第21次课 教学内容(或课题):§1.内积空间的基本概念 目的要求:掌握内积空间的基本概念 教学过程:
44 第 21 次课 教学内容(或课题)： §1.内积空间的基本概念 目的要求： 掌握内积空间的基本概念. 教学过程：
第八章内积空间和希尔伯特 ( Hilbert)空间 在这一章中,我们专门讨论一类特殊的线性赋范空间—内 积空间,在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念,从 而可以在内积空间中建立起相应的几何学.在这一章中,我们还 要讨论 Hilbert空间上的 Fourier分析及它上面的算子,特别是 酉算子,自伴算子和正常算子的一些初步性质 1.内积空间的基本概念 在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个 向量的内积的运算,即若 a=(51,52…,n),b=(m1,n2…,7n) 则a与b的内积定义为 a,b)=+与2而2+…+可n 其中示表示n的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 !a!=√〈a,a) 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于〈a,b)=0.显然, 在有限维复欧氏空间E中,由(1)定义的内积具有下述性质 1°〈a,a)≥0,且〈a,a>=0等价于a=0 2°〈aBb,c)=α〈a,c〉+B〈b,c>,其中a,b,c∈B f为复数; 在复欧氏空间E的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是
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上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入 内积的概念, 定义1设X是复线性空间,如果对X中任何两个向量x,3, 有一复数x,y与之对应,并且满足下列条件: 1°〈x,x)≥0,且x,x>=0等价于x=0,x∈X 2°为x与的内积X称为内积空间 如果X是实的线性空间,则条件3°就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式 〈x,gy+Bz〉=(x,》+6(x,z (2) 设X是内积空间,令 那末|x是X上的范数,事实上,由内积定义及(2)式不难证明 (a)!x≥0,且=0等价于x=0; (b)|arl=,a||x!. 为了证明范数不等式lx+到≤+y,我们首先证明许瓦兹 ( Schwarz)不等式: 引理1( Schwarz不等式)设X按内积(x,y成为内积空间, 则对于X中任意向量x,,成立不等式 =(x,2)一a(x,3)一a(3,x》一a(y,3)] 令a=〈孙,x》/(3,3〉,那末上式方括号中式子为0,所以
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0≤(x,x)-“, 〈x,y>=r 1<x,y) 〈y,y〉 两边乘以扩2,并且开方,即可得到要证的 Schwarz不等式 〈x,g)!≤!x!yl 若x与线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之、若(4)式中等号成立,假定y=0,则x与犭自然线性相关,若 y÷0,令 a= 由 Schwarz不等式推导过程,易知!x-ay2=0,即x=ay,所以x 与y线性相关,证毕 由 Schwarz不等式,立即可知!x满足范数不等式,事实上 1z+:2=:〈x-y,x+y)=(x,x)+《y,x+(x,3》+(y,g z12+(x,y)+〈y,z)+|y ≤|x|2+21ryl+My|2=(}x+y)2, 所以!x+到≤x.称由(3)式定义的范数}x|为由内积导出 的范数所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若X按(3)式中范 数完备,则称为Hber空间 设|x是由内积导出的范数,通过计算,读者不难证明对X中 任何两个向量x,3∈X,成立平行四边形公式 lz+2+x-y|2==2(|x!2+y2) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广,反之可以证明, 若X是线性赋范空间,其中范数x对X中任何向量x,∈X,满足 平行四边形公式(5),那末一定可在X中定义内积〈x,y〉,使z就 是由内积〈x,y〉导出的范数,证明因限于篇幅而略去.因此,(5)式 是内积空间中范数的特征性质 下面举一些内积空间的例子 例1L2[a,b],对L2[a,b]中任意向量x,3,定义
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x(ty(t)de 易知L2[a,b]按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范 数 1(:n) 即为第六章§8例4中所定义的范数,由第六章§8定理2知, D2[a,b]成为 Hilbert空间 例2v,设x=(1,52,与,…),y=(n,2,n3,…), 定义 则1按(7)中内积也成为 Hilbert空间. 例3当P与2时,琵不成为内积空间, 事实上,令x=(1,1,0,…),y=(1,一1,0,…),则x∈U, y∈l,且x=|yl=2,但lx+y}=日x-yl=2,所以不满足平行 四边形公式(5),这说明l(p=2)中范数不能由内积导出,因而不 是内积空间 例4C[a,b]按x= max r(t)】不成为内积空间 事实上,令t)=1,)=b-a,则x,Ca,b,且z =yl=】,但因为 (t)+y(t)=1+ x(t)-y(t)=1 所以|x+3=2,hz-?=1,因此不满足平形四边形公式,这就证 明了C[a,b]不是內积空间
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设x为内积空间,由(3)给出了X上的范数,反之,通过直接计 算,读者不难证明,内积与范数之间成立如下等式 x,2y)=4(列2-1-12+x+iy1-1x-131).(8) (8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用范数来表示,当X为实 内积空间时,极化恒等式变为 x,})(!x+y2-|x-3‖2) 由 Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数, 即当x→>x,3m→y时,有〈x,3n》→〈x,引),事实上,因为 i(ax,y)-(x,3 §2.投影定理 设X是度量室间,M是K的非空子集,x是X中一点,称 inf d(z, y) 为点x到M的距离记为d(x,M).在线性赋范空间中 d(e, M)=inf z-y (1) y∈M 在许多数学问题中(例如函数遥近论)常常会提出这样的问 题:是否存在张∈M,使 d(r, M)==r-y? 如果存在这样的g,是否唯一?容易明白,如果不对M加上一些限 制,即使在有限维欧氏空间中,对这个问题的回昝也是不肯定的 但当』是内积空间中的完备凸子集时,对这个问题可以得到肯定 的回咎,为此,先介绍凸集的概念
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设x是线性空间,x,是X中两点,称集合 x=ax+(1-a);0≤≤I} 为x中联结点x和y的线段,记为[x,引].如果M是X的子集,对 M中的任何两点x,引,必有[x,]cM,则称M为X中的凸集 定理1(极小化向量定理)设X是内积空间,M是X中非空 凸集,并且按X中由内积导出的距离完备,那末对每个∈X,存在 唯一的y∈M,使得 lry=d(r, M). 证明令8=d(x,M),由下确界定义,存在v∈M,n=1,2, 3,…,使 6=1x-yn→δ.(n->∞) 令 则|v=n,且 lvn +vmI=Iyntga-2x=2(3x+g 因为M是凸集,所以青(n+m)∈M,由此可得{n+m≥26.又 因为3x-ym=-Dm,由平行四边形公式,有 JvR+Umi2+2(v12+vml) ≤-(26)2+2(2+6) 由(4)式,知{m}是M中柯西点列,但M按内积导出的距离完 备因而存在yM,使→3,因为yM,所以,x-y≥d,但是 x-y5≤x-yy-3x|=n+【yn-y 上面不等式右端当n->∞时,极限为b,所以得到x-y!=8. 若又有y∈M,使得|z-3!=0,由平行四边形公式, l3-312=(y-x)-(y-z)2 2y-x2+213-212-(y-z)+(-x)12 82+282-4n(y+y)-
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由酸的凸性,(y:3)M,所以(y:3)x2≥63,因此 0≤y-312≤ 62=0. 因而y-3!=0,即g=y,这就证明了唯一性,证毕 当是X的完备子空间时,M当然是X中的凸集,所以由定理 1,立即可以得到下面的推论 推论1设X是内积空间,M是X的宅备子空间,则对每个 r∈M,存在唯一的孤M,使 dr-y=d(a, m) 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,它在微分方程, 现代控制论和遥近论中有重要应用 下面引人内积空间中向量正交的概念 定义1设X是内积空间,x,3是X中两个向量,如果 〈x,y)=0 则称x与3互相垂直或正交,记为x⊥3.如果X的子集A中每个 向量都与子集B中每个向量正交,则称A与B正交,记为A⊥B,特 别当A只含有一点x时,则称x与B正交,记为xLB 容易知道,对X中两个互相正交的向量c和y成立勾股公式 lz+3!2=〖ax|2+y 有了向量正交的概念,类似于有限维欧几里得空间就可以在 一般的内积空间中建立起相应的几何学 引理1设X是内积空间,M是X的线性子空间,∈x,若存 在张∈M,使得|x-y]=以(x,M),那么,x-g⊥M 证明令z=z-3若名不垂直于M,那么必有y∈M,使得 y1与0. 显然y1与0,另一方面,对任何复数a,有 11>
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=(z,x)-az,)-a[(1,x》一正孙1:3)1, 令 〈31,z〉 则上式右端方括号中式子为0,又因z=d(x, M),因此 2-2=12|2-1y2-d(x,MD), 91 2 但是由于3+刈∈M所以 这与z-ay1<l(x,M)矛盾,因此,x-3⊥M,证毕 设X是线性空间,Y和Z是X的两个子空间,如果对每个r ∈X,存在唯一的y∈Y和z∈Z,使x=g+z,则称X是Y和Z的直 接和,记为X=YHZ,其中Y和称为x的一对互补于空间.z (或Y)称为Y(Z)的代数补子空间.易知互补子空间必线性无关, 即对任何y∈Y及z∈E,则y,z线性无关,例如,X=B2,y=R,则 经过原点的每一条异于Y的直线都是Y的代数补子空间.我们最 感兴趣的是与Y垂直的代数补子空间,即与R垂直,且通过原点 的那条直线,称之为B的直交补子空间.类似地,也可以在内积空 间中引入直交补子空间的概念 定义2设X是内积空间,M是X的子集,称集合 M={x∈X1x⊥M 为M在x中的直交补 读者不难证明M是X中的闭线性子空间,并且当M是线性 子空间时,Ⅱ与M是互补子空间.又由直交补的定义,可知若 M是X的线性子空间则M∩M={0},当X是 Hilbert空间时 我们有下面的投影定理 定理2设Y是 Hilbert空间x的闭子空间,那么成立 X=Y+ra
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证明因为】是X的闭子空间,所以Y是X的完备子空间,由 推论1及引理1,对于任何x∈X,存在唯一vY及κ￥,使 y+2, (7) 又若另有y∈Y及x1∈}1,使x=y+z,则孙1-y=2-2,因y一犭1 ∈Y,x1-∈Y-.千是y1-y=z1-∈F∩={0},因此,y=y1, z=z1,这就证明了X=Y+Y1,证毕 当XY+Z.且Y⊥z时,称X是Y和Z的直交和,记为X Yz,因此(6)式可以写成 X-roY (8) 若y⊥x,x=gz,则写x=引z.定理2告诉我们,当Y是Hi bert空间X的闭子空间时,对每个xx,存在唯一yY及2∈￥, 使x=3Gz,称为x在空间Y上的直交投影,简称为投影.利用 投影,可以定义X到F上的映照P如下:对任一c∈X,令 其中是x在Y上的投影,称P为X到y上的投影算子.读者不 难证明,投影算子具有下列一系列性质 1°P是x到Y上的线性有界算子,且当H{0时,P}=1 2°PX=Y,PY=Y,PY={0} 3°P2=P,其中P=PP 设x是内积空间,M是X的子集,记(M1)2=M,显然 MCM (9) 反之,有下面的引理 引理2设X是 Hilbert空间x的闭子空间则成立 Y=r 证明由(9),只要证明YcY即可.设xY,由投影定 理,存在YcY及zY,使x=y④z.因为x∈X,并且F 是线性空间,所以x-∈Y,因此x=x-y∈y∩Y1={0},即
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