第三章函数极限 §1函数极限概念 趋于∞时函数的极限 设函数定义在+o)上,类似于数列情形,我们研究当自变量不趋于 +0时,对应的函数值能否无限地接近于某个定数H。例如,对于函数 0.12 002 33540465056 从图象上可见,当x无限增大时,函数值无限地接近于0; 而对于函数2(x)= arctan x,则当不于+O时函数值无限地楼近于 。我们称这两个函数当x→+0时有极限
1 第三章 函 数 极 限 §1 函数极限概念 一 趋于 时函数的极限 设函数 定义在 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 趋于 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 。例如，对于函数 从图象上可见，当 无限增大时，函数值无限地接近于 0； 而对于函数 ，则当 趋于 时函数值无限地接近于 。我们称这两个函数当 时有极限
一般地,当趋于+0时函数极限的精确定义如下: 定义1设/定义在口+)上的函数,A为定数,若对任给的C>0, 存在正数 Mea,使得当x>M时人r()-小0,在坐标平面上平行于x轴的两条直线少=A÷兄均 A-E y=A 围成以直线 为中心线、宽为∠2的带形区域;定义中的
2 一般地，当 趋于 时函数极限的精确定义如下： 定义 1 设 定义在 上的函数， 为定数。若对任给的 ， 存在正数 ，使得当 时, 有 ，则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作 或 。 说明:(1)、在定义 1 中正数 的作用与数列极限定义中 的相类似，表 明 充分大的程度；但这里所考虑的是比 大的所有实数 ，而不仅仅是正 整数 。因此，当 趋于 时函数 以 为极限意味着： 的任意 小邻域内必含有 在 的某邻域内的全部函数值。 (2)、定义 1 的几何意义如下图所示， 对任给的 ，在坐标平面上平行于 轴的两条直线 与 ，围成以直线 为中心线、宽为 的带形区域；定义中的
“当x>M时有 f(x)-4 0,对在意充分大的正数M,总存在某个x>M使 得:(x)-4≥E,则称函数当不趋于+时不以A为极限 (3)、现设为定义在 U()或(o)上的函数,当x→>-0或 x→>∞时,若函数值(x)能无限地接近某定数A,则称/当x→>-0 或x→0时以A为极限,分别记作 f(x)→A(x→>-∞) mf(x)=A 或 f(x)→>A{(x→∞) 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“x>M 分别改为“xM 或 ”即可。 问题 imf(x)≠A或lmf(x)≠A的否定叙述的定义又如何写? (4)、显然,若为定义在 上的函数,则
3 “当 时有 ”表示：在直线 的右方，曲线 全部落在这个带形区域之内。如果正数 给的小一点，即当带形区域 更窄一点，那么直线 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存 在这样的正数 ，使得曲线 在直线 的右边部分全部落在 这更窄的带形区域内。 定义 1 的否定叙述: 定义 1’ 设 定义在 上的函数， 为定 数。若存在某个 0 ，对任意充分大的正数 M ，总存在某个 x M ,使 得: f (x ) − A 0 ，则称函数 当 趋于 时不以 为极限. (3)、现设 为定义在 或 上的函数，当 或 时，若函数值 能无限地接近某定数 ，则称 当 或 时以 为极限，分别记作: 或 ; 或 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，只须把定义 1 中的“ ” 分别改为“ ”或 “ ”即可。 问题: lim f (x) A 或 lim f (x) A的否定叙述的定义又如何写? x x →− → (4)、显然,若 为定义在 上的函数，则
limf()=A+ lim f()=limff)=A X→+ lim -=0 例1证明 x→x 证热。、0M 取 e,则当{|>M 时,有: X M In 所以 lim arctan x= 丌 例2证明:1) 丌 lim arctan x 2) 证任给E>0 ,由于 arctan x <e
4 （1）(返回) 例 1 证明 。 证 任给 ，取 ，则当 时,有: 所以 。 例 2 证明：1） ； 2） 证 任给 ，由于 （ 2）
等价于 E-0时 arctan x不存在极限为 什么? x趋于0时函数的极限 设为定义在和0某个空心邻域(x)内的函数。现在讨论当x趋于x0 (x≠邓)时,对应的函数值能否趋 于某个定数A。这类函数极限的精确定义如下: 定义2(函数极限的-0定义)设函数在和某个空心邻°(x,6)内有 定义,A为定数。若对任给 的e>0,存在正数6(),使得当0一列<6时有(x)-4<,则称函数f 当x趋于0时以A为 极限,记作x→x 或f(x)→A(x→x) 下面我们举例说明如何应用2-8定义来验证这种类型的函数极限。请读者 特别注意以下各例中的值是 怎样确定的
5 等价于 ，而此不等式的左半部分对任何 都成立， 所以只要考察其右半部分 的变化范围。为此，先限制 ，则有 故对任给的正数 ，只须取 ，则当 时,便有（2）式成立。这就证明了 1）。 类似地可证 2）。 注 由结论（1）可知，当 时 不存在极限。(为 什么?) 二 趋于 时函数的极限 设 为定义在 某个空心邻域 内的函数。现在讨论当 趋于 时，对应的函数值能否趋 于某个定数 。这类函数极限的精确定义如下： 定义 2（函数极限的 定义）设函数 在 某个空心邻域 内有 定义， 为定数。若对任给 的 ，存在正数 ，使得当 时有 ，则称函数 当 趋于 时以 为 极限，记作 或 。 下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者 特别注意以下各例中 的值是 怎样确定的
limf(x)=4 例3设 x-2,证明x2 4 证 由于当x≠2时, X ,故对给定 的E>0,只要取6=E,则 0k-25时有()-40都有inx0,只要取。=e,则当0<kx-x列1<6时,就有四x一如列<E。 lim sin x= sin x 所以 2)的证明留给读者作为练习。 6
6 例 3 设 ，证明 。 证 由于当 时， ，故对给定 的 ，只要取 ，则 当 时有 。这就证明了 。 例 4 证明：1） ； 2） 证 先建立一个不等式：当 时有 （3） 事实上，在如图 3-2 的单位圆内，当 时，显然有 ， 即 ，由此立得（3）式。 又当 时有 ，故对一切 都有 ；当 时，由 得 。 综上，我们又得到不等式 ， （4） 其中等号仅当 时成立。 现证 1）。由（4）式得 。 对任给的 ，只要取 ，则当 时，就有 。 所以 。2）的证明留给读者作为练习
例5证明212x2-x-13 当x≠1时有 12||x+12|x-1 若限制x于 00),则 +11> 于是,对任给的e>0 只要取 S=min 38 0(不妨设0<E<1),只要取2,则当 0 x0<时,就有 1-xn<a 应用E-0定义还立刻可得 lim c=c lim 这里c为常数,0为给定实数 通过以上各个例子,读者对函数极限的E-5定义应能体会到下面几点 1.定义2中的正数,相当于数列极限E-M定义中的M,它依赖于E
7 例 5 证明 。 证 当 时有 若限制 于 （此时 ），则 。于是，对任给的 ， 只要取 ， 则当 时，便有 。 例 6 证明 （ ） 证 由于 ， ，因此 于是，对任给的 （不妨设 ），只要取 ，则当 时，就有 。 应用 定义还立刻可得 ， 这里 为常数， 为给定实数。 通过以上各个例子，读者对函数极限的 定义应能体会到下面几点： 1.定义 2 中的正数 ，相当于数列极限 定义中的 ，它依赖于
但也不是由所唯一确定,一般来说,E愈小,8也相应地要小一些,而且把取 得更小些也无妨。如在例3 6 中可取2或3等等。 2.定义中只要求函数J在x0某一空心邻域内有定义,而一般不考虑J在点 x0处的函数值是否有定义, 或者取什么值。这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于和过程中函数 值的变化趋势。如在 例3中,函数/在点x=2是没有定义的,但当x→2时J的函数值趋于一个定 3.定义2中的不等式0,存在>0,使得对一切xeU(x0:0) 有 f(x)∈U(Ae)。或更简单地 表为:任给E>0,存在6>0 y=f() 6 使得 4.E-6定义的几何意义如图3-3所示。 对任给的C>0,在坐标平面上画一条以直线y=A为中心线、宽2E为的横带, 则必存在以直线x=x0
8 但也不是由所唯一确定，一般来说， 愈小， 也相应地要小一些，而且把 取 得更小些也无妨。如在例 3 中可取 或 等等。 2.定义中只要求函数 在 某一空心邻域内有定义，而一般不考虑 在点 处的函数值是否有定义， 或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 趋于 过程中函数 值的变化趋势。如在 例 3 中，函数 在点 是没有定义的，但当 时 的函数值趋于一个定 数。 3.定义 2 中的不等式 等价于 ，而不等式 等价于 。 于是， 定义又可写成：任给 ，存在 ，使得对一切 有 。或更简单地 表为：任给 ，存在 ， 使得 。 4． 定义的几何意义如图 3-3 所示。 对任给的 ，在坐标平面上画一条以直线 为中心线、宽 为的横带， 则必存在以直线
为中心线、宽26为的竖带,使函数y=f(x)的图象在该竖带中的部分落在横带 内,但点(:(x)可能例外 (或无意义)。 单侧极限 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同(如分段函数定义域 上的某些点),或函数在某 些点仅在其一侧有定义(如在定义区间端点处),这时函数在那些点上的极限只 能单侧地给出定义。例如 函数 x,x0而趋于0时,应按/(x)=x2来考察函数值的变化趋势:当x0,存 在正数6(6),使得当 x0<x<而+6(或列一6<x<而)时有(x)-4< 则称4为函数当x趋于列(或0)时的右左极限,记作号(x)=A lim f()=A )或f()→A(→动)(16)→4(→而) 右极限与左极限统称为单侧极限。在点ˉ0的右极限与左极限又分别记为 f(x+0)=1im,f(x) f(xo-0)=lim ()
9 为中心线、宽 为的竖带，使函数 的图象在该竖带中的部分落在横带 内，但点 可能例外 （或无意义）。 单侧极限 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域 上的某些点），或函数在某 些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只 能单侧地给出定义。例如， 函数 （5） 当 而趋于 0 时，应按 来考察函数值的变化趋势；当 而趋 于 0 时，应按 来考 察。又如函数 在其定义区间 端点 处的极限，也只能在 点 的右侧和点 的左侧来分别讨论。 定义 3 设函数 在 内有定义， 为定数。若对任给的 ，存 在正数 ，使得当 （或 ）时有 则称 为函数 当 趋于 （或 ）时的右左极限，记作 （ ）或 （ 右极限与左极限统称为单侧极限。 在点 的右极限与左极限又分别记为
按定义3容易验证函数(5)在x=0的左右极限分别为 f1o-o)=lim f()=lim x=o f(0+0)=lmf(x)=lmx2=0 同样还可验证符号函数g1x在x=0的左右极限分别为 lim sgn x= lim 1=1 例7讨论-x2在定义区间端点±1处的单侧极限 解由于1,故有1-x2=(+x-x)≤2-x) 任给E>0,则当21-x)<E时,就有 (6) 于是取2,则当0<1-x<8即1-8<x<1时,(6)式成立 这就推出 lim im1-x2=0 类似地可得2+1) 单侧极限与双侧极限的关系 f 关于函数极限x→与相应的左右极限之间的关系,有下述定理: f(x) f()=lim f() 定理3.1x→4 X→ 类似有:()=A台f(0)=f(+)=A 应用定理31,除了可验证函数极限的存在(如对函数(3)有1(x)=0 还常可说明函数极限的 不存在,如前面提到的符号函数x,由于它在x=0处的左右极限不相等, lin sgn 所以 不存在
10 按定义 3 容易验证函数（5）在 的左右极限分别为 。 同样还可验证符号函数 在 的左右极限分别为 例 7 讨论 在定义区间端点 处的单侧极限。 解 由于 ，故有 任给 ,则当 时，就有 （6） 于是取 ，则当 即 时，（6）式成立。 这就推出 。 类似地可得 。 单侧极限与双侧极限的关系 关于函数极限 与相应的左右极限之间的关系，有下述定理： 定理 3.1 类似有: 应用定理 3.1，除了可验证函数极限的存在（如对函数（3）有 ）， 还常可说明函数极限的 不存在，如前面提到的符号函数 ，由于它在 处的左右极限不相等， 所以 不存在