第一章变量与函数 §1.函数的概念 1.证明下列不等式: (1)|x-y2|- (2)x+x2+…xx|+x2|+…+|xn| (3)|x1+x2+…xn+x|≥|x|-(|x1|+|x21|+…+|xn|) 2.求证1a+b 1+|a+b1+|al1+|b 3.在半径为r的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积表为其高的函数,并求此函 数的定义域 4.判别下列函数的奇偶性 (1)f(x) (2)f(x) x+ sinx (3)f(x)=xe- (4)f( x)=lg(x+1+x) 5.判别下列函数是否是周期函数,若是,试求其周期: (x)=cos x (2)f(x)=cos+2 sin x (3) f(x)=cos 6.试证两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,一个奇函数和一个 偶函数的乘积是奇函数 7.证明f(x) x2+1在(-+∞)有界 8.设f(x)为定义在(-∞,+∞)内的任何函数,证明f(x)可分解成奇函数和偶函数之 和 9.用肯定语气叙述:在(-∞,+∞)上 (1)f(x)不是奇函数 (2)f(x)不是单调上升函数; (3)f(x)无零点 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 第一章 变量与函数 §1. 函数的概念 1. 证明下列不等式： (1) x y x y − − ； (2) 1 2 1 2 n n x x x x x x + + + + + ； (3) 1 2 1 2 (| | | | | | n n + + + − + + + x x x x x x x x ）. 2. 求证 | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | a b a b a b a b + + + + + + . 3. 在半径为 r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函 数的定义域. 4. 判别下列函数的奇偶性： (1) 4 2 ( ) 1 2 x = + − f x x ； (2) = + f x x x ( ) sin ； (3) 2 2 ( ) x f x x e− = ； (4) 2 = + + f x x x ( ) lg( 1 ) . 5. 判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1) 2 = f x x ( ) cos ； (2) ( ) cos sin 2 3 x x = + f x ； (3) f x x ( ) cos = ； (4) = f x x ( ) tan . 6. 试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个 偶函数的乘积是奇函数. 7. 证明 2 ( ) 1 x f x x = + 在 − + ( , ) 有界. 8. 设 f x( ) 为定义在 − + ( , ) 内的任何函数，证明 f x( ) 可分解成奇函数和偶函数之 和. 9. 用肯定语气叙述：在 − + ( , ) 上 (1) f x( ) 不是奇函数； (2) f x( ) 不是单调上升函数； (3) f x( ) 无零点；
(4)f(x)无上界 §2.复合函数和反函数 1.求下列函数的反函数及其定义域: ()y=2(x+2),1x+ (e2-e),-∞<x<+∞ ∞<x<1, (3)y={x2,1≤x≤4 4<x<+00 2.设f(x),g(x)为实轴上单调函数,求证f(g(x)也是实轴上的单调函数 3.设f(x)=-x,求证f((x)=x 4.设f(x)=1-x 求f(f(x),f((f(x)),f(-) f(x) x,x≤0. f(x) 求复合函数f(g(x),g(f(x) §3.基本初等函数 1.若已知函数y=f(x)的图形,作函数 y=f(x),y2=f(-x),y=-f(-x) 的图形,并说明y,y2,y3的图形与y的图形的关系 2.作出下列函数的图形 (1) y=xsin x 3.对下列函数分别讨论函数的定义域和值域,奇偶性,周期性,有界性,并作出函数 的图形 (1)y=|x|; (2)y=x-{x (3) y=tan xI (4)y=x(2-x) (5) y=sinx (6) y=Isin x|+ cosx 4.若已知函数f(x),g(x)的图形,试作函数 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 (4) f x( ) 无上界. §2. 复合函数和反函数 1. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 1 1 2 y x x x = ( + ) + ； (2) 1 2 x x y e e x − = ( − ) − + ； (3) 2 , 1, , 4, 2 , 4 . x x x y x x x − = + 2. 设 f x( ) ， g x( ) 为实轴上单调函数，求证 f g x ( ( )) 也是实轴上的单调函数. 3. 设 ( ) 1 x f x x − = + ，求证 = f f x x ( ( )) . 4. 设 1 f x( ) x = − ，求 f f x ( ( )) ， f f f x ( ( ( ))) ， 1 ( ) ( ) f f x . 5. 设 2 1, 0, , 0, ( ) ( ) , 0. , 0. x x x x f x g x x x x x − − = = − 求复合函数 f g x ( ( )) ， g f x ( ) ( ) . §3. 基本初等函数 1. 若已知函数 = y f x( ) 的图形，作函数 1 = y f x( ) ， 2 = − y f x ( ) ， 3 = − − y f x ( ) 的图形，并说明 1 2 3 y y y 的图形与 y 的图形的关系. 2. 作出下列函数的图形： (1) = y x x sin ； (2) 1 y sin x = . 3. 对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数 的图形： (1) = y x| | ； (2) = − y x x[ ] ； (3) = y x tan | | ； (4) = − y x x (2 ) ； (5) 2 = y x sin ； (6) = + y x x sin cos . 4. 若已知函数 f x g x ( ) , ( ) 的图形，试作函数
If(x)+g(x)+f(x)-g(xI 的图形,并说明y的图形与f(x)、g(x)图形的关系 5.作出下列函数的图形: 6.符号函数 试分别作出sgnx,sgn(2x),sg(x-2)的图形 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 y f x g x f x g x [ ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 的图形，并说明 y 的图形与 f x( ) 、 g x( ) 图形的关系. 5. 作出下列函数的图形： (1) = y sgn x cos ； (2) ] 2 2 x y x = − . 6. 符号函数 0, 0 , 0, 1, 0, x y sgn x x x = = = − 试分别作出 sgn x ， ( sgn ) x ， − sgn( 2) x 的图形