第三节数列极限存在的条件 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第三节 数列极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
数列极限的两大问题 数列极限的存在性; (此问题为最关键的问题) 数列极限值的大小; (存在性成立后,才想办法计算极限)
数列极限的两大问题 • 数列极限的存在性; (此问题为最关键的问题) • 数列极限值的大小; (存在性成立后, 才想办法计算极限)
几种证明极限存在的方法: 按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
几种证明极限存在的方法: • 按照数列极限的定义证明。 • 按照奇、偶子列的收敛性证明。 • 依据任意子列的收敛性证明。 • 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性
如果数列x满足条件 萨产 x1≤x2…≤x≤xn艹1≤…,单调增加 单调数列 2 ≥x.≥ n+1 ,单调减少 几个简单的单调数列: a,=-,n=1, 2,oo. =im a,=0; n=1,2,→lir n“n=0; an=q",(00
几个简单的单调数列: , 1,2,... lim 0; 1 = = = → n n n n a n a = ,(0 1), = 1,2,... lim = 0; → n n n an q q n a , 1,2,... lim 0; 1 = − = = → n n n n a n a 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列
准则l:单调有界准则 单调有界数列必有极限 几何解释: X 2 rrr. t M n+1
x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 准则 I:单调有界准则 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M
几点说明 通常该准则变通为: 1)单调递增有上界的数列存在极限。 2)单调递减有下界的数列存在极限 本定理只是证明了存在性。 ·本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 此定理的条件为充分非必要条件。 an=(-1)-,n=1,2
几点说明: • 通常该准则变通为: 1) 单调递增有上界的数列存在极限。 2) 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 • 此定理的条件为充分非必要条件。 , 1,2,.... 1 = (−1) n = n a n n
例1设an=1+++…+,n=1,2, 其中α≥2,证明{an}收敛。 证明:{an}递增显然,下面证明有上界,事实上: 1+++…+ 2 2 3 1+ 1.22·3 (n-1) n=l,2
例1 设 其中 ,证明 收敛。 证明: 递增显然,下面证明有上界,事实上: , 1,2,... 1 ... 3 1 2 1 = 1+ + + + n = n an 2 { }n a { }n a 2 2 2 1 ... 3 1 2 1 1 n an + + + + , 1,2,.... 1 = 2− n = n n − n + + + + ( 1) 1 ... 2 3 1 1 2 1 1
例2证明lm(1+-)存在 n→0 证明: n+1 n+I 1+ =1+(n+1) ++C n+1 n+1 n n+//+…+ n+1 n 1 1+n·-+…+C1) 十。十 k k 1)(n-1).(n-k+1) ! 2 k-1
例 2 证明 存在 。 n n n ) 1 lim ( 1 + → 证明: 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + + + + + + + + + + + = + + + = + k n kn n n n n C n n n a k n kn n n n n C n n n a + + = + + + = + 1 ... 1 ... 1 1 1 1 − − − = − − − + = nk k n n k n n n n k n C k k kn 1 ... 1 2 1 1 1 !1 1 ! 1 ( 1)...( 1)
an=1+1+-1 十。十 2! k-1 十 ! 款(美-)(12) 的展开式中共有n+1项,每一项为正数
− − − − + − − − − + + = + + − n n n n n n k k n n n an 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 ... 1 1 2! 1 1 1 an 的展开式中共有 n+1 项,每一项为正数
an+1=1+1+ 十。十 2!(n+1 k!(n+1 n+17k +1/ 2 十 n+1 n+1 n+1 (n+1) +∥12 n+1 n n展开式中共有+2项,每一项为正数国□p
+ − + − + − + + + − − + − + − + + − − + − + − + + + + = + + − 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 ... 1 1 1 2! 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n k k n n n an an+1 的展开式中共有n+ 2 项,每一项为正数