§4两个重要的极限 sinx 证明x0x 重要极限演示1 证§1例4中我们已导出如下不等式 丌 0<x< sinx<x< tanx 除以snx,得到1 nx cosx,由此得 sin x COSx< <1 (1) 在(1)式中用一x代替不时,(1)式不变,故 丌 丌 二<x<0 << (1)式当2 时也成立,从而它对一切满足不等式 的 x都成立 lin cosx=1 及函数极限的迫敛性,即得
§4 两个重要的极限 一 证明 [重要极限演示] 证 §1 例 4 中我们已导出如下不等式 （ ）． 除以 ，得到 ，由此得 （１） 在（１）式中用 代替 时，（１）式不变，故 （１）式当 时也成立，从而它对一切满足不等式 的 都成立． 由 及函数极限的迫敛性，即得 ．
sin x 函数 x的图象如右图所示 lim 例1求 解令=x-x,则sinx=sinx-=smn,且当x→)丌时→0.所以有 lim sin x il 丌-x lin 1-cos X 例2求
函数 的图象如右图所示． 例１ 求 解 令 ，则 ，且当 时 ．所以有 例 2 求
X 1-co5x lin 解 2 lim1+ e 证明 (1+1/)y 2 2.68 2.64 证所求证的极限等价于同时成立以下两个极限
解 ＝ ＝ 二 证明 y='(1+1/x)^x';ezplot(y,[10,100]) 证 所求证的极限等价于同时成立以下两个极限
lim 1+==e (2) lim 1+ (3) Him 1+-=e 先利用数列极限 证明(2)式成立 为此,作定义在[1+)上的两个阶梯函数如下 f()=|1+ n+1)n≤x<n+1.n=12 g(x)=1+ n≤x<n+1n=1,2,… 易见J增(第二章§3习题4)且有上界,减(第二章§3习题9)且有下 界.故据上节习题2, rx) lim g() 皆存在.于是,由归结原则(取{x,】切得到 limi lim 1+ X 另一方面,当”≤x<n+1时有
（2） （3） 先利用数列极限 证明（2）式成立． 为此，作定义在 上的两个阶梯函数如下： ， ， ， ， 易见 增（第二章§3 习题 4）且有上界, 减（第二章§3 习题 9）且有下 界．故据上节习题 2， 与 皆存在．于是，由归结原则（取 ＝ ）得到 ＝ ＝ 另一方面，当 时有
1+ 1+-≤1+ 7+7/1+2 1+ 及 即有 x∈[1+o) 从而根据迫敛性,定理(2)式得证. 现证(3)式.为此作代换x=-y,则 且当x→-00时”→0,从而有 y-1 1 1+ (+2 以后还常用到e的另一种极限形式 m 1+a) (4) 事实上,令x,则x→∞兮a→0,所以 lim 1+ lim(1+a]a
以 及 ， 即有 ， ． 从而根据迫敛性，定理（2）式得证． 现证（3）式．为此作代换 ，则 ， 且当 时 ，从而有 ＝ 以后还常用到 的另一种极限形式： （4） 事实上，令 ，则 ，所以 ＝
lim(1+2y 例3求 lim(1+2 1+2x)2.1+2x) 解 x-0 lim(1-x 例4求 x-0 解令 则当x→0时 ,因此 lm(-x)mm1+4)21 例5求 11 1+ 解 另一方面,当n>1时有 n-1\n-1n1 1+ ≥1+ 2.3. 而由归结原则(取 n2 门 lim 1+ 于是,由数列极限的迫敛性得
例 3 求 解 ＝ 例 4 求 解 令 , 则当 时 ，因此 = = 例 5 求 解 ． 另一方面，当 时有 而由归结原则（取 ）， ＝ ＝ 于是，由数列极限的迫敛性得
1+ n n2