《数学分析(1,2,3)》教案 第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1.关于实数的基本定理 子列 定义1在数列{xn}中,保持原来次序自左至右任一选区无限多项,构成新的数列,就称为(x}的子列,记 为 子列的极限和原数列的极限的关系 定理1若imx=a,则{x}的任何子列}都收敛,并且它的极限也等于a 注:该定理可用来判别{xn}不收敛。 例:证明{sin}不收敛。 推论:若对任何{x}x→x,x≠x,都有{(x)收敛,那么f(x)在x的极限存在 二上确界和下确界 上确界的定义,下确界的定义 定理2非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 定理3单调有界数列必收敛 区间套定理 区间套:设{an,bn]}是一闭区间序列若满足条件 i>对Vn,有[an1,bn]c[an,bn] 0,(n→∞) 则称该闭区间序列为为区间套 注:区间套是指一个“闭、缩、套”区间列 例:{-1.1 }和{[0,-]}都是区间套但{[1+ ,1+=]}都不是 定理4设{[an,b]}是一闭区间套.则存在唯一的点ξ属于所有的区间 注:区间套中的任何一个条件去掉,定理一般将不成立。 四致密性定理 定理5任一有界数列必有收敛子列。 推论若{x}是一个无界数列,则存在子列xn→∞。 五 Cauchy收敛原理 1
《数学分析（1，2，3）》教案 3-1 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1. 关于实数的基本定理 一 子列 定义 1 在数列 xn 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 xn 的子列，记 为 xnk 。 子列的极限和原数列的极限的关系 定理 1 若 lim n n x a → = ，则 xn 的任何子列 xnk 都收敛，并且它的极限也等于 a 。 注：该定理可用来判别 xn 不收敛。 例：证明 sin 3 n 不收敛。 推论：若对任何 xn： 0 0 , , n n x x x x → 都有 f x( n ) 收敛，那么 f x( ) 在 0 x 的极限存在。 二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义 定理 2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。 定理 3 单调有界数列必收敛. 三 区间套定理 区间套: 设 {[ , ]} an bn 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ> 对 n, 有 [ , ] an+1 bn+1 [ , ] an bn ; ⅱ> − → 0, bn an (n → ). 则称该闭区间序列为为区间套 . 注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 例： ]} 1 , 1 {[ n n − 和 ]} 1 {[ 0 , n 都是区间套.但 ]} 2 , 1 ( 1) {[1 n n n + − + 都不是. 定理 4 设 {[ , ]} an bn 是一闭区间套. 则存在唯一的点 属于所有的区间。 注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。 四 致密性定理 定理 5 任一有界数列必有收敛子列。 推论 若 xn 是一个无界数列，则存在子列 k n x → 。 五 Cauchy 收敛原理
《数学分析(1,2,3)》教案 定理6数列{xn}收敛台ⅤE>0,N∈N,当n,m>N时,有xn-xm|<E 注:定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散 例:设x1=1+1++…+,证明{xn}发散 例:设x=1+2+ 证明{xn}收敛 六有限覆盖定理 复盖:先介绍区间族G={l2,A∈A} 定义(复盖):设E是一个数集G是区间族若对yx∈E,丑∈A,使得x∈l2,则称区间族G复盖了E, 或称区间族G是数集E的一个复盖.记为EcU2,A∈A若每个/2都是开区间,则称区间族G是开区间 族开区间族常记为M={(a1,B1),a1<B2,A∈A} 定义(开复盖):数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复盖简称为E的一个复盖 子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例:M={(2,2.x∈(0,1)}复盖了区间(0.1),但不能复盖[0 定理7闭区间[a,的任一开复盖必有有限子复盖 注:在定理的条件中,若E不是开区间集,或[a小为非闭区间,则从E中就不一定能选出有限个区间来覆 2闭区间上连续函数性质的证明 有界性定理 定理1闭区间[a,b]上的连续函数必定有界 注:开区间上的连续函数既可能有界,也可能无界 二最大值和最小值定理 定理2闭区间[,]上的连续函数必定有最大值和最小值。 三零点存在定理 定理3f(x)在闭区间[ab]连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(ab)内至少有一个根 证法(用区间套定理): 证法二(用确界原理) 证法三(用有限复盖定理)。 四一致连续性定理 3-2
《数学分析（1，2，3）》教案 3-2 定理 6 数列 { } n x 收敛 0, , N N+ 当 n m N , 时，有 n m x x − 。 注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。 例：设 1 1 1 1 2 3 n x n = + + + + ，证明 xn 发散。 例：设 2 2 2 1 1 1 1 2 3 n x n = + + + + ，证明 xn 收敛。 六 有限覆盖定理 复盖: 先介绍区间族 = { , } G I . 定义 (复盖 )：设 E 是一个数集, G 是区间族.若对 , , x E 使得 x I , 则称区间族 G 复盖了 E , 或称区间族 G 是数集 E 的一个复盖. 记为 , . E I 若每个 I 都是开区间，则称区间族 G 是开区间 族.开区间族常记为 ={ ( , ), , } M . 定义 (开复盖 )：数集 E 的一个开区间族复盖称为 E 的一个开复盖,简称为 E 的一个复盖. 子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例： ), ( 0 ,1) } 2 3 , 2 = { ( x x x M 复盖了区间 ( 0 ,1) , 但不能复盖 [ 0 ,1]。 定理 7 闭区间 a b , 的任一开复盖必有有限子复盖。 注：在定理的条件中，若 E 不是开区间集，或 a b, 为非闭区间，则从 E 中就不一定能选出有限个区间来覆 盖。 2 闭区间上连续函数性质的证明 一 有界性定理 定理 1 闭区间 a b, 上的连续函数必定有界。 注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。 二 最大值和最小值定理 定理 2 闭区间 a b, 上的连续函数必定有最大值和最小值。 三 零点存在定理 定理 3 f x( ) 在闭区间 a b, 连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 ，则 f x( ) = 0 在 (a b, ) 内至少有一个根。 证法一(用区间套定理)； 证法二(用确界原理)； 证法三 (用有限复盖定理)。 四 一致连续性定理
《数学分析(1,2,3)》教案 定理4闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必定一致连续 证法一(用区间套定理) 证法二(用致密性定理)
《数学分析（1，2，3）》教案 3-3 定理 4 闭区间 a b, 上的连续函数 f x( ) 必定一致连续。 证法一 (用区间套定理)； 证法二 (用致密性定理)