半部分成立，只考察右半部分 的范围， ，则有： 2 = − − − 2 tan 2 x tan . 2 lim arctan = →− x x 故
二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数y=∫(x)在x→x的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A. ∫(x)-A<8表示f(x)-A任意小 0<x-x<6表示x→x的过程 x+s 0 点x的去心δ邻域,跡体现x接近x程度
二、自变量趋向有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x0 − x0 + x x0 , 点x0的去心邻域 体现x接近x 程度. 0 x x 表示x x的过程. 0 0 0 − →
定义: 定义2如果对于任意给定的正数E(不论它多么小) 总存在正数δ,使得对于适合不等式0x时的极限, 记作 im∫(x)=A或f(x)→A(当x→>x) "e一δ"定义ve>0,38>0,使当0<x-xn<8时, 恒有∫(x)-A<E
1.定义: " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时 定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那末常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 − 0 x x0 x f (x) f (x) − A A f (x) x → x0 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当