§5微分 .微分概念: f(ro)=lim f(x+△x)-f(x0) 由导数定义 利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系,上式可写为 =f(x0)△x+o(△x) 即函数在x0处的改变量A可表示成两部分: △x的线性部分f(xA△x与△x的高阶无穷小部分O(Ax) 当Ax充分小时,函数的改变量可由第一部分近似代替 8(x)△x 例正方形面积的测问题。设 A= x xn△x △x
§ 5 微分 一. 微分概念: 由导数定义 利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为 即函数在 处的改变量 可表示成两部分： 的线性部分 与 的高阶无穷小部分 。 当 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替 例 正方形面积的测问题。设
正方形的实际边长为x0,由于测量不可能绝对准确,设边长测量的最大误 差为Ax,试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大? △A=(x0+△x)2-x =2x0△x+(△x) 即面积误差由两部分组成: 第一部分 是Ax的线性部分 第二部分(△x)是△x的高阶无穷小,所以△A2xAx 微分定义 定理(可微与可导的关系) 由微分的定义Ay+(A)当△x充分小时 即(x0+△x)Nf(x0)+f(x0)△x 这后一式中的近似号若换成等号就是过(x0,(x)点的切线方程,所以这 种近似计算的实质是“以直代曲”。用这种方法近似计算时,要注意它的前提: △x应充分小!这一点可以从图(d52)看得很清楚 微分的几何意义
正方形的实际边长为 ，由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误 差为 ，试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大？ 即面积误差由两部分组成： 第一部分 是 的线性部分; 第二部分 是 的高阶无穷小，所以 二 微分定义 定理 ( 可微与可导的关系 ). 由微分的定义 当 充分小时 即 这后一式中的近似号若换成等号就是过 点的切线方程，所以这 种近似计算的实质是“以直代曲”。用这种方法近似计算时，要注意它的前提： 应充分小！这一点可以从图（d52）看得很清楚。 三 微分的几何意义
yf(r) xx0+△x 例1求d(m23x)和drg 四.微分运算法则 法则1-4只证2 阶微分形式不变性.利用微分求导数 微商 例2 x In x2 求 和 例3 求 和 五,微分的应用: 建立近似公式:原理:4吵 f(x)s f(xo)+f(xo)(x-xo)
例 1 求 和 四. 微分运算法则: 法则 1—4 只证 2. 一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例 2 求 和 例 3 求 和 五． 微分的应用: 1. 建立近似公式: 原理: 即
特别当x0=0时,有近似公式f(x)。f(0)+()x具体的近似公式 如 sinx s x, 1+x81++x 1+ 作近似计算 原理:(x0+△x2=f(x)+/(x)△ 例求sim29°的近似 丌 048 精确到万分之一等于 sin(29*pi/180) ans三 0.4848 误差不超过10000 提问:这里能用度作单位近似计算吗?为什么? 例求√097和127的近似值 3.估计误差: 绝对误差估计: Ays ' (xo)xl 相对误差估 =|hf(对 it: y=f(x)(0), In y=In f(x),=y 例4设已测得一根圆轴的直径为43c,并知在测量中绝误差不超过 0.2cm.试求以此数据计算圆
特别当 时, 有近似公式 具体的近似公式 如: 等. 2. 作近似计算: 原理: 例 求 的近似 精确到万分之一等于 sin(29*pi/180) ans = 0.4848 误差不超过 提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么? 例 求 和 的近似值. 3． 估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估 计： 例 4 设已测得一根圆轴的直径为 ，并知在测量中绝误差不超过 . 试求以此数据计算圆
轴的横截面面积时所产生的误差. 4求速率 原理:y=().的=(x)h,=f(x dx 例7球半径R以0.2cm/的速度匀速增大,求R=4Cm时,球体积增大的 速度 六.高阶徹分: 高阶微分的定义 2y=d(dy) =d(f(x)dx=d('(x)).dx f(x)dx. dx=f"(x(dx)=f(x)dx n阶微分定义为n-1阶微分的微分,即 dy=d )=…=0(x)dx2 注意区分符号a2=(an)2,d2x(=0.d(x)的意义.) 例7y=f(a)=amx,a=9x)=x2.求ay 以例7为例,说明高阶微分不具有形式不变性 在例7中,倘若以y=m“求二阶微分,然后代入=x2,就有 d y=(sin u)"(du) (du)=-sin x(2xdx"=-4x sin 倘若先把x=x2代入y=mx,再求二阶微分,得到 d2y=dsin x2=(2cosx2-4x sin x2)dx2=2cosx2dx2-4x2si 可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性 般地,高阶微分不具有形式不变性
轴的横截面面积时所产生的误差. 4 求速率: 原理: 例 7 球半径 以 的速度匀速增大. 求 时, 球体积增大的 速度. 六． 高阶微分： 高阶微分的定义： 阶微分定义为 阶微分的微分， 即 注意区分符号 的意义. 例 7 求 以例 7 为例, 说明高阶微分不具有形式不变性: 在例 7 中, 倘若以 求二阶微分, 然后代入 , 就有 倘若先把 代入 , 再求二阶微分, 得到 可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性
在初等数学中“直”就是“直”,“曲”就是“曲”,二者是不会等同的, 微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限,在“直”和“曲”之间架起了一个 桥梁。但是,并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道,任何一条 割线与曲线的联系都是个别的,特殊的,只有切线与曲线的联系才是一般的、本 质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的,反映到数量上,就是用 函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量。恩格斯指出:“高等数学的主要 基础之一是这样一个矛盾:在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条 件”那就是“细分”,细分的一定程度,它们之间的差是一个高阶无穷小,“直” 和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小 意义下的等同,是有差别的等同,而不是无条件的等同,这正是“直”和“曲” 等同这一辨证思想的核心
在初等数学中“直”就是“直”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的， 微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”之间架起了一个 桥梁。但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一条 割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本 质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用 函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量。恩格斯指出：“高等数学的主要 基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条 件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直” 和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小 意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲” 等同这一辨证思想的核心