第四章函数的连续性 §1连续性概念 教学内容: 1.连续性概念的引入 2连续的几个等价定义 3间断点的定义以及分类 教学重点:函数在一点连续的概念 教学难点:间断点的分类 问题的提出 (1)自然界中有许多现象如气温的变化,河水的流动,植物的生长等 等,都是连续地变化着的这种现象在函数关系上的反应就是函数的连 续性 (2)直观上来说,连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。(如图1)
第四章 函数的连续性 § 1 连续性概念 教学内容： 1.连续性概念的引入 2.连续的几个等价定义 3.间断点的定义以及分类 教学重点：函数在一点连续的概念 教学难点：间断点的分类 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等 等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连 续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
y=f(x) A 图1 函数在一点的连续性 1.定义的引入 先回顾一下函数在x0点的极限lmf(x)=A,定义中要求f(x)在 x→>xo xo的某个空心邻域内有定义,即f(x)在x有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里f(x)可以有三种情况:
O x y y = f (x) x0 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x = → lim ( ) 0 定义中要求 f (x) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
(1)f(x0)无定义,比如上章讲过的特殊板限 lim sin((x-x0) 1(图2) x> x-x (2)f(x0)≠A,比如f(x)= x≠0,imf(x)=x0≠f(x0)(图3) x+1 x (3)f(x0)=A,(图1) y=f(x) y=f(r) A 图2 图3 第3种情况与前两种情况不同,要求∫(x)在xo有定义且极限等Jf(x), 我们称这种情况为f(x)在x处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， + = = 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → （图3） (3) f (x0 ) = A， (图1） x0 y = f (x) O x y 图2 O x y x0 ( ) 0 f x y = f (x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f (x) 在 0 x 有定义且极限等于 f (x0 )， 我们称这种情况为 f (x)在 0 x 处连续
2.f(x)在xo处连续的定义 定义1:设函数f(x)在xo的某邻域U(x)内有定义,若 lim f()=f(o) 则称函数f(x)在x0点连续。 例如函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为 limf(x)=im(2x+1)=5=f(2) XSIn ≠0 又如函数f(x)= 在x=0处连续。因为 imf(x)= lim x sin-=0=f(0)(无穷小乘以有界量仍为无穷小) x->0 x->0 3.等价定义 先引入增量的定义:记Ax=x-x,称为自变量x(在点x0)的增量
2. f (x) 在 x0 处连续的定义 定义1：设函数 f (x) 在 x0 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （1） 则称函数 f (x) 在 x0 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x = + = = = + = → → 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x = = = = = = → → 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x = x − x0 ,称为 自变量 x ( ) 0 在点x 的增量
或改变量;Ay=f(x)-f(x)=f(x0+△x)-f(x)=y-y 称为函数y(在点x0)的增量或改变量。要说明的是增量Ax、Ay 可以是正的,也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 f(x+△x)y=f(x) △ f(o) 0 xo +a 图4 利用增量定义得 等价定义1:设函数f(x)在x的某邻域内有定义若hmAy=0,则称 函数(x)在xo点连续
或改变量； 0 0 0 0 y = f (x) − f (x ) = f (x + x) − f (x ) = y − y 称为函数 ) 0 y（在点x 的增量或改变量。要说明的是增量 x、y 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 x0 x + x 0 ( ) 0 f x x y y = f (x) O x y ( ) 0 f x + x 图4 利用增量定义得 等价定义1：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若 lim 0，则称 0 = → y x 函数 f (x) 在 x0 点连续
也可以改用￡-o定义: 等价定义2:设函数f(x)在x的某邻域内有定义若对vE>0,彐>0 使得当x-x<8时,有f(x)-f(x)<E,则称函数(x) 在x点连续。 注意问题: (1)f(x)在x有极限是f(x)在x连续的必要条件; (2)函数f(x)在x连续,要求f(x)在x点有定义,而等价定义2中不等式 f(x)-f(x)<6对x=xo总成立,因此极限的“E-6”语言叙述中把 0<|x-x<”换成“x-x0|<0” (3)(1)式又可表示为mf(x)=f(Iimx)=f(x0) 可见“∫在x=0连续”意味着极限运算lim与对应法则f的可交换性 例1:证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中D(x)为狄利克雷函数
也可以改用－定义： 等价定义2：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若对 0 , 0 使得当 x − x0 时，有 f (x) − f (x0 ) ,则称 函数 f (x) 在 x0 点连续。 注意问题： 可见“ 在 连续”意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 （ ）（）式又可表示为 “ ”换成“ ”； 对 总成立，因此极限的“ － ”语言叙述中把 （ ）函数 在 连续，要求 在 点有定义，而等价定义 中不等式 （） 在 有极限是 在 连续的必要条件； f x f f x f x f x x x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x 0 0 0 0 lim 3 1 lim ( ) (lim ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → → → = = = − − − = 例1： 证明函数 f (x) = x D(x)在点x = 0连续，其中D(x)为狄利克雷函数
证明:由f(O)=0及D(x)≤1,对于VE>0,为使 (x)-f(0)=|xD(x)sx|xd 则称函数∫(x)在xo点右连续(或左连续) 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4.1:∫(x)在xo点连续的充要条件为∫(x)在xo点既右连续又左连续。 由定理我们知道,要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
只要取 ＝ ，即可按 定义推得 在 连续。 证明：由 及 ，对于 ，为使 ( ) 0 ( ) (0) ( ) (0) 0 ( ) 1 0 − = − = = f x x f x f x D x x f D x 4．左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 f (x) 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 f (x) 在 x0 左、右极限的定义得 定义2：设 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x U x U x x x x x = = → + → − + − 或 在 的某右邻域 或左邻域 内有定义，若 则称函数 f (x) 在 x0 点右连续（或左连续）。 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4．1： f (x) 在 x0 点连续的充要条件为： f (x) 在 x0 点既右连续又左连续。 由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
例2:讨论函数f(x)= +2x≥0 在x=0的连续性。 X+2 x-2x0 x->0 lim f(x)=lm(x-2)=-2*f(o) x→>0 x->0 所以f(x)在x=0右连续,但不左连续, X-2 从而f(x)在x=0不连续。(如图5) 图5 二.间断点及其分类 1.间断点的定义 定义3:设函数∫在某U0(x)有定义,若f在点x无定义,或在点x有定义 但不连续,则称点x0为f的间断点或不连续点 从定义我们可以得到,若x为函数∫的间断点,则是下列情形之 1)f在点x无定义(如图2)
例2： 讨论函数 在 0的连续性。 2 0 2 0 ( ) = − + = x x x x x f x lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = + = = → + → 解：因为lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = − = − → − → 从而 在 不连续。如图 ） 所以 在 右连续，但不左连续， ( ) 0 ( 5 ( ) 0 = = f x x f x x 2 －2 x y O x+2 x-2 图5 二.间断点及其分类 1．间断点的定义 定义3： 但不连续，则称点 为 的 设函数 在某 内有定义，若 在点 无定义，或在点 有定义 x f f U x f x x 0 0 0 0 0 ( ) 间断点或不连续点。 从定义我们可以得到， 若x0为函数 f 的间断点，则是下列情形之一： 1) f 在点x0无定义（如图2）
2)mf(x)不存在; x→x 3)f在点x有定义且mf(x)=A存在,但A≠f(x)(如图3) 根据这几种情形,联系左、右极限,我们对函数的间断点进行分类 2.间断点的分类 1)可去间断点:若lmf(x)=A,而f在点x无定义,或有定义但 x→x A≠f(x0),则称x为函数f的可去间断点。 例3:f(x)=sgnx|,imf(x)=1,f(0)=0,f(0)≠1 x→>0 故x=0是f(x)的可去间断点。 SIn x 例4:f(x) ,lmf(x)=1,但f(x)在x=0无定义 x->0 故x=0是f(x)的可去间断点
） 在点 有定义且 存在，但 如图 ） 不存在； 3 lim ( ) ( )( 3 2) lim ( ) 0 0 0 0 f x f x A A f x f x x x x x = → → 根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类 2．间断点的分类 1）可去间断点： ，则称 为函数 的 若 ，而 在点 无定义，或有定义但 A f x x f f x A f x x x 0 0 0 ( ) lim ( ) 0 = → 可去间断点。 例3： 故 是 的可去间断点。 ， ， ， 0 ( ) ( ) sgn lim ( ) 1 (0) 0 (0) 1 0 x f x f x x f x f f x = = = = → 例4： 故 是 的可去间断点。 ， ，但 在 无定义 0 ( ) lim ( ) 1 ( ) 0 sin ( ) 0 x f x f x f x x x x f x x = = = = →
说明:对可去间断点,我们可以补充(在点x无定义)或改变f(x)值 f在点x有定义但A≠f(x0)得一个新的函数f(x)使它在x连续 sgn xx≠0 如例3中,取f(x)= ,则∫(x)在x=0连续。(改变f(0)的值 如例中,取f(x)=x x≠0 ,则∫(x)在x=0连续。(补充f(0)的值 0 2)跳跃间断点:若函数f在点x的左、右极限都存在但不相等,即 imnf(x)≠limf(x) 则称点x0为函数f的跳跃间断点。 例5:f(x)=[x],1m[x]=n-1,lm[x]=n(其中n为整数) x→n x→n 由于im[x]≠im[x],故x=n是f(x)=[x的跳跃间断点(如图6) x→n x→)n
说明: 在点 有定义但 得一个新的函数 使它在 连续。 对可去间断点，我们可以补充（ 在点 无定义）或改变 的值 0 0 0 0 0 ( ), ~ ( ( )) ( ) f x A f x f x x f x f x 如例 中，取 ，则 ( )在 0连续。（改变 (0)的值） ~ 1 0 sgn 0 ( ) ~ 3 f x x f x x x f x = = = 如例 中，取 ，则 ( )在 0连续。（补充 (0)的值） ~ 1 0 0 sin ( ) ~ 4 f x x f x x x x f x = = = 2）跳跃间断点： 则称点 为函数 的 若函数 在点 的左、右极限都存在但不相等，即 x f f x f x f x x x x x 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 0 → + → − 跳跃间断点。 例5： f x x x n x n 其中n为整数） x n x n ( ) = [ ], lim [ ] = −1 , lim [ ] = ( → − → + 由于 lim [x] lim [x]，故x n是f (x) [x]的跳跃间断点。(如图6） x n x n = = → − → +
