成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第六章 Laplace变换

1/48 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/48 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/48 第六章 Laplace变换 上章指出,指出 Fourier积分和 Fourier变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区域上满足 Dirichlet条件,并且在(-∞,∞)区间上绝 对可积,这是很强的条件.在许多物理现象中,考虑的是以时间为自 变量的函数(如,研究电路中电流、电压和电量的时间变化规律)的 初值问题:即已知物理量在初始时刻t=0(电路接通瞬时)的值 ∫(0),研究它们在t>0(联络接通后)的变化情况f(),对于t<0 (电路接通之前)的情况,可以不必考虑。另外,许多常见函数(如 多项式、三角函数等)不满足 Fourier变换的条件 总之,对于物理学和工程技术上常遇到的定义在[0,∞)的函数 f(t)(0≤t<∞), Fourier变换不在有效,为此我们必需采用新的变 换 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/48 18Ù Laplace C† þٍѧÑ Fourier È©Ú Fourier C†3^‡´¼ê f(x) 3?k«þ÷v Dirichlet ^‡§¿…3 (−∞, ∞) «mþý éŒÈ§ù´ér^‡©3NõÔny¥§Ä´±žmg Cþ¼ê£X§ïÄ>´¥>6!>ØÚ>þžmCz5Ƥ Њ¯Kµ=®Ônþ3Щž t = 0£>´Ï]ž¤Š f(0)§ïħ‚3 t > 0£éäÏ￾￾￾¤Czœ¹ f(t)§éu t ´σc¤œ¹§Œ±Ø7Ä", §Nõ~„¼ê£X õ‘ª!n¼ê¤Ø÷v Fourier C†^‡" oƒ§éuÔnÆÚó§Eâþ~‘½Â3 [0, ∞) ¼ê f(t) (0 ≤ t < ∞)§Fourier C†Ø3k§d·‚7Iæ^#C †©

3/48回 历史上, Laplace变换与无线电工程师 Heaviside发明的求解线性 微分方程的符号法一后经 Jeffreys发展为运算微积一密切相关 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/48 {¤þ§Laplace C††Ã‚>ó§ Heaviside u²¦)‚5 ‡©§ÎÒ{—￾￾￾² Jeffreys uЏ$Ž‡È—ƒƒ'©

861.符号法* 4/48回 86符号法* 运算微积的原始形式是符号法 函数q()的n阶导数可以看成求导算符p=是在函数q(t)上作 用n次的结果,p"q(t)=nq(t).算符p的“倒数”1则解释为积分算 符,q()=0q(T)d.例如, ldτ=t,1 1dtdt==t2 依此类推 (6.1-1) 无限电工程师承 Heaviside把符号法应用于求解线性匪分方程 从而大大促进了符号法的应用.例如,电阻R和自感L串联电路匪 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 4/48 §6.1 ÎÒ{∗ $Ž‡È©/ª´ÎÒ{© ¼ê ϕ(t)  n ꌱw¤¦ŽÎ p = d dt 3¼ê ϕ(t) þŠ ^ n g(J§p nϕ(t) = d n dt nϕ(t)©ŽÎ p “ê” 1 p K)ºÈ©Ž Χ1 p ϕ(t) = R t 0 ϕ(τ)dτ©~X§ 1 p 1 = Z t 0 1dτ = t, 1 p 2 1 = Z t 0 Z τ1 0 1dτdτ1 = 1 2 t 2 , daí§ 1 p n 1 = 1 n! t n . (6.1-1) Á>ó§« Heaviside rÎÒ{A^u¦)‚5ž©§§ l ŒŒr? ÎÒ{A^©~X§>{ R Úga L Gé>´ž

861.符号法* 5/48回 分方程是L+Rj=E,即 +r (6.1-2) Heaviside把式(6.1-2)改写为 E Lp R 算符p出现在分母中是没有意义的.式(61-3)最多只能当作“是微分 方程61-2)的解这句话的缩写.但是 Heaviside竟把(61-3)的分式展 开为级数并逐项应用(61-1) E E E R p+R p1+ P t Lp E R1 R2 Lp L2p2 L3 E「R1R21R31R41 RILP L2P2fLp3-L4p4 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 5/48 ©§´ L d j dt + R j = E§=  L d dt + R  j = E. (6.1-2) Heaviside rª(6.1-2)U j = E L p + R 1. (6.1-3) ŽÎ p Ñy3©1¥´vk¿Â©ª(6.1-3)õUŠ“ j ´‡© §(6.1-2))”ùé{ ©´ Heaviside ¾r(6.1-3)©ªÐ m?ê¿Å‘A^(6.1-1)© j = E L p + R 1 = E L p · 1 1 + R l 1 p 1 = E L p  1 + R L 1 p −1 1 = E L p  1 − R L 1 p + R 2 L2 1 p 2 − R 3 L3 1 p 3 + · · ·  1 = E R  R L 1 p − R 2 L2 1 P2 + R 3 L3 1 p 3 − R 4 L4 1 p 4 + · · ·  1

861.符号法* 6/48 R2t2 R3t3 R ERER 2!133!-L4!+ {1 (R/Lt Heaviside就如此解出了微分方程 作为无线电工程师, Heaviside不怎么考虑数学的严谨,他取得的 成绩使当时数学家大为吃惊.但是, Heaviside也作出了一系列计算错 误,后来由 Jeffreys指出乃是没有注意到p与1/p的次序不可交换, 1 pf(1)=/dr(r)=f()-f(0) d f(t) dt dτf(τ)=f(t) 后来,人们发现了符号法跟 Laplace变换的联系,符号法才脱离 了粗糙的形式而建立在 Laplace变换的基础上,通常把它改称为运算 微积.积肥在运算微积中,字母p不再解释为算符,而是代表一个复 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.1. ÎÒ{∗ 6/48 = E R  R L t − R 2 L2 t 2 2! + R 3 L3 t 3 3! − R 4 L4 t 4 4! + · · ·  = E R  1 − e −(R/L)t . Heaviside ÒXd)Ñ ‡©§© ŠÃ‚>ó§§Heaviside ØNoÄêÆî>§¦ ¤1¦žêÆ[Œ¯¯©´§Heaviside ŠÑ XOŽ† ا￾￾￾5d Jeffreys ÑD´vk5¿ p † 1/p gS،†§ 1 p p f(t) = Z t 0 dτ f 0 (τ) = f(t) − f(0), p 1 p f(t) = d dt Z t 0 dτ f(τ) = f(t). ￾￾￾5§<‚uy ÎÒ{‹ Laplace C†éX§ÎÒ{âøl o÷/ª ïá3 Laplace C†Ä:þ§Ï~r§U¡$Ž ‡È©È3$Ž‡È¥§i1 p Ø2)ºŽÎ§ ´L‡E

861.符号法* 7148回 变数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

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862. LAPLACE变换 8/48圓 86,2 Laplace变换 Laplace变换常用于初值问题,即已知某个物理量在初始时刻 =0的值f(0),而求解它在初始时刻后的变化情况f(t).至于在初始 时刻之前的值,我们不感兴趣,可以令其为零,即f(t)=0,t<0 对于定义在(0,∞)上的函数,并不满足 Fourier积分和变换的条 件.怎么办呢 方法设法加工不满足 Fourier变换条件的函数,使其满足 Fourier变 换条件,从而用 Fourier变换 加工摆脱 Fourier变换存在性的两个限制条件 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C† 8/48 §6.2 Laplace C† Laplace C†~^uЊ¯K§=®,‡Ônþ3Щž t = 0 Š f(0)§ ¦)§3Щž￾￾￾Czœ¹ f(t)©u3Щ žƒcŠ§·‚Øa,§Œ±-ُ"§= f(t) = 0, t < 0© éu½Â3 (0, ∞) þ¼ê§¿Ø÷v Fourier È©ÚC†^ ‡©NoQ© { {\óØ÷v Fourier C†^‡¼ê§¦Ù÷v Fourier C †^‡§l ^ Fourier C†¶ \ó {ø Fourier C†35ü‡›^‡µ

62. LAPLACE变换 9/48 1由 Heaviside函数H(t)的特点,构造满足 Dirichlet条件的函 数 0 f(t)A(t) (6.2-1) 2用指数函数e(>0)当t→∞时快速衰减的特点,构造 满足绝对可积条件的函数 g(t)=f()H(t)e,(-0<t<∞). (6.2-2) e-0称为收敛因子.对于实际问题,只要σ足够大,可保证 上面构造的函数g(t)是绝对可积的.从而可对加工后的函数 g(t)进行 Fourier变换 G() 2 g(t)e o dt f(tH(e- oe -o dt ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C† 9/48 1 d Heaviside ¼ê H(t) A:§E÷v Dirichlet ^‡¼ ê f(t)H(t) = ( 0 , t 0. (6.2-1) 2 ^ê¼ê e −σt (σ > 0)  t → ∞ ž¯„P~A:§E ÷výéŒÈ^‡¼ê g(t) = f(t)H(t)e −σt , (−∞ < t < ∞). (6.2-2) e −σt ¡ÂñÏf©éu¢S¯K§‡ σ v Œ§Œy þ¡E¼ê g(t) ´ýéŒÈ©l Œé\ó￾￾￾¼ê g(t) ?1 Fourier C†© G(ω) = 1 2π Z ∞ −∞ g(t)e −iωtdt = 1 2π Z ∞ −∞ f(t)H(t)e −σt e −iωtdt

862. LAPLACE变换 1048圆 f(t)e (0+io) dt p=0+io,f(p)=2rG(0) 则 f(p) f(t) dt. (6.2-3) 这就是函数f(t)的 Laplace变换,右边的积分称为 Laplace积分,em 称为 Laplace变换的核 定义:设函数f(t)是定义在(0,∞)上的实(复)函数,如果积分 f(tep di P=0+i0 0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §6.2. LAPLACE C† 10/48 = 1 2π Z ∞ 0 f(t)e −(σ+iω)tdt. - p = σ + iω, ¯f(p) = 2πG(ω), K ¯f(p) = Z ∞ 0 f(t)e −ptdt. (6.2-3) ùÒ´¼ê f(t)  Laplace C†§m>È©¡ Laplace È©§e −pt ¡ Laplace C†Ø© ~ ½. Â. µ¼ê f(t) ´½Â3 (0, ∞) þ¢£E¤¼ê§XJÈ© Z ∞ 0 f(t)e −ptdt, p = σ + iω