第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容: 1)不定积分的概念 2)不定积分与微分的关系 3)不定积分的基本积分公式 4)不定积分的线性性质 重点:不定积分与微分的关系,基本积分公式 要求:熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
1 第八章 不 定 积 分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容： 1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
首先,我们简要说明积分运算是如何产生的? 般来说,在数学中,一种运算的出现都伴随着它的逆运算。 例如,有加就有减,有乘就有除,有乘方就有开方,等等。我们 前面学过的微分运算也不例外,它也有逆运算一积分运算。我们 已经知道,微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的 导函数,那么我们很自然地会提出与之相反的问题是:求一个未 知函数,使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题,是 因为它存在于许多实际的问题中,例如:已知速度求路程;已知 加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足 的某一规律),求曲线方程等等。要解决这些实际问题,自然会 想到微分运算的逆运算,这就是产生积分运算的原因 为了更好地理解积分运算是导数(微分)运算的逆运算,我 们在介绍积分运算时,把乘方运算(开方)和它作比较:
2 首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？ 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。 例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们 前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算—积分运算。我们 已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的 导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未 知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是 因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知 加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足 的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会 想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
我们熟悉乘方运算 也熟悉导数运算 2=8…(1) 于是提出新问题 同样提出问题 (?) =8 (2 这不是乘方运算,而是它的逆运算一这不是求导运算,而是它的逆运算 开方运算。 积分运算。 一般来说,在下式里 同样,在下式里 b (3) (F(x)=f(x)…(3)
3 我们熟悉乘方运算： 2 8 (1) 3 = 也熟悉导数运算： ( ) 2 (1)' x 2 = x 于是提出新问题： (?) 8 (2) 3 = (?) = 2x (2)' 同样提出问题： 这不是乘方运算，而是它的逆运算— 开方运算。 这不是求导运算，而是它的逆运算— 积分运算。 一般来说，在下式里 ( ) (3) 3 a = b (F(x)) = f (x) (3)' 同样，在下式里
若c知,b知,由a若F(x)已知,f(x)未知,由F(x) →>b则称(3)式为乘方→>f(x),则称(3)式为求导运算, 运算,称b为a的立方。 称f(x)为F(x)的导数。若f(x)已 若b已知,a未知,由知,F(x)未知,由/(x)→F(x2则 b→>a,则称(3)式为 称(3)'式为积分运算,称F(x)为 开方运算,称a为b的 f(x)的原函数 立方根。 通过上面的比较,对积分运算与原函数有了初步认识,以下先给出原函数 与不定积分的有关的定义 原函数与不定积分 定义设函数f与F在区间I上都有定义,若F(x)=f(x),Mx∈I, 则称F为f在区间上的一个原函数
4 , 3 , 3 a b a b b a b a b a a b → → 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为乘方 运算，称 为 的立方。 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为 开方运算，称 为 的 立方根。 ( ) ( ) ( ) ( ), 3 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 3 ' ( ) ( ) F x f x F x f x f x F x f x F x f x F x F x f x → → 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为求导运算， 称 为 的导数。若 已 知， 未知，由 则 称（ ）式为积分运算，称 为 的原函数。 通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数 与不定积分的有关的定义。 一、原函数与不定积分 1 ( ) ( ), , f F I F x f x x I F f I 定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若 = 则称 为 在区间 上的一个原函数
例如:2x3是x2在(-∞,+∞)上的一个原函数,x3|=x2 x2+c(c是任意常数)也是x在(-∞,+)上的原函数,|x2+c=x2 同样,(-√5csx+05)与(-5cx+c)都是smx在(,+a) 的原函数,…(-3cosx+05 /3 cOsx+c=√3Sinx 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话,那么 F(x)= xarctgx-ln(1+x2)是f(x)= arctan的一个原函数, 就没那么明显了,这样给我们提出了问题:
5 ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 , 3 3 1 1 ( . 3 3 x x x x x c c x x c x − + = + − + + = 例如： 是 在 ， 上的一个原函数， 是任意常数）也是 在 ， 上的原函数， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 cos 0.5 3 cos 3 sin 3 cos 0.5 3 cos 3 sin . x x c x x x c x − + − + − + − + = − + = 同样， 与 都是 在 ， 的原函数， 1 2 ( ) ln(1 ) ( ) 2 F x xarctgx x f x arctgx = − + = 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话，那么 是 的一个原函数， 就没那么明显了，这样给我们提出了问题：
1、满足何种条件的函数才存在原函数?原函数有多少个? 这些原函数之间有何关系? 2、若已知某个函数原函数存在,又如何把它求出来? 关于第一个问题,从例子里已看出,若f存在原函数 F,则其原函数不止一个,我们有下面两个定理: 定理8.1若函数f在区间Ⅰ上连续,则f在区间Ⅰ上存 在原函数F,即:F'(x)=f(x),x∈1 (本定理到第九章才能证明)
6 1 2 8.1 ( ) ( ), . ( f F f I f I F F x f x x I = 、满足何种条件的函数才存在原函数？原函数有多少个？ 这些原函数之间有何关系？ 、若已知某个函数原函数存在，又如何把它求出来？ 关于第一个问题，从例子里已看出，若 存在原函数 ，则其原函数不止一个，我们有下面两个定理： 定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存 在原函数 ，即： 本定理到第九章才能证明）
思考题: 1、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数?(初等函数的原 函数不一定是初等函数) 2、若函数存在间断点,它是否一定存在原函数?(可考虑函数:sgn(x) 在点x=0是否存在原函数) 定理82设F是f在区间1的原函数,则: (1)、F+C也是∫的原函数,其中C是任意常量函数(或称为任意 常数); (2)、∫在区间Ⅰ上任意两个原函数之间,只可能相差一个常数。 即是说,如果f存在原函数F(x),则它有无限多个原函数,且f的全体 原函数可表为:F(x)+C
7 1 2 sgn( ) 0 8.2 1 (2) ( ), x x F f I F C f C f I f F x = + 思考题： 、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原 函数不一定是初等函数） 、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数： 在点 是否存在原函数） 定理 设 是 在区间 的原函数，则： （）、 也是 的原函数，其中 是任意常量函数（或称为任意 常数）； 、 在区间 上任意 两个原函数之间，只可能相差一个常数。 即是说，如果 存在原函数 则它有无限 , : ( ) f F x C+ 多个原函数 且 的全体 原函数可表为
思考题: 1、如果函数f(x)的定义域是若干个分离的区间,那么它的原函数彼此之 间是否仅相差一个常数? 可考虑函数f(x)=x,x∈(-∞,-1)∪(0,+∞则:F(x) 2 x∈(-∞,-1) 2 都是f(x)=x在(-∞,-1)∪(0,+∞)的原 +1,x∈(0,+∞) 2 函数,它们之间的关系如何? 2、设F(x)是连续函数R上的原函数,问: 1)、如果f(x)是以T为周期的周期函数,那么F(x)是否为周期函数? 考虑:f(x)=cosx+1 2)、如果f(x)是偶函数,那么F(x)是否为奇函数? 考虑:f(x)=cosx+1
8 ( ) cos 1. 2) ( ) ( ) ( ) cos 1. 1 ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) ( , 1) (0, ) 1 , (0, ) 2 , ( , 1) 2 ( ) , 2 ( ) , ( , 1) (0, ), : ( ) 1 ( ) 2 2 2 = + = + = − − + + + − − = = − − + = f x x f x F x f x x f x T F x F x f R f x x x x x x G x x f x x x F x f x 考虑： 、 如果 是偶函数，那么 是否为奇函数？ 考虑： ）、如果 是以 为周期的周期函数，那么 是否为周期函数？ 、 设 是连续函数 在 上的原函数，问： 函数，它们之间的关系如何？ 都是 在 的原 可考虑函数 则 间是否仅相差一个常数？ 、如果函数 的定义域是若干个分离的区间，那么它的原函数彼此之 思考题：
关于第二个问题,其解答则是本章要介绍的各种积分法 定义2(不定积分)函数f在区间I上的全体原函数称为f在/上的不定积分 记作: ∫/(x)x=F(x)+C() 其中:∫为积分号,f(x)为被积函数,f(x)d为被积表达式,x为积分变量 说明: 1)、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系,即不定积分是一个 函数族,它不是一个函数 2)、不定积分的各个部分虽有其特定名称,但在使用时必须把他们看作 是一个整体。 3)求不定积分,关键是要找到被积函数的一个原函数,再加上任意常数 C即可
9 2 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) , 1 2 f I f I f x dx F x C f x f x dx x = + 关于第二个问题，其解答则是本章要介绍的各种积分法。 定义 （不定积分）函数 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定积分， 记作： 其中： 为积分号， 为被积函数， 为被积表达式 为积分变量。 说明： ）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个 函数族，它不是一个函数。 ）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作 是一 3) C 个整体。 、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数 即可
4)、不定积分的几何意义: 若F是f一个原函数,则称y=F(x) 意叉 的图象为的一条积分曲线,于是, f的不定积分在几何上表示f的某 积分曲线沿y轴方向任意平移所得 切积分曲线组成的曲线族(如右图) 显然,若在每一条积分曲线上横坐 标x相同的点处作切线,则这些切线 互相平行(即斜率均为f(x) 在求原函数的具体的问题中,往往先求出全体原函数,然后从中确定 满足条件F(x)=y(称为初始条件,它由具体问题所决定)的原函数, 它就是积分曲线族中通过点(x,y)的那条积分曲线。 10
10 互相平行（即斜率均为 。 标 相同的点处作切线，则这些切线 显然，若在每一条积分曲线上横坐 切积分曲线组成的曲线族（如右图） 积分曲线沿 轴方向任意平移所得一 的不定积分在几何上表示 的某一 的图象为 的一条积分曲线，于是， 若 是 的一个原函数，则称 ）、不定积分的几何意义： ( )) . ( ) 4 f x x y f f f F f y = F x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) F x y x y = 在求原函数的具体的问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定 满足条件 称为初始条件，它由具体问题所决定 的原函数， 它就是积分曲线族中通过点 的那条积分曲线。 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0 1 2 动态演示不定积分的几何意义 O x x y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0 1 2 动态演示不定积分的几何意义 O x x y