灰色系统理论及其应用 =n国方去等 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建组
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第三章序列算子与灰色序列生成 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的, 这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生 成 切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性 算子是处理数据的一种方法 图3.1 3.5 5 系列 3 →系列1 4.5 7.5
第三章 序列算子与灰色序列生成 • 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的, 这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生 成 •一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性. •算子 是处理数据的一种方法。 图3.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 系列1 1 2 1.5 3 1 2 3 4 图3.2 0 2 4 6 8 系列1 系列1 1 3 4.5 7.5 1 2 3 4
3.1序列算子 冲击扰动系统预测陷阱 定义311设x0)=(x(1),x0(2),…,x0)(m) 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为 X=(x(1)x(2)…,x(n) =(x0(1)+1,x0(2)+62…x0(m)+En)=X0+E 其中,E=(E1,E2…,En) 为冲击扰动项则称Ⅹ为冲击扰动序列 本节的讨论围绕一个总目标由X—X(0)展开
3.1 序列算子 一 冲击扰动系统预测陷阱 定义 3.1.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为: 其中, 为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 本节的讨论围绕一个总目标:由 展开 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) X = x x x n = + + + = + = (0) (0) 2 (0) 1 (0) ( (1) , (2) ( ) ) ( (1), (2), , ( )) x x x n X X x x x n ，， n ( , , , ) = 1 2 n X (0) X
缓冲算子公理 定义3.1.2设系统行为数据序列为X(x(1),x(2)…,x(n),若 1、任意k=2,3,n,总有x(k)-x(k-1)>0,则称X为单调增长序列; 2、1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列; 3、存在k,k'∈{2,3, 有 x(k)-x(k-1)>0x(k)-x(k-1)<0 则称X为随机振荡序列。设Mmx(x(k)k=12,…,n mnin(k)k=12,…,n 称M-m为序列X的振幅
二、缓冲算子公理 定义3.1.2 设系统行为数据序列为X（x(1),x(2),…,x(n)),若 1、任意k=2,3,…,n,总有x(k)-x(k-1)>0, 则称X为单调增长序列； 2、1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列； 3、存在 有 则称X为随机振荡序列。设M=max m=min 称M-m为序列X的振幅。 k,k2, 3, , n x(k) − x(k −1) 0 x(k) − x(k −1) 0 x(k) k =1,2, ,n x(k) k =1,2, ,n
定义3.1.3(序列算子的定义)设X为系统行为数据序列,D 为作用于X的算子,X经过算子D的作用后所得序列记为 AD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)) 称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作 用可以进行多次,相应的若D.D、D皆为序列算子,则称 DD2为二阶算子,DD2D3为三阶算子,XDD2为二阶算子 作用序列,XDD2D3为三阶算子作用序列 公理3.1.1(不动点公理)设X为系统行为序列,D为序列算 子,则D满足x(n)d=x(n) 涉及到不动点公理 即‘布劳威尔’不动点定理
定义3.1.3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，D 为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作 用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子 作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理3.1.1 （不动点公理） 设X为系统行为序列，D为序列算 子，则D满足 * 涉及到不动点公理 即‘布劳威尔’不动点定理 XD = (x(1)d, x(2)d, , x(n)d)) 1 2 3 D ,D ,D D1 D2 D1 D2 D3 XD1 D2 XD1 D2 D3 x(n)d = x(n)
公理3.1.2(信息充分利用公理)系统行为数据序列Ⅹ中 的每一个数据x(k)2k=1,2,…,n都应该充分的参与 算子作用的全过程。 公理3.1.3(解析化、规范化公理)任意的x(n)d,k=1,2,…n 都可以由一个统一的x(1),x(2),…x(m)的初等解析式表 达 上述三个公理称为缓冲算子三公理,满足缓冲算子三公 理的序列算子称为缓冲算子。 设Ⅹ为原始数据序列,D为缓冲算子,当Ⅹ分别为增长 序列、衰减序列或振荡序列时: 1、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速 度)减缓或振幅减小,称缓冲算子D为弱化算子。 2、若缓冲序列XD比原始序列Ⅹ的增长速度(或衰减速 度)加快或振幅增大,称缓冲算子D为强化算子
公理3.1.2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列X中 的每一个数据 都应该充分的参与 算子作用的全过程。 x(k),k =1,2, ,n 公理3.1.3 （解析化、规范化公理）任意的 ， 都可以由一个统一的 的初等解析式表 达。 x(n)d k =1,2, ,n x(1), x(2), , x(n) 上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公 理的序列算子称为缓冲算子。 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长 序列、衰减序列或振荡序列时： 1、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速 度）减缓或振幅减小，称缓冲算子D为弱化算子。 2、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速 度）加快或振幅增大，称缓冲算子D为强化算子
三、缓冲算子的性质 定理3.1.1设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有 1、D为弱化算子÷→x()≤x(k)d,k=1,2,…ni 2、D为强化算子x(k)≥x(k)d,k=1,2,…n 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀,在强化算子作用 下数据萎缩。 定理3.1.2设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有 1、D为弱化算子(→x()≥x()d2k=1,2,…m 2、D为强化算子台x(k)≤x(k)d2k=1,2,…H 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩,在强化算子作用 下数据膨胀
三、缓冲算子的性质 定理3.1.1 设X为单调增长序列，XD为其缓冲序列，则有 1、D为弱化算子 2、D为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用 下数据萎缩。 定理3.1.2 设X为单调衰减序列，XD为其缓冲序列，则有 1、D为弱化算子 2、D为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用 下数据膨胀。 x(k) x(k)d,k =1,2, n; x(k) x(k)d, k =1,2, n; x(k) x(k)d, k =1,2, n; x(k) x(k)d,k =1,2, n;
四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4设原始数据序列X=(x(1)2x(2)2…,x(n)) 令XD=(x(1)d2x(2)d2…,x(n)d) 其中 x(k)d B=k1lx()+x(k+1)+…+x(n)k=12… 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为 弱化算子。(证明从略) 四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4设原始数据序列Ⅹ=(x(1)x(2) x(n 令XD=(x(1)d2x(2)d2…,x(n)d))其中 x(k)dx(1)+x(2)+ +x(k-1)+kx(k) k=1.2 2k+1 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为 强化算子。(证明从略)
四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4 设原始数据序列X= 令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为 弱化算子。（证明从略） (x(1), x(2), , x(n)) XD = (x(1)d, x(2)d, , x(n)d)) x k x k x n k n n k x k d ( ) ( 1) ( ) ; 1,2, 1 1 ( ) + + + + = − + = 四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4 设原始数据序列X= 令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为 强化算子。（证明从略） (x(1), x(2), , x(n)) XD = (x(1)d, x(2)d, , x(n)d)) ; 1,2, 1 2 1 (1) (2) ( 1) ( ) ( ) = − + + + + − + = k n k x x x k k x k x k d
3.2均值生成 定义32.1设序列X=(x(1),x(2),…,x(k)2x(k+1),…x(n) x(k)与x(k+1)为X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1) 称为后值,若x(n)为新信息,则对任意k≤n-1,x(k)为 老信息 定义32.2设序列X在k处有空穴,记为∞(k),即 X=(x(1),x(2)…,x(k-1),(k),x(k+1),…x(n) 则称x(k-1)与x(k+1)为(k)的界值x(k-1) 为前界,x(k+1)为后界。当∞(k)x(k-1)和x(k+1) 生成时,称生成值x(k)为[x(k)2x(k+1)的内点
3.2 均 值 生 成 定义 3.2.1 设序列 与 为X的一对紧邻值， 称为前值， 称为后值，若 为新信息，则对任意 为 老信息。 X = (x(1), x(2), , x(k), x(k +1),x(n)) x(k) x(k +1) x(k) x(k +1) x(n) k n −1, x(k) 定义3.2.2 设序列X在k处有空穴，记为 ，即 则称 与 为 的界值 为前界， 为后界。当 由 和 生成时，称生成值 为 的内点。 (k) X = (x(1), x(2), , x(k −1),(k), x(k +1),x(n)) x(k −1) x(k +1) (k) x(k −1) x(k +1) (k) x(k −1) x(k +1) x(k) [x(k), x(k +1)]
定义3.2.3设x(k)与x(k-1)为序列X中的一对紧邻值,若有 x(k-1)为老信息,x(k)为新信息; 2、x'(k)=ax(k)+(1-a)x(k-1,∈[0,1 则称x(k)为由新信息与老信息在生成系数C下的生成值,当O >0.时,称x(k)的生成是“重新信息、轻老信息”生成;光 <0.5时,称的生成是“重老信息、轻新信息”生成;光 =02(k) 称的生成为转座),…,x(k-1()xk+1)…x(m) 定义3.2.4设 ∞(k) )盐3x-1)+(692+ 为非紧邻均值生成数,用 非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序
定义3.2.3 设 与 为序列X中的一对紧邻值，若有 1、 为老信息， 为新信息； 2、 则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 >0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当 <0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 =0.5， 称 的生成为非偏生成。 定义3.2.4 设 为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用 非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序 列。 x(k) x(k −1) x(k −1) x(k) ( ) ( ) (1 ) ( 1), [0,1] * x k =x k + − x k − ( ) * x k ( ) * x k ( ) * x k X = (x(1), x(2), , x(k −1),(k), x(k +1),x(n)) k (k) ( ) 0.5 ( 1) 0.5 ( 1) * x k = x k − + x k +