§2牛顿一莱布尼兹公式 若用定积分定义求∫f(x)女,一般来说是比较困难的。是否有 较简便的方法求∫(x)x?下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来 定理91若函数∫在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),即F(x)=f(x), x∈[a,b则f在a,b上可积,且: b∫a f(xdx= F(b)-F(a) 称为牛顿莱布尼茨公式,它常写成:(x)dk=F(x)如=F(b)-F(a) 证
1 §2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求 b a f (x)dx ，一般来说是比较困难的。是否有 较简便的方法求 b a f (x)dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。 证 称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： 则 在 上可积，且： 定理 若函数 在 上连续，且存在原函数 即 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). [ , ], [ , ] 9.1 [ , ] ( ), ( ) ( ), f x dx F x F b F a f x dx F b F a x a b f a b f a b F x F x f x b a b a b a − = = − = − =
公式使用说明: 在应用公式求(x减女时,f(x)原函数必须是初等函数,否则使用 公式求∫f(x)h失效。即f(x)原函数F(x)可由/(x)求出 2、定理的条件还可适当减弱,如: 1)、对F的要求可减弱为:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且: F(x)=f(x).不影响定理的证明。 2)、对∫的要求可减弱为:在[a,b]上可积(不一定连续),这时 公式仍成立 3)、若定理中的F与∫同时减弱为:f在[a,b上可积,F在[a,b上连 续,且除有限个点外有F'(x)=f(x),则公式仍成立 4)、在学习连续函数必存在原函数的定理后,定理中对F的假设 便是多余的条件
2 公式使用说明： 便是多余的条件。 ）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对 的假设 续，且除有限个点外有 则公式仍成立。 ）、若定理中的 与 同时减弱为：在 上可积， 在 上连 公式仍成立。 ）、对 的要求可减弱为：在 上可积（不一定连续），这时 不影响定理的证明。 ）、对 的要求可减弱为：在 上连续，在（ ）内可导，且： 、 定理的条件还可适当减弱，如： 公式求 失效。即 的原函数 可由 求出。 、在应用公式求 时， 的原函数必须是初等函数，否则使用 F F x f x F f f a b F a b f a b F x f x F a b a b f x dx f x F x f x dx f x dx f x b a b a 4 ( ) ( ), 3 [ , ] [ , ] 2 [ , ] ( ) ( ). 1 [ , ] , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = =
例1、利用牛顿一莱布尼茨公式求下列定积分 1)、|xdx(m∈N,),2)、e'tr,3)|-2ax(0<a<b) 4)、smxh5、x4-x2 0 利用定积分的定义可求某些数列的极限:若待求极限的数列 通过适当的变形,能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时,则可用定积分的定义来求数列的极限 例2、用定积分的定义求极限 lim n→n+1n+2 2n 解
3 xdx x x dx dx a b x x dx n N e dx b a b a x b a n − + 2 0 2 0 2 4) sin , 5) 4 0 ). 1 1 ( ), 2) , 3) 1 、 、 ）、 、 、 （ 例 、 利用牛顿 — 莱布尼茨公式求下列定积分 利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。 解 例 、用定积分的定义求极限 + + + + n→ n + n 2n 1 2 1 1 1 lim 2
§3可积条件 个函数究竞要满足何种条件,才能可积?这是本节所要讨论的 的主要问题。 、可积的必要条件 定理92若函数∫在[a,b上可积,则∫在[a,b上一定有界。 证 定理指出,任何可积函数一定是有界的,但要注意,有界函数却不 定可积。如:狄利克雷函数 1,x∈O D(x) ,在[0,1上有界,但不可积 0,x∈R-Q 由此可见,有界是函数可积的必要条件,但不充分。 、可积的充分条件 以下讨论函数的可积性时,总是假设函数是有界的
4 §3 可积条件 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的 的主要问题。 一、可积的必要条件 以下讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的。 二、 可积的充分条件 由此可见，有界是函数可积的必要条件，但不充分。 在 ， 上有界，但不可积。 ， （ ） 定可积。如： 狄利克雷函数 定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数却不一 证 定理 若函数 在 上可积，则 在 上一定有界。 , [0 1] 0, 1 9.2 [ , ] [ , ] − = x R Q x Q D x f a b f a b
1.思路与方案 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且亐分法亟介点无 关的条件 方案:定义上和S(7)和下和S(7),研究它们的性质和当→0 时有相同极限的充要条件 2.达布和 设T={△|1=12…n为对ab的任一分割,由在ab]上有界,它在 每一个Δ上存在上、下确界: A=sup f(x), m=inf f(x),i=1,2, ,,,n
5 1. 思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 T i 方案: 定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. 达布和: 1,2, , [ , ] [ , ] sup ( ), inf ( ), 1,2, , . i i i i i i x x T i n a b f a b M f x m f x i n = = = = = 设 为对 的任一分割，由 在 上有界，它在 每一个 上存在上、下确界： S(T ) s(T)
作和 S(7)=∑M,S(7)=∑m 分别称为厂关于分割T的上和与下和(或称为达布上和与达布 下和,统称为达布和) 由达布和定义可知,达布和未必是积分和.但达布和由分法T 唯一确定.则显然有: s(T)≤∑f(5)x≤S(T)(1) 由此可见,只要通过上、下和当→>0时的极限就揭示f在[ab上是否 可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。 (有关上、下和性质的详细讨论参见课本P231-236)
6 1 1 ( ) , ( ) n n i i i i S T M s T m f T = = = = 作和 分别称为 关于分割 的上和与下和（或称为达布上和与达布 下和，统称为达布和） 由达布和定义可知，达布和未必是积分和 .但达布 和由分法 唯一确定. 则显然有： 1 ( ) ( ) ( ) (1) 0 [ , ] 231 236 n i i i s T f x S T T f a b P = → 由此可见，只要通过上、下和当 时的极限就揭示 在 上是否 可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。 （有关上、下和性质的详细讨论参见课本 — ）
定理93(可积准则)函数f在[a,b]上可积的充分条件是:任给E>0, 总彐相应的一个分割T,使得:S(T)-s(T)0,总彐相应的一个分 割T,使得:∑A,<6 由定理可知,讨论有界函数在[a,b]上的可积性,只依赖于S(T)与s(7), 而与复杂的∑f(5)x无关,这相对于用讨论m∑f()x是否存在 极限来判定有界函数的可积性来说,简单得多了 常用定理9.3证明有界函数的可积性较方便
7 1 1 9.3 ( [ , ] 0 ( ) . , ( ) , 9.3' [ , ] 0 . i i i i n i i i n i i i f a b T S T s T M m f S T s T x f a b T x = = − = − − = 定理 可积准则）函数 在 上可积的充分条件是：任给 ， 总 相应的一个分割 ，使得：（ ） 设 称为 在 上的振幅，这样 （ ） 因此可积准则改写为： 定理 函数 在 上可积 任给 ，总 相应的一个分 割 ，使得： 证 定理 若 是区间 上的单调函数，，则 在 上必可积。 证 上必可积。 定理 若 是区间 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 证 定理 若 在 上连续，则 在 上必可积。 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 三、 可积函数类 常用定理 证明有界函数的可积性较方便。 极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 而与复杂的 无关，这相对于用讨论 是否存在 由定理可知，讨论有界函数在 上的可积性，只依赖于 与 ， 9.6 [ , ] [ , ] [ , ] 9.5 [ , ] 9.4 [ , ] [ , ] 9.3' ( ) lim ( ) [ , ] ( ) ( ) 1 0 1 f a b f a b a b f a b f f a b f a b f x f x a b S T s T i n i i T i n i i = → =
三、可积函数类 根据可积的准则,我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理94若在[a,b上连续,则[a,b]上必可积 证 定理95若是区闻a,b上只有有限个间断点的有界函数,则在 [a,b]上必可积。 证 定理96若是区间a,b上的单调函数,,则f在{a,b上必可积。 证
8 证 定理 若 是区间 上的单调函数，，则 在 上必可积。 证 上必可积。 定理 若 是区间 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 证 定理 若 在 上连续，则 在 上必可积。 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 三、 可积函数类 常用定理 证明有界函数的可积性较方便。 极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 而与复杂的 无关，这相对于用讨论 是否存在 由定理可知，讨论有界函数在 上的可积性，只依赖于 与 ， 9.6 [ , ] [ , ] [ , ] 9.5 [ , ] 9.4 [ , ] [ , ] 9.3' ( ) lim ( ) [ , ] ( ) ( ) 1 0 1 f a b f a b a b f a b f f a b f a b f x f x a b S T s T i n i i T i n i i = → =
定理96说明,单调函数即使有无限多个间断点,仍不失其可积 性 思考题: 1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积? 2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积? 3、闭区间上的单调函数是否必可积? x=0 例2了(x) 1n=1,2,… <X< nn2+1 证明:f(x)在[O,上可积
9 定理9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积 性。 思考题： 1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积 ？ 2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积 ？ 3、闭区间上的单调函数是否必可积 ？ 例2 证明： f (x)在[0，1]上可积
例3证明黎曼函数 p、q互质,q>p, f(x)=q 0,x=0,1以及(0,1)内的无理数, 在可积,且」(x)x=0 (先画出f(x)的图形,结合直观的图形给出证明的思路, 再作证明
10 1 0 3 1 , , , ( ) 0, 0, 1 0 1 [0,1] ( ) 0 p x p q q p f x q q x f x dx = = = = 例 证明黎曼函数 、 互质， 以及（ ，）内的无理数， 在 上可积，且： （先画出f(x)的图形，结合直观的图形给出证明的思路， 再作证明。）