83函数概念 囪数是整个高等数学中最基本的研宪对象,可以说数学分析就是研宪函数 的.因此我们对囪数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识 图数的定义 1.囪数的几点说明 函数的两要素:定义域和对应法则 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 对应法则f W f(x0)
1 § 3 函数概念 函 数 是整个高等数学中最基本的研究对 象 , 可 以 说 数学分析就是研究函数 的 . 因此我 们 对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认 识 . 一 函数的定 义 1. 函数的 几 点 说 明 . 函数的两要素 : 定义域和对应法则 约 定 : 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意义 的一切 实 数 值 . 2 例 ，如 y x D = − − 1 , :[ 1,1] 2 1 , : ( 1, 1) 1 y D x = − − 例 如 ， ( ( ) ) x 0 0 f x ( ) 对 应 法 则 f x y D W
例如 D 例如 D 图数的表示法:解析法,列表法,图像法 分段函数 0 sgn x 0 x为有理数 狄里克雷函数D(x)= 0,x为无理数 =P既约真分数 黎曼函数R(x)={q 0,下=0,1和(0,1内的无理数 2
2 § 3 函数概念 函 数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象 , 可 以 说 数学分析就是研究函数 的 . 因此我 们 对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认 识 . 一 函数的定 义 1 . 函数的 几 点 说 明 . 函数的两要素 : 定义域和对应法则 约 定 : 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值 . 2 例 ，如 y x D = − − 1 , : [ 1, 1] 2 1 , : ( 1, 1) 1 y D x = − − 例 如 ， ( ( ) ) x 0 0 f x ( ) 对 应 法 则 f x y D W 函数的表示法 : 解析法, 列表法, 图像 法. 分段函数 1 , 0 s gn 0 , 0 1 , 0 x x x x = = − 狄里克雷函数 1 , ( ) 0 x D x x = 为有理数 ， 为无理数 黎曼函数 1 , ( ) 0 0 1 0 1 p x R x q q = = 既约真分数 ， 下＝ ， 和（ ，）内的无理数 y 1 -1 o x 函数的表示法 : 解析法, 列表法, 图像 法. 分段函数 1 , 0 s gn 0 , 0 1 , 0 x x x x = = − 狄里克雷函数 1 , ( ) 0 x D x x = 为有理数 ， 为无理数 黎曼函数 1 , ( ) 0 0 1 0 1 p x R x q q = = 既约真分数 ， 下＝ ， 和（ ，）内的无理数 y 1 -1 o x y 1 -1 o x § 3 函数概念 函 数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象 , 可 以 说 数学分析就是研究函数 的 . 因此我 们 对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认 识 . 一 函数的定 义 1 . 函数的 几 点 说 明 . 函数的两要素 : 定义域和对应法则 约 定 : 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值 . 2 例 ，如 y x D = − − 1 , : [ 1, 1] 2 1 , : ( 1, 1) 1 y D x = − − 例 如 ， ( ( ) ) x 0 0 f x ( ) 对 应 法 则 f x y D W 函数的表示法 : 解析法, 列表法, 图像 法. 分段函数 1 , 0 s gn 0 , 0 1 , 0 x x x x = = − 狄里克雷函数 1 , ( ) 0 x D x x = 为有理数 ， 为无理数 黎曼函数 1 , ( ) 0 0 1 0 1 p x R x q q = = 既约真分数 ， 下＝ ， 和（ ，）内的无理数 y 1 -1 o x 函数的表示法 : 解析法, 列表法, 图像 法. 分段函数 1 , 0 s gn 0 , 0 1 , 0 x x x x = = − 狄里克雷函数 1 , ( ) 0 x D x x = 为有理数 ， 为无理数 黎曼函数 1 , ( ) 0 0 1 0 1 p x R x q q = = 既约真分数 ， 下＝ ， 和（ ，）内的无理数 y 1 -1 o x y 1 -1 o x
思考题: 下列函数是否相同,为什么? 1、f(x)=2lgx与g(x)=1gx2 2、f(x)=x与g(x)=x( arcsinx+ arccos x) f(x)=|x与g(x
3 ( ) 2 2 1 ( ) 2lg ( ) lg 2 ( ) arcsin arccos . 2 3 ( ) ( ) . f x x g x x x g x x x x f x x g x x = = = + = = 思考题： 下列函数是否相同，为什么？ 、 与 、f(x)= 与 、 与
函数的四则运算 给定两个函数∫,x∈D1和g,x∈D2,记D=D1∩D2,并设 D≠φ,我们定义f与g在D上的和、差、积运算如下: F(x)=f(x)+g(x),x∈D G(x)=f(x)-g(x),x∈D H(x)=f(x)g(x),x∈D 若在D中剔除使g(x)=0的x值,即令 D=D1∩{xg(x)≠0,x∈D2}≠ 可在D上定义与g的商运算如下: L(x) f (x) g(X )∈D 注:若D=D1∩D2=φ,则∫与g不能进行四则运算,例如:
4 三 函数的四则运算 1 2 1 2 1 2 * 1 2 , , , , , . ( ) 0 ( ) 0, , , . f x D g x D D D D D D D D D g x x D x g x x D f g x D D D D = = = = = * * 给定两个函数 和 记 ，并设 ，我们定义 f 与 g 在 D 上的和、差、积运算如下： F(x)=f(x)+g(x),x G(x)=f(x)-g(x),x H(x)=f(x)g(x),x 若在 中剔除使 的 值，即令 D 可在 D 上定义 与 的商运算如下： f(x) L(x)= g(x) 注：若 ， 则 与 不能进行四则运算，例如： f g
f(x)=√1-x2,x∈D={(|xs},g(x) 4.x∈D 因D∩D2=d,所以表达式 f(x)+(x)=√1-x2+√x2-4是没有意义的。 四复合函数: 设有两个函数 =f(u),u∈D,u=g(x),x∈E,若 E'={x|8(x)∈D∩E}≠p,则Vx∈E',通过函数g对应D内唯一,而u 通过函数∫对应唯一j j=f() g(r g {x|g(x)∈D} E
5 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 1 , 1 , ( ) 4, 2 , ( ) ( ) 1 4 f x x x D x x g x x x D x x D D f x g x x x = − = = − = = + = − + − 因 ， 所以表达式 是没有意义的。 四 复合函 数: 设有两个函数 y = f (u) , u D , u = g( x) , x E ， 若 = { | ( ) } * E x g x D E ，则 * x E ， 通过函数 g 对 应 D 内唯一u ，而 u 通过函数 f 对应唯一 y 这样， * x E 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量，y 为因变量 的函数，记作 y = f (g(x)) ，称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数，u 为中间变量。 E D E* g y = f (u ) {x | g( x) D} f x u = g(x)
这样,x∈E'都有唯一y和它对应,因此确定了一个以x为自变量,y为因变量 的函数,记作y=f(g(x),称为函数f和g的复合函数,并称f为外函数,g 为内函数,u为中间变量 思考题 f(n)=√1-n2与u= arcsin(x2+1)是否可复合成函数? 五反函数 y函数y=f(x) 反函数x=0(y)
6 四 复合函 数: 设有两个函数 y = f (u) , u D , u = g( x) , x E ， 若 = { | ( ) } * E x g x D E ，则 * x E ， 通过函数 g 对 应 D 内唯一u ，而 u 通过函数 f 对应唯一 y 这样， * x E 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量，y 为因变量 的函数，记作 y = f (g(x)) ，称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数，u 为中间变量。 E D E* g y = f (u ) {x | g( x) D} f x u = g(x) 2 2 f u u u x ( ) 1 arcsin( 1) = − = + 思考题： 与 是否可复合成函数？ 五 反函数 x 0 0 y 0 x 0 y x y 函 数 y = f (x) o x 反函数 x = ( y ) o 直接函数 y = f ( x ) x y o Q (b , a ) P ( a , b ) 反函数 y = ( x )
反函数y=(x) 2(6, a) 直接函数y=f(x) 六初等函数 1、常数函数 2、幂函数
7 五 反函数 0 x 0 y 0 x 0 y x y 函 数 y = f (x) o x 反函数 x = ( y ) o 直接函数 y = f ( x ) x yo Q (b , a ) P ( a , b ) 反函数 y = ( x ) 六 初等函数 1、常数函数 2、幂函数
y=x“(a>0)的图象,以y=x2、x2、x3的图象为例
8 1 1 2 2 3 y x y x x x ( 0) = = 的图象，以 、 、 的图象为例:
y=x“(a<0的图象以y=x2、x、x2的图象为例 y=x 属示图象形成过程 y=
9 1 2 1 2 y x y x x x ( 0) − − − = = 的图象 以 、 、 的图象为例： 2 y x − = 1 y x − = 1 2 y x − =
3、指数函数图象y=ax(a>0,a≠1)4、对数函数 y= logx(a>0,a≠1)图象 0<a<的情形 log 演示图象动态形成过
10 4 x a a ( 0, 1) x a 3、指数函数图象 y=a (a>0,a 1) 、对数函数 y=log 图象: 0 1 a 的情形 1 2 y x = log1 2 x y =