引入:由定积分计算引出 思路:表达面积函数(x)=[f()k 微积分学基本定理 1.微积分学基本定理 定理1(微积分学基本定理)若函数feC[a,b则面积函数 重(x)=[f()dt 在b1可导,且2a2 即当 J∈Ca.b]时,面积函数 (x)=[f(t 可导且在点x∈[a,b的导数恰 为被积函数在上限的值亦即(x)是f(x)的一个原函数 证:连续函数必有原函数 2.Mn- Leibniz公式: 定理2(N一L公式)(证) 例 i>0 1i>a In xdx 例2 例361+x 与§1例3联系) 例4设了∈Ca1()20但()0,证明o 证明分析:证明 0= f(x)dx f(x)dx
引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数 . 一． 微积分学基本定理： 1. 微积分学基本定理： 定理 1 （ 微积分学基本定理 ）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = . 即当 时, 面积函数 可导且在点 的导数恰 为被积函数在上限的值. 亦即 是 的一个原函数 . 证:连续函数必有原函数. 2. Newton — Leibniz 公式： 定理 2 （ N — L 公式 ）( 证 ) 例 1 ⅰ> ; ⅱ> ; 例 2 . 例 3 . ( 与§1 例 3 联系 ) 例 4 设 但 ， 证明 >0. 证明分析: 证明
设4()(),只要证明4()如a)=a,=b,且“≤0sb,t∈[a.月 i>c)在[a.上有连续的导函数 f(x)ax=]几c()()dt 则 例6 [1]P305E4) tcos tdt 例7 ([1]P305E5) 例8 以身心=m(1+x 该例为技巧积分. 例9 0 x+ya 该例亦为技巧积分 f(x)dx 例10已知2 求
设 , 只要证明 . 为此证明: ⅰ） ↗ ( 只要 )； ⅱ） 但 不是常值函数 (只要 ), ⅲ） 又 . ( 证 ) 例 5 证明 ( 利用[0,1]上的不等式 ) 二． 定积分换元法： 定理 3 设 函数 满足条件： ⅰ> , 且 ; ⅱ> 在 上有连续的导函数. 则 . （ 证 ） 例 6 . ( [1]P305 E4 ) 例 7 . ( [1]P305 E5 ) 例 8 计算 . 该例为技巧积分. 例 9 . 该例亦为技巧积分. 例 10 已知 , 求
f(x)d 例11设函数f(x)连续且有0 求积分 f(t)dt f( 3 例12设(x)是区间一a,a](a>0上连续的奇(或偶函数)函数,则 f(x f(x)dx=2 f(x)d: 例13 三.分部积分公式: 定理4(分部积分公式) xe"dx 例14 例15计J, sin" xdx=[2c32 J 解 1+Ecos x(sin*-x)'dx ax=(n-1)J2-2-(n-1)J 解得 直接求得
例 11 设函数 连续且有 求积分 例 12 设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （ . ） 例 13 三. 分部积分公式: 定理 4 ( 分部积分公式 ) 例 14 例 15 计算 . 解 = ； 解得 直接求得 ，
22 于是,当n为偶数时,有 n-1n-331 42≈(2-1(n-3…531z(2-1)z n(n-2)…422川2 1n-342_(n2-1) 当n为奇数 习 题 课 积分不等式: 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式: 例1证明不等式n1x-5 ∈2 x2-x+1≤1 证注意在区间[0,1]上有4 例 证明不等式(n+1)<1++…+<1+mn f(x) ≤x<n+1 1,2 证考虑函数 g(x)=-,x∈[1,+0) 易见对任何n,在区间[1,n+1]上g(x)和f(x)均单调,因此可积,且有 g(x)<f(x) 注意到 g(x)≠f(x),就 g(x)dx< [f(x)dx 有 而 ∫(x)=∑J(xax=Ea=∑
于是, 当 为偶数时, 有 ; 当 为奇数时, 有 . 习 题 课 一． 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1 证明不等式 . 证 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , …… 例 2 证明不等式 . 证 考虑函数 , . 易见对任何 , 在区间 上 和 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就 有 . 而
g(x)dx l(n+1)f(x)dx 在区间[1,n+1]仿以上讨论,有 (xdx=In n, x)dx= 1台i+123 +二<1+1nn 72 综上,有不等式 ln(n+1)<1+-+…+-<1+hnn 某些不等式的积分推广: 原理:设函数f(x)和8(x)在区间[a,b]上可积.T为区间[a,b]的n 等分分法,与日[巧小列].若对任何和1≤i≤,均有 ∑/()≤∑g)
. 因此有 . 取 , . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ， . 综上 , 有不等式 . 某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, . 若对任何 和 , 均有
∑f() 令n→∞,注意到函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积,即得积分不等 式 f(x)dx g(x)dx 倘若函数④和亚连续,还可由 4∑(s平Eg) )=9() 例3证明 Schwarz不等式(亦称为 Cauchy- ByH AEOBC H不等式 设函数 ∫(x)和吕(x)在区间[a,b]上连续(其实只要可积就可).则有 不等式 f()g(x)dxs(x)dx.g(x)dx 证法一(由 Cauchy不等式→ Schwarz不等式. Cauchy不 等式参阅 和 为两组实数,则有 |∑∑ 设为区间[a,b的等分分法.由 Cauch不等式,有
即 得 . 令 , 注意到函数 和 在区间 上可积, 即得积分不等 式 . 倘若函数 和 连续 , 还可由 . 例 3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковс кий不等式 ): 设函数 和 在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有 不等式 . 证法一 ( 由 Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不 等式参阅 [1] 设 和 为两组实数, 则有 . ) 设 为区间 的 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有
∑(5)g(5)≤∑f2(5)·∑g2(5) 两端同乘以n2 有 f(5)g(5) b-a\≤ 2(5)∑g2(5 令》→,注意到函数()、g()和f(x)g()在区间[a,b]上的可积 性 以及函数中(x)=x的连续性,就有积分不等式 f(x)g(x)dx sf(x)dx. g(x)dx 证法二 (用判别式法)对任何实数4,有(填(x)+g(x)20 (6(x)+g(x)kx=(2f()+g2(+20)g()20 f (x)dx+2 f(x)g(x)dx t+g (x)dx 20 对任何实数成立 即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,于是就有 2(C(84C()(g( f(x)g(x)dx/(x)dx. g(x)dx 即 例4J∈C[a,b]且∫>0.证明不等式
, 两端同乘以 , 有 , 令 , 注意到函数 、 和 在区间 上的可积 性 以及函数 的连续性，就有积分不等式 . 证法二 （ 用判别式法 ） 对任何实数 ，有 ， , 即 对任何实数 成立. 即上述关于 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 , 即 . 例 4 且 . 证明不等式
j动a在2(b-2 (x)=√f(x),(x)=、1 证取 (x 对函数为和为应用 Schwarz不等式,即得所证 例5设函数(x)在区间[0,1]上可积.试证明有不等式 < 证先用 Jensen不等式法证明不等式:对x1,x2…,x∈R有不 等式 x+…+x x+…+x2 设T为区间[0,1]的等分分法由上述不等式,有 令n→∞,注意到函数(x)和(x)在区间[0,1]上的可积性以 及函数X和√x的连续性,就有积分不等式 仿该例,可得到均值不等式、 面积函数的导数: 求a沿x2x sinta 例6
. 证 取 . 对函数 和 应用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 5 设函数 在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式 . 证 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对 , 有不 等式 . 设 为区间 的 等分分法. 由上述不等式 , 有 . 令 , 注意到函数 和 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以 及函数 和 的连续性，就有积分不等式 . 仿该例, 可得到均值不等式、 二. 面积函数的导数 : 例 6 求 和
tartet d i a 和 d r dx t>1 例8求 d In x 例9设x20时函数f(x)连续且0 求 f(tdt =x 例10设函数f(x)连续且0 求C和f 解令 C=二 两端求导 f()=12 例11设 f(r) C[a, b F(x f(t)(x-t)dt,x∈[a,b] 试证明 证 f(dt-Ltf(o F(x)=f()dt+xf(x)-x(x)=f(dt F(x) 例12设函数(x)在区间[0,+)上连续且 tf(edt f(x)>0 f(e)d 试证明:函数(x)在区间(0,+∞)内严格递增
例 7 求 和 例 8 求 . 例 9 设 时函数 连续且 . 求 . ( = ) 例 10 设函数 连续且 . 求 和 . 解 令 . 两端求导, = . 例 11 设 . = . 试证明 : = . 证 = , = . 例 12 设函数 在区间 上连续且 >0. . 试证明: 函数 在区间 内严格递增
证g()=( f()dt 而 J(x)>0,在(0x)内J((x-)>0,又f()(x-4)连 续 f(o(x-tdt>0 在区间(0,+)内(x)>0.因此o(x)在区间 (0,+)内严格递增 三.含有变限积分的未定型极限: 例13求极限 cost dt 四.定积分的计算 例14计算积分0 例15计算积分f(x)=1x-| 解x>1时,f(x)4(x-)h=x1 x<0 时,f(x)与4(-x)=1x 32 0≤x41时,f(x)(x-0l+g-x)hB23
证 = , 而 . >0 , 在 内 ，又 连 续 ， ， 在区间 内 >0 . 因此 在区间 内严格递增. 三. 含有变限积分的未定型极限: 例 13 求极限 . 四. 定积分的计算 : 例 14 计算积分 . 例 15 计算积分 = . 解 时, = ; 时, = ; 时, =