泛函分析习题辅导 1.是否任何线性空间必含零向量?是否任何赋范空问 中的零向量的范数必相等? 答是;是 2.完备的距离空间是否为巴拿赫空间? 不一定 3.设X,Y都是赋范空间,X×Y={(x,):x∈x,∈ Y},在X×Y上定义线性运算如下: (21,31)+(x3,b2)=(x1+x3,D1+M), a(a, y)=(az, ay). 又在XxY上定义 I(a,y)=l=l+lyl, 证明XxY为赋范空间 篷容易证明X×Y是线性空间现证1·I满足范数公 理 (i)显然lzl≥0, (x,)=0←→lx+ll=0 my=0>(x,)=(0,0) la(z, v)l-l(az, an)I elazI+layl s lalI(r, v)1. (i)l(z1,vh)+(x,v)l=l(x1+g3,v1+2)l la,+=,l+lu,+yl ≤lall+ll+l2l+lvl =l(x1,1)l+l(x3,v)l 故 X×Y按·l成为赋范空问
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4.设M是区间[a,b]上有界函数的全体,M中的 线性运算与Ca,b]中的相同,在M上定义范数 证明M。是巴拿赫空间 易证M关于|·成为赋范空间,现证M。是完备的 设{x}为M中的基本列,那么对v8>0,存在N0,当m, N时,有 8,x.()-zn()|N)……(▲) 因此{x、(t)}为一致基本列,从而存在x(t),使 显然x∈M0,在(▲)式中,固定,合m一∞,便有 z(t)-x(t)}≤B (1N) Ia.-a- sup a,(t)-x(t)1 M为巴拿赫空间,※ 5.C[0,1中的下列泛函是线性的吗? (1) F(a)=a(t)sintdt (2)F(x)=x (3)F(x) (4) F(c)=max r(t) 5)F(x)=(t)d (6)F(x)==(t)ldl. 答(1)-(8)是;(4)一(6)不是
6.C(-∞,+∞)表示定义在区间(-∞,+∞)上有 界连续函数的全体,在C(-∞,+∞)中定义范数 Jul 设x∈L( ),规定 Ta T是( ∞)的线性有界算子 征显然 从而,山Lcb8gMe擦制收定理易证(a)是续面数。 所以,T是L(-∞,+∞)到C(-∞,+∞)中的映射,又 由于 T(ac-Bm) (ar(t)+ By(t))di 故T是L(-∞,+∞)到C(-∞,c)中的线性算子。 出)▲)式,有 即 所以,T是有界的线性算子。※ 7.设T是赋范空向E到赋范空间E1上的线性们界算 子,如果存在正数b,使得对任何x∈E, Txl≥blx 证明T存在逆算子T,E1→E,并且T·是有界的 对于线性算子T,若Tx=0(x∈E)刚由关系式 nTx≥bx知x=0,因此T是E到E上的1-1映谢。所以 了1在。任取v∈E1,必存在唯一的x∈E,使 T 合T=x,则易证T1是E到E的线性掉子。由 Tx>b1xl,所以 因此T1是E到E的线性们界算子
8.设w。(n=1,2,…),t∈C[0,1],且t→(n→ ∞),对于任何f∈C0,1,定义 (Tf)(x)=4n(2)f(x); (Tf)(2)=(x)f(x), 证明T。→T(n→∞) 証容易证明T(=1,2,…),T是C[0,1]到CL0,1 的线性有界算子下证IT。-T→0(n→∞) 由jn,(n=1,2,…),w∈C0,1,u4-1(n→∞), E,=lu,-ul- max u, (e)-u(s), 则 由于对任何f∈C0,1,有 IT -TfI=IuJ <max u, (=)-u(r)1. max I f(a) E,fI 故由上题结论知 T。-T→0(n→∞) 9.自共轭空间是否为自反空间?自反空间是否为自共 轭空间? 答是;不一定 10.设E,E1是赋范空间,T,T∈B(E,E1),证明 (1)(7:+T3)=T:·+T, 征(1)任取f∈E:及x∈E,则 (T1+T2)f(x)=f(T1+T)x]=f(T1z)+f(Tx) Tif(a)+r:f(a)=(T:+T:)f( 由f,z的任意性,得 (T1+T3)”=T1 (2)由共轭算子性质1°,即得 T→=|Tl=lTl
11,设E,E1是巴拿赫空间,T是E到E2的一对一的 线性有界 算子,证明T-1:R(T)→E是有界的充分必要条件是;R(T) 为E1的闭子空间 紅必要性设T-1有界,任取v∈R(T),那么存在 {Bn}cR(T),使 M→>〗( 合x=T1,由于T1有界,E是闭的,故 x=TL→T1(→∞); 从而 y=T(T-1)∈R(T), 因此R(T)是E:的闭子空间 充分性设R(T)是E,的闭子茎问,则R(T)也是巴拿 空间,因而T是巴拿赫空间E到R(T)上的一对一的线性 有界算子,由巴拿赫逆算子定理,T有线性有界的逆算子T R(T)→E 12.设E,E是赋范空间,T是D(T)cE到E1的线 性算子,如果T1存在,证明T是闭算子的充分必要条件 是T1是闭算子 作F+E到E11E的映射S如下 S:(x,”)→(1,x)∈E,∈E, 容易看出S是E1+E上的拓扑映射 Gr={(x,Tx):∈D(T)}, Gr{(Tx,z)z∈D(T)}, 则G2=SGr,因此Gr是EE1中的闭子宏问等价于Gr为 E1+E中的闭子空间,故T是闭算子的充分必要条件是T1 为闭算子 返回
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