灰色系统理论及其应用 我类的 化国志等 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建设组
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灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将 些观测指标或观测对象聚集成若干个可以定义类别的方 法。按聚类对象划分,可以分为灰色关联聚类和灰色白化 权函数聚类。 灰色关联聚类主要用于同类因素的归并,以使复杂系 统简化。由此,我们可以检查许多因素中是否有若干个因 素关系十分密切,使我们既能够用这些因素的综合平均指 标或其中的某一个因素来代表这几个因素,又可以使信息 不受到严重损失。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测 对象是否属于事先设定的不同类别,以区别对待
灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将 一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以定义类别的方 法。按聚类对象划分，可以分为灰色关联聚类和灰色白化 权函数聚类。 灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系 统简化。由此，我们可以检查许多因素中是否有若干个因 素关系十分密切，使我们既能够用这些因素的综合平均指 标或其中的某一个因素来代表这几个因素，又可以使信息 不受到严重损失。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测 对象是否属于事先设定的不同类别，以区别对待
51灰色关联聚类 设有n个观测对象,每个观测对象m个特征数据,得到序列如下 X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n) X2=(x2(1),x2(2)2…,x2(n)) Xm=(xm(),xm(2) x(n 对所有的i≤j,,j=1,2,…,m,计算出X1与X,的绝对关联度 n得上三角矩阵 E11E1 12 A
5.1 灰色关联聚类 设有 个观测对象，每个观测对象 个特征数据，得到序列如下 对所有的 计算出 与 的绝对关联度 得上三角矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 ( (1), (2), , ( )) ( (1), (2), , ( )) ( (1), (2), , ( )) m m m m X x x x n X x x x n X x x x n = = = n m i j i j m = , , 1,2, , , Xi X j ij 11 12 1 22 2 m m mm A =
其中En=l;i=1,2,…,m 定义5.1.1上述矩阵A称为特征变量关联矩阵 取定临界值r∈[O,1.,一般要求r>0.5.当E≥r(i≠j)时 则视Ⅹ与X为同类特征 定义5.1.2特征变量在临界值F下的分类称为特征变量的灰色 关联聚类.可以根据实际问题的需要确定,γ越接近于1,分类 越细;越小,分类越粗
其中 定义 5.1.1 上述矩阵A称为特征变量关联矩阵. 取定临界值 一般要求 当 时 则视 与 为同类特征. 定义 5.1.2 特征变量在临界值 下的分类称为特征变量的 灰色 关联聚类. 可以根据实际问题的需要确定, 越接近于1,分类 越细; 越小,分类越粗. 1; 1,2, , ii = =i m r [0,1], r 0.5. ( ) ij r i j Xi X j r r r r
52灰色变权聚类 定义52.1设有n个聚类对象,m个聚类指标,S个不同灰类,根 据第(i=1,2,…,n)个对象关于j(j=1,2…,m)指标的样本值 x2(=12,…m,j=12,…,m)将第个对象归入第k(k∈{2,…S 个灰类之中称为灰色聚类 定义522将n个对象关于指标J的取值相应地分为S个灰类, 我们称之为j指标子类j指标k子类的白化权函数记为f(°) 定义523设J指标子类的白化权函数f(°)为如下图所示 的典型白化权函则称x()x(2)x2(3)x2(4)为∫()的转折 点,典型白化权函数记为 f[x(,x(2)2x(3),x2(4)
5.2 灰色变权聚类 定义 5.2.1 设有 个聚类对象, 个聚类指标, 个不同灰类,根 据第 个对象关于 指标的样本值 将第 个对象归入第 个灰类之中,称为灰色聚类. 定义 5.2.2 将 个对象关于指标 的取值相应地分为 个灰类, 我们称之为 指标子类. 指标 子类的白化权函数记为 定义 5.2.3 设 指标 子类的白化权函数 为如下图所示 的典型白化权函,则称 为 的转折 点,典型白化权函数记为 n m s i i n ( 1,2, , ) = j j m ( 1,2, , ) = ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij x i n j m = = i k k s ( 1,2, , n j s j j k ( ) k j f • j k ( ) k j f • (1) k j x (2) k j x (3) k j x (4) k j x ( ) k j f • [ (1), (2), (3), (4)] k k k k k j j j j j f x x x x
5之.1 之2 01x(1)x(2)x()x( x(3) X 定义5241、若白化权函数f()无第一和第二个转折点x)x(2) 则称/()为下限测度白化权函数,记为[-,一,x(3)x(4 2、若白化权函数∫()的第二和第三个转折点重合,则称f(°) 为适中测度白化权函数,记为fx(1),x2(2)2-,x(4) 3、若∫()无第三和第四个转折点,则称∫()为上限测度白 化权函数,记为f[x(1),x(2),一,一]
k j f x (1) k j x (2) k j x (3) k j x (4) k j x 1 0 x (3) k j x (4) k j 0 x 1 k j f 定义 5.2.4 1、若白化权函数 无第一和第二个转折点 则称 为下限测度白化权函数，记为 2、若白化权函数 的第二和第三个转折点重合，则称 为适中测度白化权函数，记为 3、若 无第三和第四个转折点，则称 为上限测度白 化权函数，记为 ( ) k j f • (1) k j x (2) k j x ( ) k j f • ( ) k j f • ( ) k j f • ( ) k j f • ( ) k j f • [ , , (3), (4)]. k k k j j j f x x − − [ (1), (2), , (4)] k k k k j j j j f x x x − [ (1), (2), , ] k k k j j j f x x − − 5.2.1 5.2.2
5.2.3 5.24 0 x(1)x2(2) x0x4(1) XC (4) 命题52.1对于图5.2.1所示的典型白化权函数,有(其余见 书P81-82) x∈[x(1),x(4) x∈[x;(1)2x;(2) x;(2)-x;( x∈[x(2),x(3) (4)-x x∈[x(3),x(4) x(4)-x(3)
k j f x (1) k j x (2) k j x (4) k j x 1 0 k j f x (1) k j x (2) k j x 1 0 命题 5.2.1 对于图5.2.1所示的典型白化权函数，有（其余见 书P81-82） 0 [ (1), (4)] (1) [ (1), (2)] (2) (1) 1 [ (2), (3)] (4) [ (3), (4)] (4) (3) k k j j k j k k k k j j k j j j k k j j k j k k k k j j j j x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x − − = − − 5.2.3 5.2.4
定义52,21、对于图52.1所示的/指标k子类白化权函数,令2=(x(2)+x(3) 2、对于图52所示的j指标k子类白化权函数,令A=x(3) 3、对于图52.1和图524所示的j指标k子类白化权函数,令=x(2) 则称为j指标k子类临界值。 定义526设λ为j指标k子类临界值,则称 为j指标关于k子类的权 ∑ 定义527设x.为对象关于指标j的标本,f()为J指标k子类 白化权函数,7为j指标关于k子类的权,则称 4=∑/(x)m 为对象i属于k灰类的灰色变权聚类系数
定义 5.2.2 1、对于图5.2.1所示的 指标 子类白化权函数，令 2、对于图5.2.2所示的 指标 子类白化权函数，令 3、对于图5.2.1和图5.2.4所示的 指标 子类白化权函数，令 则称 为 指标 子类临界值。 定义5.2.6 设 为 指标 子类临界值，则称 为 指标关于 子类的权。 定义 5.2.7 设 为对象 关于指标 的标本， 为 指标 子类 白化权函数， 为 指标关于 子类的权，则称 为对象 属于 灰类的灰色变权聚类系数。 j k 1 ( (2) (3)) 2 k k k j j j = + x x j j j j j k k k k k (3) k k j j = x (2) k k j j = x k j k j 1 k k j j m k j j = = 1 ( ) m k k k i j ij j j f x = = • ij x i j ( ) k j f • j k k j j k i k
定义52.8称1、 a=(a,2,…,a)=C/(x)-∑f(x),…∑/(x)-) 为对象属于灰类的灰色变权聚类系数。 =(O 为聚类系数矩阵 定义529设=max{o},则称对象属于灰类k 灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形,当指标的意义、量纲 不同,且指标的样本值在数量上悬殊较大时,不宜采用灰色变权聚类
定义 5.2.8 称 1、 为对象 属于 灰类的灰色变权聚类系数。 2、 为聚类系数矩阵。 定义 5.2.9 设 ，则称对象 属于灰类 灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当指标的意义、量纲 不同，且指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类。 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ( , , , ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) m m m s s s i i i i j ij j j ij j j ij j j j j f x f x f x = = = = = • • • 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) s s k i s n n n = = 1 max k k i i k s = i k
5.3灰色定权聚类 解决上述问题有两条途径:1、采用初值化算子或均值化算子将指标样本 值化为无量纲数据,然后进行聚类。这种方式不能反映不同指标在聚类过 程中的差异性。2、对各聚类指标事先赋权。即定权聚类 定义53.1设xn(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)为对象i关于指标j的样 本值,∫()j=1,2,…,mk=1,2…,s)为指标k子类白化权函数。 若j指标关于k子类的权(=1,2,…,mk=1,2,…,)与k无关 即对任意的k,k2∈{=12…,m},并称 ∑∫(x 为对象i属于k灰类的灰色定权聚类系数
5.3 灰色定权聚类 解决上述问题有两条途径：1、采用初值化算子或均值化算子将指标样本 值化为无量纲数据，然后进行聚类。这种方式不能反映不同指标在聚类过 程中的差异性。2、对各聚类指标事先赋权。即定权聚类。 定义 5.3.1 设 为对象 关于指标 的样 本值， 为 指标 子类白化权函数。 若 指标关于 子类的权 与 无关 ， 即对任意的 ，并称 为对象 属于 灰类的灰色定权聚类系数。 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij x i n j m = = ( )( 1,2, , ; 1,2, , ) k j f j m k s • = =( 1,2, , ; 1,2, , ) k j j m k s = = j k i j j k k k k j m 1 2 , 1,2, , = 1 ( ) m k k i j ij j j f x = = • i k