成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第九章 二阶常微分方程级数解法本征值问题

l/81回 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/81 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/81 第九章二阶常微分方程级数解 法本征值问题 上一章的分离变效法是对直角坐标系的各种定解问题和平面极坐 标系稳定场问题进行的,出现的本征函数都是三角函数.但实际问题 中的边界是多种多样的,坐标系必须参照问题中的边界形状来选择, 不可能总是直角坐标系或平面极坐标系 圆球形和圆柱形就是两种常见的边界,相应地用球(极)坐标系 和柱坐标系比较方便.本章要考察球坐标系和柱坐标系中的分离变数 法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/81 1ÊÙ ~‡©§?ê ) { Š¯K þÙ©lC{´é†‹IXˆ«½)¯KÚ²¡4‹ IX­½|¯K?1§Ñy¼êÑ´n¼ê©¢S¯K ¥>.´õ«õ§‹IX7Lëì¯K¥>./G5ÀJ§ ،Uo´†‹IX½²¡4‹IX© ¥/ÚÎ/Ò´ü«~„>.§ƒA/^¥£4¤‹IX Ú΋IX'B©ه ¥‹IXÚ΋IX¥©lCê {¤~‡©§±9ƒAŠ¯K©

91.特殊函数常微分方程 3/81圆 91特殊函数常微分方程 911 Laplace方程M=0 1.球(极)坐标系 球坐标系下 Laplace算符△的表达式可在微积分学教本中找到, 从而得 Laplace方程在球坐标系中的表达式 0 ou 10 1 a2u sin e 0.(9.1-1) r2ar ar/r2 sin 080 a0/ r2 sin 0 a 首先,尝试把表示距离的变数r跟表示方向的变数6和q分离, 以 u(r,,q)=R(r)Y(6,q) 代入(9.1-1),得 Y d AR+rsin 00( sin e d r a aY r ay r2 drd 00 sin260g2=0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 3/81 §9.1 Aϼê~‡©§ 9.1.1 Laplace § ∆u = 0 1. ¥£4¤‹IX ¥‹IXe Laplace ŽÎ ∆ LˆªŒ3‡È©Æ¥é§ l  Laplace §3¥‹IX¥Lˆª 1 r 2 ∂ ∂r  r 2∂u ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂u ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2 = 0. (9.1-1) Äk§}ÁrL«ålCê r ‹L«•Cê θ Ú ϕ ©l§ ± u(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, ϕ) \(9.1-1)§ Y r 2 d dr  r 2dR dr  + R r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂Y ∂θ  + R r 2 sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 = 0.

891.特殊函数常微分方程 4/81國 用P2/RY遍乘各项并适当移项,即得 d dr 10 02y sin e Rdr dr sin erae a0/ Y sin eaqp 左边是r的函数,跟θ和q无关;右边是θ和φ的函数,跟r无关 两边相等显然是不可能的,除非两边实际上是同一个常数.通常把这 个常数记作l(l+1), d/,dR ar a2y sin e l(l+1) Rdr sin era8 a0) Y sin2 eaqp2 由此得两个分离变数形式的方程 d/dR (9.1-2) dr dr (+1)R=0, Y 1 aY sin e sin 0r a8 06丿+Ysin260q2 +l(l+1)Y=0, (9.1-3) 常微分方程(9.12)可改写为 dr dR 2* 2p l(l+1)R=0, d ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 4/81 ^ r 2 /RY H¦ˆ‘¿·£‘§= 1 R d dr  r 2dR dr  = −1 sin θY ∂ ∂θ  sin θ ∂Y ∂θ  − 1 Y sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 . †>´ r ¼ê§‹ θ Ú ϕ Ã'¶m>´ θ Ú ϕ ¼ê§‹ r Ã'© ü>ƒw,´ØŒU§Øšü>¢Sþ´Ó‡~ê©Ï~rù ‡~êPŠ l(l + 1)§ 1 R d dr  r 2dR dr  = − 1 sin θY ∂ ∂θ  sin θ ∂Y ∂θ  − 1 Y sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 = l(l + 1). ddü‡©lCê/ª§ d dr  r 2dR dr  − l(l + 1)R = 0, (9.1-2) 1 sin θY ∂ ∂θ  sin θ ∂Y ∂θ  + 1 Y sin2 θ ∂ 2Y ∂ϕ2 + l(l + 1)Y = 0, (9.1-3) ~‡©§(9.1-2)ŒU r 2d 2R dr 2 + 2r dR dr − l(l + 1)R = 0,

91.特殊函数常微分方程 5/81圓 正是Euer型常微分方程,它的解是 R(r)=Cr+Dr-(+D) (9.1-4 偏微分方程(91-3)叫作球函数方程 进一步分离变数,以 Y(6,q)=6(6Φ(q) 代入球函数方程(91-3),得 ①d sin eg) 十 in ede sin2bdp2+l(l+1)6①=0 用sin26/6Φ遍乘各项并适当移项,即得 e de( sin e de sin e d d/+1+1sn2=-14 gp dcp2 左边是6的函数,跟q无关;右边是q的函数,跟无关,两边相等 显然是不可能的,除非两边实际上是同一个常数.把这个常数记作 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 5/81 ´ Euler .~‡©§§§)´ R(r) = Crl + Dr−(l+1) . (9.1-4)  ‡©§(9.1-3)Š¥¼ê§© ?Ú©lC꧱ Y(θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) \¥¼ê§(9.1-3)§ Φ sin θ d dθ  sin θ dΘ dθ  + Θ sin2 θ d 2Ψ dϕ2 + l(l + 1)ΘΦ = 0. ^ sin2 θ/ΘΦ H¦ˆ‘¿·£‘§= sin θ Θ d dθ  sin θ dΘ dθ  + l(l + 1) sin2 θ = − 1 Φ d 2Φ dϕ2 . †>´ θ ¼ê§‹ ϕ Ã'¶m>´ ϕ ¼ê§‹ θ Ã'©ü>ƒ w,´ØŒU§Øšü>¢Sþ´Ó‡~ê©rù‡~êPŠ

91.特殊函数常微分方程 6/81圓 sin e d d 1 d 2gp sin e o de d/+l(+1)sin26= qp dop 由此得两个分离变数形式的常微分方程 d"+AΦ=0, (9.1-5) d d sin e (9.1-6) de n)+m+1sm2-=0 常微分方程(915往往还有一个没有写出来的“自然的周期条件 Φ(q+2)=Φ(q)(参看§8.1例4).常微分方程9,15)和自然的周期 条件构成本征值问题.本征值是 =m2 m=0,1,2,3,… (9.1-7) 本征函数是 Φ(q)= A cos mqp+ B sin map, m=0,1,2,3,· (9.1-8) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 6/81 λ§ sin θ Θ d dθ  sin θ dΘ dθ  + l(l + 1) sin2 θ = − 1 Φ d 2Φ dϕ2 = λ. ddü‡©lCê/ª~‡©§ Φ00 + λΦ = 0, (9.1-5) sin θ d dθ  sin θ dΘ dθ  + l(l + 1) sin2 θ − λ Θ = 0. (9.1-6) ~‡©§(9.1-5) „k‡vkÑ5“g. ,. . ±. Ï. ^. ‡. ” Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) (ëw § 8.1 ~¯)©~‡©§(9.1-5)Úg,±Ï ^‡¤Š¯K©Š´ λ = m 2 , m = 0, 1, 2, 3, · · · , (9.1-7) ¼ê´ Φ(ϕ) = A cos mϕ + B sin mϕ, m = 0, 1, 2, 3, · · · . (9.1-8)

91.特殊函数常微分方程 7/81 再看常微分方程(91-6).根据91-7),应把(91-6)改写为 1 d d sin e d)+l(+1) e=0. 9.1-9) sin ede sin-e 通常用 6= arc cos x, 即x=cos6, 把自变数从θ换为x(x只是代表cos,并不是直角坐标),则 do dodo do sIn de dx de ar 1 d d 1 dx d d d n e sin-e sin ede sin ede dx d de 方程91-9)化为 dd d l(l+1) e=0 (9.1-10) 即 d yd +l(+1) e=0. 1-1 d62 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 7/81 2w~‡©§(9.1-6)©Šâ(9.1-7)§Ar(9.1-6)U 1 sin θ d dθ  sin θ dΘ dθ  +  l(l + 1) − m2 sin2 θ  Θ = 0. (9.1-9) Ï~^ θ = arc cos x, = x = cos θ, rgCêl θ † x ( x ´L cos θ§¿Ø´†‹I)§K dΘ dθ = dΘ dx dx dθ = − sin θ dΘ dx , 1 sin θ d dθ  sin θ dΘ dθ  = 1 sin θ dx dθ d dx  − sin2 θ dΘ dx  = d dx  (1 − x 2 ) dΘ dθ  . §(9.1-9)z d dx  (1 − x 2 ) dΘ dx  +  l(l + 1) − m2 1 − x 2  Θ = 0, (9.1-10) = (1 − x 2 ) d 2Θ dθ 2 − 2x dΘ dθ +  l(l + 1) − m2 1 − x 2  Θ = 0. (9.1-11)

91.特殊函数常微分方程 8/81圆 这叫作阶(m级)连带 Legendre方程.其m=0的特例,即 d (1 d62 2x=,x+l(l+1)=0, (9.1-12) de 则叫作L阶 Legendre方程 关于 Legendre方程和连带 Legendre方程的求解见§92和§ 10.2.在那里将要看到, Legendre方程和连带 Legendre方程往往隐 含着在x=±1(即θ=0,m)的“自然边界条件并构成本征值问题,决 定了l只能取整数值 2.柱坐标系 柱坐标系 Laplace算符△的表达式同样可在微积分学教本中找 到,从而得 Laplace方程在柱坐标系中的表达式 1 a aut 1 au a2 0 (9.1-13) pdp( ap/p d ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 8/81 ùŠ l £m ?¤ë‘ Legendre §©Ù m = 0 A~§= (1 − x 2 ) d 2Θ dθ 2 − 2x dΘ dθ + l(l + 1)Θ = 0, (9.1-12) KŠ l  Legendre §© 'u Legendre §Úë‘ Legendre §¦)„ § 9.2 Ú § 10.2©3@pò‡w§ Legendre . §. Ú. ë. ‘. Legendre . §. . . Û. ¹. X. 3. x = ±1 (=. θ = 0, π ). “g. ,. >. .. ^. ‡. ”¿. . ¤. . . Š. ¯. K. §û. ½. . l . U. . . ê. Š. © 2. ΋IX ΋IX Laplace ŽÎ ∆ LˆªÓŒ3‡È©Æ¥é §l  Laplace §3΋IX¥Lˆª 1 ρ ∂ ∂ρ  ρ ∂u ∂ρ + 1 ρ 2 ∂ 2u ∂ϕ2 + ∂ 2u ∂z 2 = 0. (9.1-13)

91.特殊函数常微分方程 9/81 以分离变数的形式解 u(p, ( p, z)=R(p)o(p)Z(z) 代入(9.1-13),得 d2RZΦ ddR RZ ①Z ①”+RΦZ=0. d 用p2/Rz遍乘各项并适当移项,即得 p-d-R pdR r dp2 r dp 左边是p和z的函数,跟q无关;右边是q的函数,跟p和z无关 两边相等显然是不可能的,除非两边实际上是同一个常数.把这个常 数记作A, P2dR pdR ΦA rd Rd 由此得分离变数形式的两个常微分方程 ①"+A=0, (9.1-14) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 9/81 ±©lCê/ª) u(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z) \(9.1-13)§ ΦZ d 2R dρ 2 + ZΦ ρ 2 ddR dρ + RZ ρ 2 Φ00 + RΦZ 00 = 0. ^ ρ 2 /RΦZ H¦ˆ‘¿·£‘§= ρ 2 R d 2R dρ 2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z 00 Z = − Φ0 Φ . †>´ ρ Ú z ¼ê§‹ ϕ Ã'¶m>´ ϕ ¼ê§‹ ρ Ú z Ã'© ü>ƒw,´ØŒU§Øšü>¢Sþ´Ó‡~ê©rù‡~ êPŠ λ§ ρ 2 R d 2R dρ 2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z 00 Z = − Φ0 Φ = λ. dd©lCê/ªü‡~‡©§ Φ00 + λΦ = 0, (9.1-14)

91.特殊函数常微分方程 10/81圆 p-dr pdr 十 (9.1-15) r dpz r dp 常微分方程(91-14)和没有写出来的自然的周期条件 Φ(q)=Φ(q+2丌) 构成本征值问题.本征值和本征函数是 0,1,2,3, 9.1-16 Φ(q)= A cos mqp+ B sin map,m=0,1,2,3,…… (9.1-17 至于方程(9,1-15),以(9116代入,用1/p2遍乘各项,并适当移项得 1 d2r 1dr m2 Z r dp2 pdp 这就分解为两个常微分方程 0, (9.1-18) d r 1 dR 十 R=0. dp2 pd +(p (9.1-19) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §9.1. Aϼê~‡©§ 10/81 ρ 2 R d 2R dρ 2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z 00 Z = λ. (9.1-15) ~. ‡. ©. . §. (9.1-14)Ú. v. k. . Ñ. 5. . g. ,. . ±. Ï. ^. ‡. Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π) . ¤. . . Š. ¯. K. ©ŠÚ¼ê´ λ = m 2 , m = 0, 1, 2, 3, · · · , (9.1-16) Φ(ϕ) = A cos mϕ + B sin mϕ, m = 0, 1, 2, 3, · · · . (9.1-17) u§(9.1-15)§±(9.1-16)\§^ 1/ρ2 H¦ˆ‘§¿·£‘ 1 R d 2R dρ 2 + 1 ρ dR dρ − m2 ρ 2 = − Z 00 z = −µ. ùÒ©)ü‡~‡©§µ Z 00 − µZ = 0, (9.1-18) d 2R dρ 2 + 1 ρ dR dρ +  µ − m2 ρ 2  R = 0. (9.1-19)