、三角函数有理式的不定积分 1、u(x)、v(x)的有理式 由l(x)、v(x)及常数经过有限次的四则运算所得到的函 数称为关于(x)、v(x)的有理式,并用R(u(x)、v(x)表示 2、三角函数有理式用R(sinx,cosx)表示 3、「 R(sin x. cos x)ax的求法: )、万能置换法:令g 2t 2t,则sinx +t 1+t2 =2m()2谁 从而可用有理函数的积分法求出其积分
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ,cos ) ; 3 sin ,cos ) 2 1 1 , sin , cos , 2 1 1 2 2 1 2 , sin ,cos ) , . . 1 1 1 1 R x x R x x dx x t t tg t x x t t t t dx dt R x x dx R dt t t t t − = = = + + − = = + + + + 、三角函数有理式用 （ 表示 、 （ 的求法： ）、万能置换法：令 则 （ 从而可用有理函数的积分法求出其积分。 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x R 二、三角函数有理式的不定积分 、 、 的有理式 由 、 及常数经过有限次的四则运算所得到的函 数称为关于 、 的有理式，并用 （u(x)、v(x))表示
在理论上,任一有理三角函数的不定积分,通过万能置换法总可 以求出其积分,但其计算过程都比较烦琐,因此在特殊的情况下, 一般不采用此方法。(见下面介绍) 2)、特殊情形的求法: (1)、三角恒等变换法 2 a、对于| sin mx dx cos mx ax, 可利用倍角公式:sinx= cos ZX 2 1+cos 2x coSx三 来计算 2 b、对于 sin mx. cos nx. d、 jsin mx. sin nx.dr、 j cos mx. cosnx.dr.、(m≠m) 可用三角函数的积化和差公式: 2
2 在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可 以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下， 一般不采用此方法。（见下面介绍） 2 2 2 2 2) 1 1 cos 2 sin cos : sin , 2 1 cos 2 cos . 2 sin .cos . sin .sin . cos .cos . ( ) x a mx dx mx dx x x x b mx nx dx mx nx dx mx nx dx m n − = + = 、特殊情形的求法： （）、三角恒等变换法 、对于 、 ，可利用倍角公式 来计算 、对于 、 、 、 可用三角函数的积化和差公式：
sin a sin B=lcos(a-B)-cos(a+B) SIn a. cos B sin(a+ B)+ cos(a-B), cos acos B=[cos(a+B)+cos(a-B)]求出其积分 c、对于| sinx cosx dx,当m、n中有一奇数时,可拆开它,然后用 凑微分法求其积分; 当m、n均为偶数时,可利用倍角公式: sIn x cos x=-sin2x; cOS 2X 1+cos 2x sInx COSx= 反复使用即可求出其积分
3 2 2 1 1 sin .sin cos( ) cos( ) , sin .cos sin( ) 2 2 cos( ) 1 cos .cos cos( ) cos( ) . 2 sin cos , 1 sin cos sin 2 ; 2 1 cos 2 1 sin ; cos 2 m n c x x dx m n m n x x x x x x = − − + = + + − = + + − = − + = = ， 求出其积分。 、对于 当 、 中有一奇数时，可拆开它，然后用 凑微分法求其积分； 当 、 均为偶数时，可利用倍角公式： cos 2 2 x 反复使用即可求出其积分
拆项与反复使用倍角公式 d对于∫snxa、∫ cosx dx,1y=」 g (可用分部积分法+递推公式求出) (2)、若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),即R(sinx, coS x) 关于cosx是奇函数,则令:sinx=t;若R(-sinx,cosx) R(sinx,cosx),则令:cosx=t;R(-sinx,-cosx) R(sinx,cosx),则令:gx=t或cgx=t,在何种情况下, R(sinx,cosx)dx才考虑用万能置换法? 一般地,不满足上述2)的各种特殊情形的,才考虑用万 能置换法
4 (2) (sin , cos ) (sin , cos ), (sin , cos ) cos sin ; ( sin , cos ) (sin , cos ) cos ; ( sin , cos ) (sin , cos ), . (sin , cos ) 2 R x x R x x R x x x x t R x x R x x x t R x x R x x tgx t ctgx t R x x dx − = − = − = − = − − = = = 、若 即 关于 是奇函数，则令： 若 ，则令： 则令： 或 在何种情况下， 才考虑用万能置换法？ 一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形的，才考虑用万 能置换法。 1 2 1 sin cos , 1 ( m m n n n n d x dx x dx I tgx dx tgx I n − = = − − − + 拆项与反复使用倍角公式 、对于 、 可用分部积分法 递推公式求出）
三、某些无理(根式)函数的不定积分 般的无理(根式)函数的不定积分并不一定能求得出来,而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分,作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理(根式)函 数的不定积分的求法: atb 1、形如[R(x,yamx+b)dx或:「R|x, dx,可作变换: √ax+b=t或: ax tb cr tdt 2、形如「R(x,√ax+b,…,y√ax+bkx或:「R rr, n/ax+6 ax tb Cx+ cx+d
5 ( ) 1 1 , , , ; 2 , n n n n n ax b R x ax b dx R x dx cx d ax b ax b t t cx d R x ax b ax + + + + + = = + + + 三、某些无理（根式）函数的不定积分 一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函 数的不定积分的求法： 、形如 或： 可作变换： 或： 、形如 ， ， ( ) 1 , , , , k k n n n ax b ax b b dx R x dx cx d cx d + + + + 或：
可作变换:√x+b=1或:(+=4其中:n=[,,…,n] 例1求 x-2vx 解:令t=yx,→x=12,dx=121",t>0 原式 t0-2t 1+≈〔12(t4-212-k4,5-243 +o 5 x42413 4 3+々 x4+c
6 ( ) 1 2 3 4 1 12 12 11 6 4 11 14 12 8 15 13 9 3 5 13 3 4 12 4 , , , , ; 2 1 1 . , , 12 , 0. 2 1 4 24 4 .12 12 2 5 13 3 4 24 4 . 5 13 3 n n k ax b ax b t t n n n n cx d x x dx x t x x t dx t dt t t t t dt t t t dt t t t C t x x x C + + = = = + − − = = = − − = = − − = − − + = − − + 可作变换： 或： 其中： 例 求 解： 令 原式
3、形如「R(x,√ax2+bx+cax,a≠0,ax2+bx+c≥0,在一般的 情况下采用欧拉变换法: )第一欧拉变换法:若a>0,令:√ax2+bx+c=t-√ax(域: =t+√ax dx 例2求I= X√x2-2x-3 解:因a=1>0,采用第一欧拉变换法,令√x2-2x-3=x-t,则可解出: E-7z-如:(1-=X t2+3 2x-3 (t2-2t-3) 2(t-1) 2(t-1)
7 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 , , 0, 0, 1 0, 2 1 0, , 3 2 3 ( 2 3) , , 2( 1) 2( 1) 2( 1) R x ax bx c dx a ax bx c a ax bx c t ax t ax a x t t t t t t x dx dt t t t + + + + + + = − = + = = − + − − − − = = = − − − − 2 2 2 、形如 在一般的 情况下采用欧拉变换法： （）第一欧拉变换法：若 令： 或： dx 例 求 I= x x -2x-3 解：因 采用第一欧拉变换法，令 x -2x-3 则可解出： x -2x-3
于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分: 2(t-1)2(t-1)t2-2t-3 2 2+3-(2-2t-3)2(-1 t2+3 x2-2x-3-x arctan -+C arctan +C √3 /3 (2)、第二欧拉变换法:若c≥0,令:√ax2+bx+c=xt-√e 或 =xt+√c (3)、第三欧拉变换法:若ax2+bx+c=0有两个不同的实根λ与p,则
8 ( ) 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2( 1) 2 3 2 . . 3 2( 1) 3 2 3 2 2 2 3 arctan arctan . 3 3 3 3 t t t t I dt dt t t t t t t x x x c c − − − − = = − + − + − − − − − − = − + = + 于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分： ( ) 2 2 0, ; c ax bx c xt c xt c + + = − = + （ ）、第二欧拉变换法：若 令： 或 2 (3) 0 、第三欧拉变换法：若 有两个不同的实根 与 ，则 ax bx c + + =
令:√ax2+bx+c=a(x-)(x-1)=1(x-4),(或=1(x-) 注:利用欧拉变换求积分,一般都引入相当复杂的计算,在一些 特殊的情况下,尽量避免欧拉变换法。 1)、形如: ax 先对ax2+bx+c配方,最后还原成 √ax2+bx+c 以下三种情况之一: dX 或: √X2±A2 21。(其中是常数) 2)、形如 (mx+n)dx 利用凑微分法和配方后作代换后即可求 √ax-+bx+C 出其积分
9 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) , ( ) 1 , 2) , ax bx c a x x t x t x dx ax bx c ax bx c dX dX A X A A X mx n dx ax bx c + + = − − = − = − + + + + − + + + 令： 或 。 注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些 特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。 ）、形如： 先对 配方，最后还原成 以下三种情况之一： 或： 。（其中 是常数） 、形如： 利用凑微分法和配方后作代换后即可求 出其积分
3)、形如:∫√ax2+b+c,对ax2+bx+c配方最终还原成: /2±A2ax或A2-x2ax三种情况之一。(A是常数) 4)、形如∫(mx+n)√ax2+bx+cd,先凑微分,再利用已知 的积分公式。 5)、形如: ,(n∈N+,且n≤3),则令 再利 用凑微分法或由已知公式;当n>3时,则一般用第二换元法 (作三角函数变换去根号)
10 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 , 4 1 5 , ( , 3), , 3 n ax bx c dx ax bx c X A dX A X dX A mx n ax bx c dx dx n N n x t x x a n + + + + + − + + + = ）、形如： 对 配方最终还原成： 或： 三种情况之一。（ 是常数） ）、形如 ，先凑微分，再利用已知 的积分公式。 ）、形如： 且 则令 再利 用凑微分法或由已知公式；当 时，则一般用第二换元法 （作三角函数变换去根号）