§3初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中:常函数,三角函数,反三角函数,以及有 理指数幂函数,都是定义 域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内 的连续性,以及初等函数在 其定义域内的连续性。 指数函数的连续性 在第一章中,我们已定义了实指数的乘幂,并证明了指数函数 y=a(00,a,6为任意实数,则有 证明不妨设a>1,则a2由第一章§3(6)式所定义,即 a=s甲|r为有理数 任给C>0,设为两个有理数,且”<a.8<A,使得 a“-E<a',af-E<a3 由a2的严格增递性,得a”<a“° 又有aa ,故得 ea'-a
1 §3 初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有 理指数幂函数，都是定义 域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内 的连续性，以及初等函数在 其定义域内的连续性。 一 指数函数的连续性 在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在 上是严格单调 的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数 函数的连续性。 定理 4.10 设 为任意实数,则有 . 证明 不妨设 ，则 由第一章§3（6）式所定义，即 . 任给 ，设 为两个有理数，且 ，使得 . 由 的严格增递性，得 . 又有 ，故得
由任意性推出a“a20)在R上是连续的 证明先设a>1.有第三章§2例4知 这表明a在x=0连续,现任取0∈R.由定理4.10得 t=x-xo 则当x列时有→0,从而有 lim a= lim a oa(x-o)=ao lima'=ao 这证明了a在任一点x处连续 b ()=b 101,而b 可看作函数b与=-x 的复合,所以此时a亦在 R上连续。利用指数函数a的连续性,以及第三章§5例4中已证明的
2 由任意性推出 . 为证相反的不等式, 设 为有理数，且 ，使得 . 再取有理数 使 , 则有 故得到 . 由任意性推出 ,所以有 . (后一等式的证明留给读者.) 定理 4.11 指数函数 在 R 上是连续的. 证明 先设 .有第三章§2 例 4 知 这表明 在 连续.现任取 .由定理 4.10 得 . 令 则当 时有 ,从而有 . 这证明了 在任一点 处连续. 当 时,令 ,则有 ,而 可看作函数 与 的复合，所以此时 亦在 上连续。利用指数函数 的连续性，以及第三章§5 例 4 中已证明的
(a>1) 可知a2的值域为(0.1)(0<a<1时也是如此).于是a2的反函数一对数函数 在其定义域 (0.+∞)内也连续 lim u(x)=a, lim v(x)=b 例1设x→b lim u(x)"(x) 证明 证明补充定义2(x0)=aw(x0)=b,则(x)(x)在点x0连续,从而知 v(x)la(x)在列连续, 所以 a(x))=e()b2) 在 连续.由此得 lim u(x) x)=lim e"RJma(x)=eha=a' 初等函数的连续性 由于幂函数x“(《为实数)可表为x“=e,它是函数9与4=alnx的复 合,故有指数函数与对数函 数的连续性以及复合函数的连续性,推得幂函数=x在其定义域(∞)上连 前面已经指出,常函数,三角函数,反三角函数都是定义域上的连续函数 因此我们有下述定理: 定理4.12一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所 得到,所以有 定理4.13任何初等函数都是定义域上的连续性函数
3 可知 的值域为（ ）( 时也是如此).于是 的反函数—对数函数 在其定义域 ( ) 内也连续. 例 1 设 .证明 . 证明 补充定义 , 则 连续,从而知 在 连续, 所 以 在 连 续 . 由 此 得 . 二 初等函数的连续性 由于幂函数 （ 为实数）可表为 ，它是函数 与 的复 合，故有指数函数与对数函 数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数 在其定义域（ ）上连 续。 前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数. 因此我们有下述定理： 定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数. 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所 得到,所以有： 定理 4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数
In(1+x) 例1求 him In(1+ 解 利用对数函数的连续性 lim In(1+x)/=h lim(1+x)x=hne=1 例2求 hn(1+x2) 解由于x=0是初等函数cosx定义域内的点,利用初等函数连续性, x→0cosx 例3 作倒代换x lim (1+igr) 例4 lim((1+tgx (1+gx)中“x 解 例5 +1-√x√x+1+ 解 √x+1+√z 1-√x lim sin 2=sinlim 因 故 习题课
4 例 1 求 解 利用对数函数的连续性， 例 2 求 解 由于 是初等函数 定义域内的点，利用初等函数连续性， 例 3 作倒代换 例 4 解 I = 例 5 解 因 故 I = 习 题 课
例1设函数f(x)在区间0,2a1(a>0)上连续,且f()=f(2a)证 明 在区间,2上至少存在某个,使f()=f(c+a 证若(a)=J(2a),取c=0或c=a即可 若J(a)≠(2a),不妨设J(a)>(2a).设2(x)=f(x)-(x+a,应用零 定理即得所证. 例2设函数f(x)在区间{ab上连续,aa,f6)<b试证明:方程f(x)=x在区间 (a,b)内有实根 例4设面数f(x)在内连ehm(x=+o 则(x)在R内有最小 (与f(0)比较.) 例5设函数(x)和g(④)在区间I上连续,且在I的有理点,有 f()=g(r) 证明:在I上f(x)=g(x) 例6设函数(x)和g(x)在区间I上一致连续.证明函数f(x)+g(x)在区间 I上一致连续
5 例 1 设函数 在区间 上连续, 且 证 明: 在区间 上至少存在某个 使 证 若 , 取 或 即可; 若 不妨设 设 , 应用零 点 定理即得所证. 例 2 设函数 在区间 上连续， 试证明： 使 例 3 设 试证明：方程 在区间 内有实根. 例 4 设函数 在 内连续且 则 在 内有最小 值. 与 比较. 例 5 设函数 和 在区间 I 上连续, 且在 I 的有理点 ,有 证明: 在 I 上 . 例 6 设函数 和 在区间 I 上一致连续. 证明函数 在区间 I 上一致连续
例7设函数f(x)在有限开区间(a,b)内连续.则(x)在有限开区间(a,b)内 致连续 兮(a+0)和f(-0)存在(有限) 例8设函数f(x)在有限开区间(a,b)内连续.则f(x)在(a,b)内 致连续 e(x)在(a.b内一致连续 6
6 例 7 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在有限开区间 内 一致连续 和 存在( 有限 ). 例 8 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在 内一 致连续, 在 内一致连续