§4定积分性质 定积分的基本性质 性质1(线性性质)若八、g在a,b上可积,则a+a,b上也可积,且 ∫g(x)+)g(对)=」(+」g(x 其中:a、β是常数 证 性质2若∫、g在[a,b上可积,则fg在[a,b上也可积 证 性质3f在a,b上可积∨c∈(a,b),f在[a,c]与[c,b上可积此时又有
1 §4定积分性质 一、定积分的基本性质 性质1（线性性质） 若f、g在[a,b]上可积，则f + g在[a,b]上也可积，且 2 [ , ] . [ , ] 3 [ , ] ( , ), [ , ] [ , ] . f g a b f g a b f a b c a b f a c c b 其中： 、 是常数 证 性质 若 、 在 上可积，则 在 上也可积。 证 性质 在 上可积 在 与 上可积 此时又有
等式 f(x)dx= f(x)dx+If(x)dx 证 性质3说明: 1)性质3及其公式称为积分区间可加性。当f≥0 C B 时,性质公式的几何意义就是曲边梯形面积A 的可加性如右图所示:曲边梯形AabB的面积等 于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积
2 ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 等式 证 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o x y o a c b C B A 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o x y o a c b C B A x y o a c b C B A
2)、若规定:(x)x=0,Jf(x)k=「f(x)k 推论:若在[A,B上可积,且a、b、c∈[A,B], 则(x)x=丁f(x)+∫f(x 这里的a、b、c是任意的大小顺序 性质4若在[ab上可积且非负,则:「f(x)x≥0 推论(积分关于函数的单调性):若f、g为a,b上的可积函数,且 f(x)g(x)x∈[b则有:∫(x)xss(x)反之确否?) 利用性质4可得一个重要的结论:即对积分值大小的基本估计 方法
3 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o 则有： 反之确否？） 推论（积分关于函数的单调性）：若 、 为 上的可积函数，且 性质 若 在 上可积且非负，则： 这里的 、 、 是任意的大小顺序 则： 推论：若 在 ， 上可积，且 、 、 ， ， ）、若规定： 于曲边梯形 的面积与 的面积 的可加性 如右图所示：曲边梯形 的面积等 时，性质 的公式的几何意义就是曲边梯形面积 ）性质 及其公式称为积分区间可加性。当 性质 说明： ( ) ( ), [ , ], ( ) ( ) . ( [ , ] 4 [ , ] ( ) 0. . ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 2 ( ) 0, ( ) ( ) . . . 3 1 3 0 3 = + = = − b a b a b a b c c a b a a b b a a a f x g x x a b f x d x g x d x f g a b f a b f x d x a b c f x d x f x d x f x d x f A B a b c A B f x d x f x d x f x d x AacC CcbB AabB f a b A C B c x y o 利用性质4可得一个重要的结论：即对积分值大小的基本估计 方法
m(b-a)≤|f(x)atx≤M(b-a) 其中:M与m分别为在[a,b上的上、下确界,特别地,当在[a,b上连续 时,M与m自然为在a,b上的最大与最小值 性质5(绝对可积性)若在[a,b上可积,则在ab上一定可积,且 ∫/(x)5(x) 证 注意:这个性质的逆命题一般不成立,例如: f(x)={ l,x∈R-g 在0,1上不可积,但因(x)=1,它在[0上 可积
4 可积。 在 上不可积，但因 它在 上 注意：这个性质的逆命题一般不成立，例如： 证 性质（绝对可积性） 若 在 上可积，则 在 上一定可积，且 时， 与 自然为 在 上的最大与最小值。 其中： 与 分别为 在 上的上、下确界，特别地，当 在 上连续 , [0, 1] ( ) 1, [0,1] 1, 1, ( ) ( ) ( ) . 5 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( ). − − = − − f x x R Q x Q f x f x dx f x dx f a b f a b M m f a b M m f a b f a b m b a f x dx M b a b a b a b a
例1求∫/(x)x,其中 2x-1.-1<x<0 f(x)= e-x0<x<1 思考题: 1)、对于分段函数的定积分,为什么可采用积分区间的可加性 来计算? 2)、如果要求直接在[-1,1上使用牛顿一莱布尼茨公式来计算 ∫/fxtx=F(-F(-1),这时F(x)应取怎样的函数?
5 1 1 1 1 1 ( ) , 2 1, 1 0, ( ) , 0 1. 1 2 [ 1, 1] ( ) 1 1 ( ) x f x dx x x f x e x f x dx F F F x − − − − − = − = − − 例 求 其中 思考题： ）、对于分段函数的定积分，为什么可采用积分区间的可加性 来计算？ ）、如果要求直接在 上使用牛顿—莱布尼茨公式来计算 （） （ ），这时 应取怎样的函数？
例2证明:若f(x)在ab上连续,且f(x)20,「f(x)x=0 则f(x)≡0 证明(用反证法) 从此例可知,即使f为一非负可积函数,只要它在某点 x∈[ab上连续,且/(x)>0.则j(xk>0
6 0 0 2 ( ) [ , ] ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0. [ , ] ( ) 0, ( ) 0. b a b a f x a b f x f x dx f x f x a b f x f x dx = 例 证明：若 在 上连续，且 ， 则 证明（用反证法） 从此例可知，即使 为一非负可积函数，只要它在某点 上连续，且 则
二、积分中值定理 定理97(积分第一中值定理)若∫在[a,b]上连续,则至少存在 点∈[ab使得:∫f(x)dk=/(b-a 证 定理的几何意义: Yf(x) 若f在[a,bl上非负连续,则y=f(x)在[a,b] 上曲边梯形的面积等于右图所示的f()为 高、[a,b为底的矩形面积而 6-a b0a f(x)dx 0 则可理解为f(x)在[a,b上所有函数值的平 a 均值。这通常是有限数的算术平均数的 推广
7 9.7 ( [ , ] [ , ] ( ) ( )( ). [ , ] ( ) [ , ] ( ) 1 [ , ] . ( ) ( ) [ , ] b a b a f a b a b f x dx f b a f a b y f x a b f a b f x dx b a f x a b = − = − 二、积分中值定理 定理 积分第一中值定理）若 在 上连续，则至少存在一 点 ，使得： 证 定理的几何意义： 若 在 上非负连续，则 在 上曲边梯形的面积等于右图所示的 为 高、 为底的矩形面积而 则可理解为 在 上所有函数值的平 均值。这通常是有限数的算术平均数的 推广。 x y Y=f(x) 0
定理9.8(推广的积分第一中值定理)若/与g都在a,b上连续,且g(x) 在a,b上不变号,则至少存在一点∈[a,b,使得: ∫f(x)g(x)x=/()(x 证 说明 Ⅰ)、当g(x)≡1时,即为定理97.即定理9.7是定理9.8的特殊情形 2)、可进一步证明指出:5∈(a,b) 例题:证明下列极限: 1)、im|sinx=0.2)、lim ce idx=1 1→ n→0
8 1 1 1 lim sin 0. 2 lim 2 , ). 1 ( ) 1 9.7. 9.7 9.8 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ], 9.8 ( [ , ] ( ) 2 1 0 2 2 = = = − + → → e dx x x a b g x f x g x dx f g x dx a b a b f g a b g x x n n n n n n b a b a ）、 ）、 例题： 证明下列极限： ）、可进一步证明指出： （ ）、当 时，即为定理 即定理 是定理 的特殊情形。 说明： 证 在 上不变号，则至少存在一点 使得： 定理 推广的积分第一中值定理） 若 与 都在 上连续，且