《数学分析(1,2,3)》教案 第十九章积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质 §1二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1.二重积分、三重积分,第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度,求物体的质量。但 要看物体的几何形状。 2.几何体Ω上的黎曼积分的定义 定义1设Ω为一块几何形体,这个几何形体是可以度量的,在这个几何形体Q上定义了一个函数f(M) M∈g。将这几何形体分为若干可以度量的小块△g21,A2,…,A2。既然每一小块都可度量,故 它们皆有度量大小可言,把他们的度量大小仍记为A2(=1,2,…,m)。并令d=max{△Q的直径,在每 g一块△Q中任取一点M,做下列和式 ∑∫(M)△ 如果这个和式不论对于Ω的怎样分划以及M,在ΔΩ,上如何取法,只要当d→>0时恒有同一极限I,则称此 极限为∫(M)在几何形体9上的黎曼积分,记为: 1=f(M)dQ2 也就是 ∑f( M.)△C 这个极限是与分法和取法无关的。 E-6"叙述:如果对任意E>0及一定数Ⅰ,总存在一个数δ>0,对于任意的分法,只要d<δ时,不管 点M,在△g2上如何选取,恒有 <a 则称为f(M)在2上的黎曼积分,记为 1=J/(M)dQ2 这时,也称f(M)在g上可积。 根据几何形体Ω的不同形态,进一步给出Ω上积分的具体表示式及名称 (1)如果几何体Ω是一块可求面积的平面图形σ,那么σ上的积分就称为二重积分,在直角坐标下记为 J/(x,y)dxdy 19-1
《数学分析（1，2，3）》教案 19-1 第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质 §1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1. 二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。但 要看物体的几何形状。 2. 几何体 上的黎曼积分的定义。 定义 1 设 为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体 上定义了一个函数 f M( ) ， M 。将这几何形体 分为若干可以度量的小块 1， 2 ，…， n 。既然每一小块都可度量，故 它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为 i (i n =1, 2, , ) 。并令 1 max i i n d = 的直径 ，在每 一块 i 中任取一点 Mi ，做下列和式： ( ) 1 n i i i f M = 如果这个和式不论对于 的怎样分划以及 Mi 在 i 上如何取法，只要当 d →0 时恒有同一极限 I ，则称此 极限为 f M( ) 在几何形体 上的黎曼积分，记为： I f M d ( ) = 也就是 ( ) 0 1 lim n i i d i I f M → = = ， 这个极限是与分法和取法无关的。 " " − 叙述：如果对任意 0 及一定数 I ，总存在一个数 0 ，对于任意的分法，只要 d 时，不管 点 Mi 在 i 上如何选取，恒有 ( ) 1 n i i i f M I = − ， 则称 I 为 f M( ) 在 上的黎曼积分，记为： I f M d ( ) = ， 这时，也称 f M( ) 在 上可积。 根据几何形体 的不同形态，进一步给出 上积分的具体表示式及名称。 （1）如果几何体 是一块可求面积的平面图形 ，那么 上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为 f x y dxdy ( , )
《数学分析(1,2,3)》教案 (2)如果几何体Ω是一块可求体积的空间几何体V,那么V上的积分就称为三重积分,在直角坐标下记为 ∫(x,y2d (3)如果几何体Ω是一块可求长的空间曲线段l,那么l上的积分就称为第一类曲线积分,在直角坐标下记 为 ∫f(xy,=)d。 (4)如果几何体Ω是一块可求面积的曲面片S,那么S上的积分就称为第一类曲面积分,在直角坐标下记 为 3.性质 (1)J42=(2的度量) (2)若f(M)在上可积,则f(M)在上有界 §2积分的性质 性质1若函数f(M)在Ω上可积,k为常数,则kf(M)在2上也可积,且 k(22=kf(92d 即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。 性质2若函数f(M)、g(M)都在9上可积,则∫(MO)±g(M)在息上也可积,且有 f(M)±g(M)g2=f(M)dg±g(M)dg2 性质3若函数f(M)在g上可积,且=9∪92,∩intg2=,则f(M)在1和2上都可积,且 2f(xk=/(k+[/(x) 反之,若f(M)在Ω1和92上都可积,则f(M)在Ω上可积,且上述等式成立 性质4若函数f(M)和(M)都在9上可积,且在上成立f(M)≤g(M),则 √(M)AsJ2s(M) 性质5若函数(M)在上可积,则(M在Q上可积、且M⊥o 注:若(M在上可积,不能推出f(M在Ω上可积。 x和y中至少有一个为无理数 例:f(x,y) -1,x和y都为有理数 19-2
《数学分析（1，2，3）》教案 19-2 （2）如果几何体 是一块可求体积的空间几何体 V ，那么 V 上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为 ( , , ) V f x y z dxdydz 。 （3）如果几何体 是一块可求长的空间曲线段 l ，那么 l 上的积分就称为第一类曲线积分，在直角坐标下记 为 ( , , ) l f x y z ds 。 （4）如果几何体 是一块可求面积的曲面片 S ，那么 S 上的积分就称为第一类曲面积分，在直角坐标下记 为 ( , , ) S f x y z dS 。 3．性质 （1） d ( ) = 的度量 。 （2）若 f M( ) 在 上可积，则 f M( ) 在 上有界。 §2 积分的性质 性质 1 若函数 f M( ) 在 上可积， k 为常数，则 kf M( ) 在 上也可积，且 ( ) ( ) a kf d k f d = 。 即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。 性质 2 若函数 f M( ) 、 g M( ) 都在 上可积，则 f M g M ( ) ( ) 在 上也可积，且有 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f M g M d f M d g M d = 。 性质 3 若函数 f M( ) 在 上可积，且 = 1 2 ， 1 2 = int ，则 f M( ) 在 1 和 2 上都可积，且 1 2 f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) = + 。 反之，若 f M( ) 在 1 和 2 上都可积，则 f M( ) 在 上可积，且上述等式成立。 性质 4 若函数 f M( ) 和 g M( ) 都在 上可积，且在 上成立 f M g M ( ) ( )，则 f M d g M d ( ) ( ) 。 性质 5 若函数 f M( ) 在 上可积，则 f M( ) 在 上可积，且 f M d f d ( ) ( ) 。 注：若 f M( ) 在 上可积，不能推出 f M( ) 在 上可积。 例： ( ) 1, , 1 x y f x y x y = − 和 中至少有一个为无理数， ， 和 都为有理数
《数学分析(1,2,3)》教案 在[0O,上不可积,但/(x,y)可积。 性质6(积分第一中值定理)若函数f(M)在Ω上可积,则存在常数c,使得 nf(M)n=c(2的度量) 推论若函数f(M)在Ω上连续,则在9上至少存在一点M,使 f(M)Q=/(M)(9的度量) 例:若函数(M)在9上连续,f(M)≥0,但f(A)不恒等于0,则f(M)2>0 19-3
《数学分析（1，2，3）》教案 19-3 在 0101 ，；， 上不可积，但 f x y ( , ) 可积。 性质 6（积分第一中值定理）若函数 f M( ) 在 上可积，则存在常数 c ，使得 f M d c ( ) ( ) = 的度量 。 推论 若函数 f M( ) 在 上连续，则在 上至少存在一点 * M ，使 ( ) ( ) ( ) * f M d f M = 的度量 。 例：若函数 f M( ) 在 上连续， f M( ) 0 ，但 f M( ) 不恒等于 0，则 f M d ( ) 0
