第29次课 教学内容(或课题):§1.泛函延拓定理 目的要求:掌握泛函延拓定理 教学过程: 第九章巴拿赫空间中的基本定理 本章将介绍 Banach空间中的四个著名定理:Hahn- Banach 泛函延拓定理,一致有界性定理,逆算子定理和闭图象定理,这些 定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用 §1.泛函廷拓定理 本节所讨论的问题是任何非零赋范空间上是否有非零线性 连续泛函?如果有,是否有足够多?这些问题与下面的泛函延拓 问题有关,即在个子空间(那怕是有限维子空间)上线性连续泛 函是否可以延拓成为整个空间上的线性连续泛函而保持范数不 变?这些都是泛函分析中的最基本问題 我们把问题提得更具体一些,设X是线性赋范空间,Z是X的 子空闾,f是Z上线性连续泛函,令1g=supf(x)|,则∫z< 1 ∞,于是当xZ时,有f(x)|≤∫!划,现在问:是否存在整个空 间X上的线性连续泛函f,使当x∈z时,有f(x)=f(x),并且 lx=|升z,即对任何x∈X,成立|f(x)≤∫2l? 为了解决这个问题,我们令P(x)=fE础,则p(x)是在整个 x上有定义的泛函,并且满足 1°p(ax)-=|a|p(x),x∈H,a为数 2°p(x+y)≤P(x)÷?(3),x,y∈x 称X上满足条件1°和2°的泛函为次线性泛函.这样,前面所提 问题可以化成下面更一般的问题:设f是线性空间x的子空间
44 第 29 次课 教学内容(或课题)： §1.泛函延拓定理 目的要求： 掌握泛函延拓定理. 教学过程：
上定义的线性泛函,p(x)是X上次线性泛函,满足f(x)|≤ P(x),xZ,问是否存在X上定义的线性泛函手,使在上成立 子(x)=f(r),片且满足(f(x)|≤p(x),xX? 定理l(Hahn- Banach泛函延拓定理)设x是实线性空间, p(x)是X上次线性泛函若∫是X的子空间Z上的实线性泛函, 且被P(x)控制,即满足 f(x)≤p(x),x∈z, 则存在X上的实线性泛函子使当c∈名时,有f(x)=f(x),并且 在整个空间X上仍被P(x)控制, 子(x)≤p(ax),x∈X 证明我们一维一维地逐步延拓,不妨设z为X的真子空间 否则结论是乎凡的.因名÷X,存在xX,但x∈Z.记Y为由z 和x0所张成的线性子空间,则y中任何元素3,可以被唯一地表 示成为犭=x+txo,其中r∈名,t是实数.事实上,若又有y=x1+ t1x0,x1∈么,t为实数,则有x-x1=(t1-t)x,但x-x1∈名,x0÷0, 且x0∈Z,所以必须t1一t=0,因而t1=t,x1=x0,我们首先把Z 上的泛函∫延拓到Y上.如果线性泛函g是f在Y上的延拓,则 对Y中任意向量y=x+tx,x∈Z,t为实数,有 g(3)=f(x)+t9(x) 其中f(x)是已知的(因x∈Z),给定后,也唯一确定了,因此要 确定g在y的值,只要确定与x和都无关的实数值g(xo),使对 任何y∈Y,都有g(3)≤卩(y),即只要寻找实数c,使不等式f(x) +tc≤p(x+1x0)对一切x∈Z和一切实数E成立,为此,只要寻找 实数6,使对一切x∈X和一切t>0,不等式 c≤p(x+txl)-f(x) 和对一切x∈X,t<0,不等式
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c≥1(x÷12)-()2-(x-x)+f2 同时成立即可,也就是说6必须弱时满足下列两个不等式, c≤P(x’+xa)一f(x3),x∈z c≥-p(x-x0)+f(x),x"∈Z 显然要使满足上述两不等式的实数c存在,须且只须不等式 一p(x"-x0)+f(x")≤p(x+x0)一f(x’), 即不等式 ∫(x")-f(x")≤p(x"-x0)+p(x’÷xo) 对-切x’,x'∈Z成立.但由于p为次线性泛函,而f又在Z上被 P控制,所以对任何x,x∈Z成立 f(x')-∫(x")·-(x'x")≤p(x’+x")≤p(x”-x) 所以要寻找的c确实存在,事实上只要取c满足 sup-p(x"-r)+f(x")]≤c≤inf[p(x+x)-f(x') 即可,这样一米,我们证明了的确存在Y上的线性泛函g,使g是 ∫的延拓,且仍然保持着g(x)≤P(x),x∈Y, 下面证明存在全空间上定义的实线性泛函子,使f是∫的延 拓,并且对切xX,成立子(x)≤P(x) 设是满足下面三个条件的实线性泛函g全体: 1°g的定义域必(g)是x的线性子空间 2°g是∫的延拓,即C(),且当x∈Z时,成立 3°在(9)上9被挖制即对一切xa(9),有9(x)≤p(x) 在中规定顺序如下:若g1,92,而g1是92的延拓(即多 (9:)2a(92)并且当r∈(g2)时,91(x)=92(x),就规定g2<91, 容易证明,按这样规定的顺序成为半序集
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设为中的一个全序集,令()=Ug(9),定义(h)上泛 函b如下:对任何x∈z(h),则必有92,使x∈B(g),规定h(x) 首先这样定义的h有意义,即若x∈(h),并且有g1,92∈2, 使必(g1)∩(92)时,必有g1(x)=g2(x). 事实上,由于是是全序集,91和g2有顺序关系,不妨设92 g1,则多(91)2(92),并且当张(92)时,有91(y)=g2(y),由于 x∈z(91)∩(92),所以g1(x)=g2(x) 其次是线性泛函,事实上若x梁(h),必有;,g2∈,使 得κ(g1),张∈B(g2).由于是全序集,不妨设92<91,则3∈ (92)c(91),于是对任何数a,B,由于媒x-By∈交(91),所以 h(ar+ By)=g (ar+By)=ag1(=)+Bg, (y)=ah(a)+Bh(y), 即b是线性泛函.最后是∫的廷拓,并且在2(h)上被P控制 事实上,由的定义,易知(屯)Z,并且对任何x∈Z,必有h(x) ∫(x),即磊是∫的延拓,又对任何x∈(),必有9∈s,使x∈ (9),并且(x)=9(x),但由于在必(g)上成立g(x)≤P(x),所以 h(x)=9(x)≤P(x),即h在必(h)上被p(x)控制由h的作法,易 知h是②的上界.由Zorn引理,有极大元,设为f 下证()=X,若,(f与X,取x∈x,x的(,令Y为由 a(与x所张成的线性子空间,则由前面证明,必有Y上线性泛 函g,使g是的延拓并且在(g)=Y上被P控制,由于J∈, 所以j是f的延拓,故g也为∫的延拓,因此g∈济,显然∫<9, 并且÷g这与f是中极大元矛盾,因而5(子=X,所以子即为 定理所要求的泛函.证毕. 现在让我们把上述关于实线性空间和实线性泛函的定理推 到复的情况 定理2设是实或复的线性空间,P(x)是X上次线性泛函
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f(x是定义在X的子空间Z上的实或复的线性泛函,且满足 f(x)≤P(x),x∈Z, 则存在X上线性泛函j,它是∫的延拓,且满足 f(x)|≤P(x),X 证明,(1)若X是实线性空间,由定理1,知存在实线性泛函 子(x),它是f的延拓且满足f(x)≤P(x),xX,又由于对任何x ∈X,f(-x)≤p(·x):p(x),所以f(x)≥-p(x),因而 ∫(x)|≤P(x),x∈X (2)若X是复线性空间,则f是Z上复线性泛函,设f(x)= f;(x)+i2(x),其中f1(x)和f2(x)分别为f(x)的实部和虚部.另 一方面,由于复线性空间也可以看作实线性空间,设X和Z分 别表示实线性空间X和Z,于是东1可看成在2上的实线性泛 函,由于|f1(x)≤|f(x)≤P(x),Z=Z,由定理1,存在x上 实线性泛函f1(x),使1(x)是f(x)的延拓,并且子1(x)≤?(x),z 我们现在回过来看Z上复线性泛函∫.对Z,由于∫是复 线性泛函,所以i(x)=∫(ix),z∈Z,于是有 if(x)=i[f1(x)+i2(x)]=∫(x)=f1(多x)+i2(ix), 比较实部,可知-f2(x)=f1(ix),我们不妨设想,当x∈X时,仍有 -12(x)=f1(ix)成立,其中f1(x)和子2(x)分别为所求泛函子的实 部和虚部,因而有理由令 f(e)-f,(c)-if, (iz),rEX (注意:x,和X的元素相同,i∈X=X,故f;(ix)有意义),这样 定义的f(x)是∫(x)的延拓事实上,当x∈z时,ix∈Z,所以 f(a)=f(x)if, (ir)=f(a)-if, (ir) f (a)iif(r)=f(r) 现在只须证f(x)是X上线性泛函,且成立|f(x)|≤p(x),x∈
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x因升可加,故f满足可加性是显然的,现只须证f对乘以复 数a=a,满足f(ax)=(x),事实上, f(a÷b)x)=f1(ax·ibx)-f1(ax-bx) =a1(x):b71(ax)-ia子(ix)十ib了,(x) (a+i)[f1(x)-i1(x)]=(a})(x) 下面证|f(x)≤p(x),x∈互,若f(x)0,则结论显然成立; 若X,使f(x)与0,设f(x)=e|f(x)|,于是|(x)=f(x)e =f(e"x)=f1(e-"x)-i(ie“x),但因f(x)是实数,故 f(x)|=f1(e-x),由于f1满足|f;(x)|≤p(x),x∈X,故 f(x)|=f(e"x)≤p(e“x)=ie“6lp(x)=p(x).证毕 定理1和定理2中事实上并未涉及到X上范数或度量等概 念,而完全是线性问题.下面我们把Hahn- Banach定理用于线 性赋范空间的恃况,得出两个重要的定理 定理3·设∫是赋范空间X的子空间z上的线性连续泛函, 则必存在X上线性连续泛函子,它是f的保范延拓,即当xZ时, 有 f(x)=f(x),并且fx=!f. 证明因为在Z上有|f(x)≤1fx,而(x)=|fzlx是 X上次线性泛函,由定理2,存在子,它是∫在全空间X上的延拓, 并且满足f(x)|≤P(x)=fzx,x∈王,这说明f是X上线性连 续泛函,并且1x≤x,另一方面,X的单位球包含Z的单位球, 故 A: x=supl](c)IsupIf()=suplf(a)|=Ifi 所以x=1∫z.证毕 定理4设X是线性狱范空间,x∈X,如=0,則必存在x上 的线性有界泛函∫(x),使得f|=1,许且∫(x)=1zl
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证明我们考虑X中一维子空间X1={xa为复数},在x1 上定义泛函f1(ax)-f1(ax)alxo,其中x=cx∈x1,它显然是 线性泛函,又因为f1(x)|=|a!}x=|ll,故∫是X1上线性连 续泛函,并且!f1x,=1,由定理3,存在整个空间X上线性连续泛 函f,它是∫1的延拓,并且!x=f1x1=1,特别取xxb∈x1,所 以f(x0)=f1(x)=1xo,.证毕 推论1设X是线性赋范空间,x∈X,着对X上所有线性连续 泛函f,均有f(x)=0,则必有x=-0 这由定理4,运用反证法立即可得 §2.C[a,b的共轭空间 前面我们已经订论过一些空间的共轭空间,如()=l”, (")′=1,其中1+1=1,p>1.这一节我们要投出[a,b上连 续函数所构成的空间C[a,b]的共轭室间,这是 Riesz的著名工 作,它也可以看作是Hahn- Banach定理的-个重要应用 设9(t)是区间[ab]上的圈变函数,V(g)为g(t)在[a,] 上的全变差由第五章§9定理2,积分f(4)dg(4)存在,其中f ∈C[a,b],读者不难证明成立 f(1)d(t)≤mxft)·V(g)=!升,V(g).(1) 作C[ab]上泛函 F(f)=f(t)dg(t), fECCa, 6] (2) 由第五章§9定理1,P是C[a,b]上线性泛函,由(1)式可知F 是C[ab上线性连续泛函并且F≤V(g).我们自然会问:
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CIa,b]上任何…个线性连续泛函F是否都可以对应一个囿变函 数g,使得(2)成立?回答是肯定的,这就是下面的 Riesz定理 定理1(Riez表示定理)C[a,b]上每一个线性连续泛函F 都可以表示成为 F(f)= f(dolt), feC[a, b1 其中g()是[a,b]上圈变函数,并且F=Ⅴ(g) 证明在子找空间X的共轭空间X'的表示时,我们总是先找 出X的-组基{e4}的表示,然后作线性组合取极限以达到完全的 表示,在函数空间中,通常用区间[a,幻]的特征函数作为基,由它 生成阶梯函数,再去逼近某些函数类.对连续函数空间,我们也采 取同样的路线,但是特征函数一般不连续因而不属于C[a,b,故 我们先把C[a,b]上泛函F保范地延拓到有界函数空间B[a2b 上,而阶梯函数属于Bab],然后再用阶梯函数去逼近连续函数 最后找到C[a,b]共轭空间的一般表示 我们知道在B[ab]和C[ab中都用范数f()=sup|f(t) t∈a,b 故C[a,b]可以看成是Ba,b]的子空间.为简单起见,我们只考虑 实空间CLa,b]和B[a,b].由Hahn- Banach定理知F可以保范 地延拓成为B[a,b]上线性连续泛函F,使得当fC[a,b]时,有 F(f)=F(f),且|P;=F 考虑[a,]上特征函数x,当s∈[a,切]时,第1(s)=1,对其余 的s,x(8)=0.显然x,∈B[a,b].用F在x上的值构造函数 (t)如下:g(a)=0,g(t)=R(x1),t∈[a,b].下面证明g(4)即为 所求的围变函数,事实上 (1)g(t)是囿变函数,这是因为对任意分划 n:a=to<t1<…<tn=b 有
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9(t1)-9(;)=|F(x1)|∑!F(x:)-F(x1:) =B1F(X12)∑e(F(x:1)-F(x1) =F(e124+∑ε3(x,-Z,) ≤|F|e1x1+∑e,(x;-x12,)=|列, 其中e1= sign F(x,1);e;sign5F(x,)-F(xx),j=1,2,… n,故g(t)是[a,b]上囿变函数,且 V(g)≤sup∑g(t;)-9(t)|≤F. (2)设f(t)为Ca,b]中连续函数,对[a,b]中分划 T:a=tF(f).又因为在CLa,b]上, F(f)=F(f),故
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F(f)=P(f)f()d(6) 根据(1)式可知F≤V(9),另一方面,由(1)的证明;又有 V(g)≤|到=Fl, 所以 !F!=V(g). 证毕. 注定理中得出的g(t)不…定是唯一的,但是如果规定g(#) 是正规化的囿变函数,即需要满足g(a)=0且g(t)右连续,那么 g(t)可由F唯一地决定 §3.共轭算子 设X,Y是两个线性赋范空间,X和Y分别是X和Y的共轭 空间,T是X到Y中的线性有界算子。今对任何g∈Y',可以如下 定义X上的泛函f f(x)=9(Tx) 这个泛函f(x)显然是线性的,由于 f(x)=|9(Tx)≤g|!≤!!|!!!, 故∫也是有界线性泛函,即fX',于是我们建立起了gtf的对 应,即由T派生出一个从Y到x的算子Tx:T9=f.称T为T 的共轭算子 定理1线性有界算子T的共轭算子們也是线性有乐算予, 并且人= 证明对任何9,92∈Y及数cB,由Tx的定义,有 T(∞g+月g2)(x)=(cg:+92)(T)=ag1(Tx)+g2(Tx) al91 (a)+Br g2(r)=(aT 91+ PT*g2)(2), EX, 所以T(a9+Bg2)=m91+Tg2,即T是线性算子,又由前 述,对所有f∈x及x∈x,有
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