§2可积条件(3时) 必要条件 定理1fx)∈R[ab]→f(x)在区间[a,b]上有界 充要条件: 1.思路与方案: 思路:鉴于积分和与分法和介点有关, 简化积分和.用相应于 分法T的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极 限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法T及介点与无关的条件 方案:定义上和()和下和纵().研究它们的性质和当 r7→0时有相同极限的充要条件 2. Darboux和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界 并设mSf(x)≤M 其中m和M分别是函数(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界 定义 Darboux和,指出 Darboux和未必是积分和.但 Darboux和由分 法了唯一确定.分别用()、5()和2(7)记相应于分法T的上(大)和、下 (小)和与积分和,积分和2()是数集(多值),但总有5()≤ Σ(7)≤5(2),因此有5(T)≤8(T s(2)和S(的几何意义 3. Darboux和的性质:本段研究 Darboux和的性质,目的是建立 Darboux定理 先用分点集定义分法和精细分法:T≤?表示是T的加细
§ 2 可积条件（ 3 时 ） 必要条件: 定理 1 在区间 上有界. 充要条件: 1. 思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极 限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 . 方案: 定义上和 和下和 . 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 在区间 上有界. 并设 , 其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分 法 唯一确定. 分别用 、 和 记相应于分法 的上（大）和、下 （小）和与积分和. 积分和 是数集(多值) . 但总有 , 因此有 . 和 的几何意义 . 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性质, 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示 是 的加细
性质1若?≤T,则(7)≤(")3(m≥5(7.即:分法加细, 大和不增,小和不减 (证) 性质2对任何?,有m(b-a)sS(m),M(b-a)2().即:大和有 下界,小和有上界.(证) 性质3对任何1和2,总有(1)≤8(2).即:小和不会超过大 证 s(21)≤5(21+22) (1+2)≤S(2) 性质4设r′是T添加P个新分点的加细.则有 s()≤8(7)≤s()+P(M-m) ()≥8(7")≥8()-p(M-m)|‖ 证 设是只在T中第个区间[x1,列内加上一个新分点不所成的分 法,分别设 M1= M M:= sup f(x) [x4-x 显然有m≤M1 M2≤M1≤M.于 S(-(1)=M2(x2-x21)-M1(x-x21)-M2(x2-x) =(M2-M1)(x-x21)+(M1-M2)(x1-x)≤ ≤(M-m)(x-x21)+(M-m)(x2-x) m2)(x-万2
性质 1 若 , 则 , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 ) 性质 2 对任何 , 有 , . 即 : 大和有 下界,小和有上界. ( 证 ) 性质 3 对任何 和 , 总有 . 即: 小和不会超过大 和 . 证 . 性质 4 设 是 添加 个新分点的加细. 则有 + , . 证 设 是只在 中第 个区间 内加上一个新分点 所成的分 法, 分别设 , , . 显然有 和 . 于是
添加P个新分点可视为依次添加一个分点进行P次.即证得第二式 可类证第一式 系设分法T有P个分点,则对任何分法T,有 S()-p(M-m)‖sS(T).s(7)+p(M-m)‖7|≥s(7) S()-p(M-m)‖T‖≤S(+7)≤S() s()+P(M-m)T|≥s(7+)≥s( 4.上积分和下积分:设函数(x)在区间[a,b上有界.由以上 性质2, s()有上界,S()有下界,因此它们分别有上确界和下确界 定义 f(x)dx=inf S( Ja f(x)dx 分别称 和L为函数f(x)在区间[a,b]上的上积分和下积分 对区间a.b1上的有界函数(0、和上在在且有限,「≥ 并且对任何分法?,有 SO 上、下积分的几何意义 例1求JD(x)x和5D(x)x.其中D(x)是 Dirichlet函 5. Arbour定理 定理1设函数f(x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b的分 法.则有
添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式. 可类证第一式. 系 设分法 有 个分点，则对任何分法 ，有 ， . 证 . . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 上有界. 由以上 性质 2 ， 有上界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记 , . 分别称 和 为函数 在区间 上的上积分和下积分. 对区间 上的有界函数 , 和 存在且有限 , . 并且对任何分法 , 有 . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 和 . 其中 是 Dirichlet 函 数 . 5. Darboux 定理 : 定理 1 设函数 在区间 上有界, 是区间 的分 法 . 则有
部。()x f(r)d 部。 s(2)=af(x)2 证(只证第一式.要证:对VE>0,38>0,使当 0.3 使 设有P个分点,对任何分法T,由性质4的系,有 (M-m)z S( 由*式,得 5(7)-p(M-m737)上+2,即 3(7)-p(M-m)|7 E 亦即 2 P
= , = . 证 ( 只证第一式 . 要证 : 对 使当 时有 . 是显然的. 因此只证 . ) , 对 , 使 < 设 有 个分点, 对任何分法 , 由性质 4 的系, 有 , 由* 式, 得 < 即 < 亦即 <
6= 于是取 (M-m),(可设M>m,否则f(x)为常值函数, ()对任何 分法T成立,)对任何分法T,只要|0,36>0,使当<6时有 ∑八x)△-11 点2∈△x成立 在每个 [x21,x] 上取 n,使 0≤M2-f(m2) 2(b-a) 于是 3()→2f(0n)△x1=∑(M2-f(n) <6 因 时有
于是取 , ( 可设 , 否则 为常值函数, = 对任何 分法 成立. ) 对任何分法 , 只要 , 就有 . 此即 = . 6. 可积的充要条件: 定理 2 （ 充要条件 1 ）设函数 在区间 上有界. = . 证 设 = , 则有 = . 即对 使当 时有 | | < 对 成立. 在每个 上取 , 使 , 于是, | | = < . 因此, 时有
8(2)-1|s8()-2()Ax1+12f(x)△-10,3,3 S()-s(7)0.彐6>0 VT, 0,彐
| | | | + | | < + = . 此即 = . 由 Darboux 定理 , = . 同理可证 = . = . 对任何分法 , 有 , 而 = = = . 令 和 的共值为 , 由双逼原理 = . 定理 3 有界. 对 . 证 ( ) = 0. 即对 时, . , 由 , – , = . 定义 称 为函数 在区间 上的振幅或幅度. 易见有 0 . 可证 = 定理 3’ (充要条件 2 ) 有界. 对
定理3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常 用下法构造分法T 当函数(x)在区间[a,b上含某些点的小区间上a作不到任意小时,可试 用f(x)在区间[a,b上的振幅a=M-m作 的估计 有≤0.此时,倘能用总长小于(a≠0 常值函数)的有限个小区间复盖这些点,以这有限个小区间 的端点作为分法的一部分分点,在区间[a,b的其余部分作分割,使在每个 小区间上有a0和Wa>0,36>0,使对任何 分法2 只要 对应于a2的那些小区间△x的长度之和 ∑ va>0,36>0,使对任何分法r,只要k多 证→)(x)在区间[a,b]上可积,对vE 就有
. 定理 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常 用下法构造分法 : 当函数 在区间 上含某些点的小区间上 作不到任意小时, 可试 用 在区间 上的振幅 作 的估计 , 有 . 此时, 倘能用总长小于 , 否则 为 常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间 的端点作为分法 的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个 小区间上有 < , 对如此构造的分法 , 有 < . 定理 ( (R)可积函数的特征 ) 设 在区间 上有 界. 对 和 , 使对任何 分法 , 只要 , 对应于 的那些小区间 的长度之和 . 证 在区间 上可积, 对 和 , 使对任何分法 , 只要 , 就有
∑A≤∑a2△xs∑aA10,37,3a2日的区间总长小于a此 时有 ∑aAx1=∑aAx+∑A≤E△x+a△x≤(-a)+a E(b-a+1) 例 讨论 Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性 三.可积函数类: 1.闭区间上的连续函数必可积 定理5 (证) 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 定理6 (证) 系1闭区间上按段连续函数必可积 系2设函数f(x)在区间[a,b]上有界且其间断点仅有有限个聚点,则 函数f(x)在区间[a,b]上可积 例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可 积 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可 积 闭区间上的单调函数必可积() 定理7 (证)
. 对 的区间总长小于 此 时有 = 例 讨论 Dirichlet 函数 在区间 上的可积性 . 三． 可积函数类： 1．闭区间上的连续函数必可积： 定理 5 （ 证 ） 2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . 定理 6 （ 证 ） 系 1 闭区间上按段连续函数必可积 . 系 2 设函数 在区间 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则 函数 在区间 上可积. 例 2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可 积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可 积 . ( ) 闭区间上的单调函数必可积（ ） 定理 7 （ 证 ）
x=0 f(x)={1 <X<一 例3 nn+1 证明f(x)在[0,1上可积 关于可积性的更一般的充分条件为 Th闭区间[a,b]上的正规函数( regulated function)f(x)是可积 的 e: S. K. Berberian, Regulated function: Bourbaki s alternative to the Riemann integral, The American Mathematical Monthly, Vol 86,No.3.1979,P208-211
例 3 证明 在 上可积. 关于可积性的更一般的充分条件为: Th 闭区间 上的正规函数( regulated function ) 是可积 的. 参阅 : S . K . Berberian , Regulated function : Bourbaki’ s alternative to the Riemann integral , The American Mathematical Monthly , Vol. 86 , No.3. 1979, P 208—211