第10次课 教学内容(或课题):§7.线性空间 目的要求:掌握线性空间、线性相关、线性无关、维数和基等概 念,认识几个常用的线性空间 教学过程: Def1.设X是一非空集合,在X中定义了元素的加法运算和实数 (复数)与X中元素的乘法运算,满足下列条件 (一)关于加法成为交换群,即对vx,y∈X,丑∈X与之对应,记 之为u=x+y,称为x与y的和,满足 x+y=y+x, 2)(x+y)+z=x+(y+=)(x,yz∈X), 3)在X中存在唯一元素θ,s.t.对Vx∈X,成立x+b=x,称O 为X中零元素, 4)对X中每个元素x存在唯一元素x'∈X,s.t.x+x'=,称 为x的负元素,记为-x (二)对X中每个元素x及任何实数(复数)a,存在元素u∈X与 之对应,记为u=ax,称为a与x的数积,满足 1)1 )d(bx)=(ab)x对任何实数或复数a,b都成立, 3)(a+b=ax+bx: a(x+y)=ax+by (yE X) 则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间,其中的元素 称为向量.如果数乘运算只对实数(复数)有意义,则称X是实(复)线性 空间 对任何x∈X及数a,易证0x=0,ab=0,(-1x=-x 实因x+0x=1x+0x=(1+0)x=1x=x,有0x=0 ax+a0=a(x+0=ax, a0=0
44 第 10 次课 教学内容(或课题)： §7.线性空间 目的要求： 掌握线性空间、线性相关、线性无关、维数和基等概 念，认识几个常用的线性空间. 教学过程： Def 1.设 X 是一非空集合，在 X 中定义了元素的加法运算和实数 (复数)与 X 中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法成为交换群，即对 x, y X ，u X 与之对应，记 之为 u = x + y ，称为 x 与 y 的和，满足 1) x + y = y + x ， 2) (x + y)+ z = x + (y + z) (x, y,z X )， 3) 在 X 中存在唯一元素 ，s.t.对 x X ，成立 x + = x ，称 为 X 中零元素， 4) 对 X 中每个元素 x 存在唯一元素 x X ，s.t. x + x = ，称 x 为 x 的负元素，记为− x . (二) 对 X 中每个元素 x 及任何实数(复数) a ，存在元素 u X 与 之对应，记为 u = a x ，称为 a 与 x 的数积，满足 1) 1 x = x， 2) a(bx) = (ab)x 对任何实数或复数 a,b 都成立， 3) (a + b)x = ax +bx ; a(x + y) = ax + by ( y X )， 则称 X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素 称为向量.如果数乘运算只对实数(复数)有意义，则称 X 是实(复)线性 空间. 对任何 x X 及数 a ，易证 0 x = ，a = ,(−1)x = −x . 实因 x + 0x =1x + 0x = (1+ 0)x =1x = x ，有 0 x = ; ax + a = a(x + )= ax ，有 a = ;
x+(-1x=1x+(-1)x=[+(-l)}x=0x=O,有(-1)x=-x 以后把零元素O记为0 例1.R".对R中x=(1,2…,n),y=(n,h2…n)∈R 和实数(复数)a,定义x+y=(1+n,2+n2…,5n+mn), ax=(a51,a5 15n) 容易验证按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间 例2.C[ab]对wxy∈Cab]和数a,定义 (x+y))=x()+y(),(ax)()=a(t)t∈gb 则dab]按上述加法和数乘运算成为线性空间 般情况及有关约定见课本P193.1-7行 例3.空间1(p>0).设x=(5152…,5n…)是实(复)数 列,若∑5k<∞,则称数列(5,52,…5n…)是p次收敛数列.P 次收敛数列的全体记为P.对vx=(51,52,……,n y=(,n2…,n…)∈P和a∈R或C,定义 +y=(1+n12+ 5n+nn+……) ax=(as 往证x+y∈",ax∈1P.实因 n+nP≤(5n|+hn)≤(2mx(5hnD)=2( nax(s, 1na Dr≤2°
45 x + (−1)x =1x + (−1)x = 1+ (−1)x = 0x = ，有 (−1)x = −x . 以后把零元素 记为 0. 例 1. n R . 对 n R 中 x = ( ) n , , , 1 2 ， y = ( ) n , , , 1 2 n R 和 实数(复数) a ，定义 x + y = ( ) + + n +n , , , 1 1 2 2 ， a x = ( ) a a a n , , , 1 2 . 容易验证按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间. 例 2. Ca,b. 对 x, y Ca,b 和 数 a ，定义 (x + y)(t) = x(t)+ y(t)，(ax)(t) = ax(t) t a,b 则 Ca,b 按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般情况及有关约定见课本 P 193.1-7 行. 例 3. 空间 p l ( p 0). 设 x = ( , , , , ) 1 2 n 是实(复)数 列，若 k=1 p k ，则称数列 ( , , , , ) 1 2 n 是 p 次收敛数列. p 次收敛数列的全体记为 p l . 对 x = ( , , , , ) 1 2 n ， y = ( , , , , ) 1 2 n p l 和 aR 或 C ，定义 x + y = ( + + + +) n n , , , 1 1 2 2 ， a x = ( +) a a a n , , , 1 2 . 往证 x + y p l ，a x p l . 实因 p n +n ( ) p n + n ( ( )) p n n 2max , = p 2 ( ( )) p n n max , p 2
+.所以+n21:+Emr|0) 按上述加法和数乘运算成为线性空间 般场合及今后约定见课本P193.倒4-倒3行 设X是线性空间,YcX,Y≠Φ,若Vx,y∈Y及数a,有 x+y∈y,ax∈rY,则γ按X中加法和数乘运算也成为线性空间,称 为X的子空间. x和⑨}是x的两个子空间,称为平凡子空间 设 X a∈R或C,称 a,R,+a2x2 +…+anxn为向量x1,x2…,xn的一个线性组合.设 McX,M≠Φ,M中任意有限个向量线性组合全体记为SpmM, 称为由M张成的线性包 命题 Span是X的线性子空间,并且是X中包含M的最小线 性子空间.即若F是X中包含M的线性子空间,则必有F=SmM Def2.设x1,x2,…,xm是线性空间X中的向量,若在m个不全为 零的数a1a2, s. t a1x1+a2x2+……+anxn=0 则称x12x2…,x线性相关,否则称为线性无关 ,xn线性相关若a1x1+a2x2+…+anxn=0,则必有
46 ( ) p n p n + ，所以 = + n 1 p n n p 2 + = =1 n 1 p n p n n ， 所以 x + y p l . n=1 p a n = p a n=1 p n ，所以 a x p l . 所以 p l ( p 0) 按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般场合及今后约定见课本 P 193.倒 4-倒 3 行. 设 X 是线性空间， Y X ，Y ，若 x, y Y 及 数 a ，有 x + y Y ，ax Y ，则 Y 按 X 中加法和数乘运算也成为线性空间，称 为 X 的子空间. X 和 0 是 X 的两个子空间，称为平凡子空间. 设 m x , x , , x 1 2 X ，a a am , , , 1 2 R 或 C ，称 m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 为向量 m x , x , , x 1 2 的一个线性组合. 设 M X ， M ， M 中任意有限个向量线性组合全体记为 SpanM ， 称为由 M 张成的线性包. 命题 SpanM 是 X 的线性子空间，并且是 X 中包含 M 的最小线 性子空间. 即若 F 是 X 中包含 M 的线性子空间，则必有 F SpanM . Def 2. 设 m x , x , , x 1 2 是线性空间 X 中的向量，若在 m 个不全为 零的数 a a am , , , 1 2 ，s.t. m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 =0 (1) 则称 m x , x , , x 1 2 线性相关，否则称为线性无关. m x , x , , x 1 2 线性相关 若 m m a x + a x ++ a x 1 1 2 2 =0，则必有
1=a2= 0 Def3.设M是线性空间X的一个子集,如果M中任意有限个向 量都线性无关,则称M是X中线性无关子集.设M和N为X中两个 子集,若M中任何向量与N中任何向量都线性无关,则称M和N线 性无关 例如,在1P中,令日1=(100…),2=(010…),… M={1,e2…;en,…},则M是X中线性无关子集.令 M1=1,e3,…,e2n,…},M2={e2,e1,…,e2n…},则M和M2 线性无关 线性无关与线性相关与所取数域有关在实数域上线性无关的向 量组在复数域中可能线性相关 Def4.设X是线性空间,M是X中线性无关子集,如果 Span=X,则称M的基数为X的维数,记为dmX,M称为X的 组基.如果M的基数为有限数,则X是有限维线性空间,否则是无限 维线性空间如果X只含有零元素,则称X是零维线性空间 任何有限维线性空间的维数不随基的不同而改变 R空间标准基、C[ab]是无限维空间,均见课本P195.倒9-例20 第11次课 教学内容(或课题):§线线赋范空间和巴拿赫空间(1) 目的要求:掌握线性赋范空间、巴拿赫空间的基本概念,掌握由 范数诱导出的距离. 教学过程 Def1.设X是实(或复)的线性空间,若对每个x∈X,有一个
47 a1 = a2 == am = 0 . Def 3. 设 M 是线性空间 X 的一个子集，如果 M 中任意有限个向 量都线性无关，则称 M 是 X 中线性无关子集. 设 M 和 N 为 X 中两个 子集，若 M 中任何向量与 N 中任何向量都线性无关，则称 M 和 N 线 性无关. 例如，在 p l 中，令 (1,0,0, ) e1 = ， (0,1,0, ) e2 = ，; M = e1 ,e2 , ,en , ，则 M 是 X 中线性无关子集. 令 M1 = e1 ,e3 , ,e2n−1 , ，M2 = e2 ,e4 , ,e2n , ，则 M1 和 M2 线性无关 线性无关与线性相关与所取数域有关. 在实数域上线性无关的向 量组在复数域中可能线性相关. Def 4. 设 X 是线性空间， M 是 X 中线性无关子集，如果 SpanM = X ，则称 M 的基数为 X 的维数，记为 dim X ，M 称为 X 的一 组基. 如果 M 的基数为有限数，则 X 是有限维线性空间，否则是无限 维线性空间. 如果 X 只含有零元素，则称 X 是零维线性空间. 任何有限维线性空间的维数不随基的不同而改变. n R 空间标准基、 Ca,b 是无限维空间，均见课本 P 195.倒 9-例 20 行. 第 11 次课 教学内容(或课题)：§线线赋范空间和巴拿赫空间(1) 目的要求： 掌握线性赋范空间、巴拿赫空间的基本概念，掌握由 范数诱导出的距离. 教学过程： Def 1. 设 X 是实(或复)的线性空间，若对每个 x X ，有一个
确定的实数,记之为,与之对应,并且满足 1°|对20,并且=0x=0 2°ka=lc,其中a为任意实(或复)数 30|x+y≤+y,xy∈x, 则称叫为向量x的范数,称X按范数|成为线性赋范空间 设n}是x中点列,若存在x∈X,s.t.|x-划→0(→∞), 则称点列{xnm依范数收敛于x,记为mxn=x或xn→x 若令d(x,y)=kx-y(xy∈x),则由x-y≥0,知d(xy)≥0.由 x-y=0x=y,知d(xy)=0台x=y.又v∈X,由 x-y=x-二+二-川≤|x-+|y-,知d(x,y)≤d(x2=)+d(V,)于 是d(x,y)是X上的距离,且 点列{n}依范数收敛于x等价于按距离d(x,y)收敛于x.称d(x,y)为 由范数导出的距离.所以线性赋范空间实际上是一种特殊的度量空间 若d(xy)是由范数|导出的距离,即d(x,y)=x-川则该距离与 线性运算之间有某种关系,即对Vx,y∈X和va∈R或C,有 (a) d(x-y,o=d(x (b)d(ax,0)=ld(x:0) 反之,若X是线性空间,d(x,y)是X上的距离,且适合条件a)和(b)
48 确定的实数，记之为 x ，与之对应，并且满足： 0 1 x 0，并且 x =0 x =0; 0 2 x = x ，其中 为任意实(或复)数; 0 3 x + y x + y ， x, y X ， 则称 x 为向量 x 的范数，称 X 按范数 x 成为线性赋范空间. 设 n n=1 x 是 X 中点列，若存在 x X ，s.t. x x n − → 0 (n →)， 则称点列 n n=1 x 依范数收敛于 x ，记为 n n x → lim = x 或 x x n → (n →). 若令 d(x, y)= x − y (x, y X ) ，则由 x − y 0，知 d(x, y) 0. 由 x − y =0 x = y ，知 d(x, y) =0 x = y . 又 z X ，由 x − y = x − z + z − y x − z + y − z ，知 d(x, y) d(x,z)+ d(y,z). 于 是 d(x, y) 是 X 上的距离，且 点列 n n=1 x 依范数收敛于 x 等价于按距离 d(x, y) 收敛于 x . 称 d(x, y) 为 由范数导出的距离. 所以线性赋范空间实际上是一种特殊的度量空间. 若 d(x, y) 是由范数 x 导出的距离，即 d(x, y)= x − y . 则该距离与 线性运算之间有某种关系，即对 x, y X 和 R 或 C ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,0) ( ,0) ,0 , b d x d x a d x y d x y = − = (1) 反之，若 X 是线性空间， d(x, y) 是 X 上的距离，且适合条件 (a) 和 (b)
则一定可以在X上定义范数|,st.d(x,y)是由叫所导出的距离 实因令|=d(x0)即可 范数是x的连续函数实因由3°,得 =x-y+川≤-+y,|-≤|-球.将x与y交换,并利 用2°,得-|≤|y=x=(x-y)=-1x-y=x-,所以 ;-|y|x- (2) 于是,-叫≤|n-刈,从而 xn→x(→a)→|x→N 完备的线性赋范空间称为 Banach(巴拿赫)空间 例1.欧氏空间R",对每个x=(512,…,En)∈R",定义 =√|+5+…+k (3) 若令xy)--+V5-n1+2-n2+…+1n-mn =(n,n2…n)∈R,则d(x,y)为R"中欧几里得距离,且满足条件(a) 和(),由此可知是R"中的范数,又因R”完备,故R"按范数(3)成 为 Banach空间. 例2空间Cab,对每个x∈Cab,定义 =(0 (4) 则容易证明C女小按范数(4)成为 Banach空间 例3空间1”,对每个x=(,2…)∈1”,定义
49 则一定可以在 X 上定义范数 x ，s.t. d(x, y) 是由 x 所导出的距离. 实因令 x = d(x,0) 即可. 范数 x 是 x 的连续函数. 实因由 0 3 ，得 x = x − y + y x − y + y ， x - y x − y . 将 x 与 y 交换，并利 用 0 2 ，得 y - x y − x = − (x − y) = −1 x − y = x − y . 所以 x − y x − y . (2) 于是 x x n − x x n − ，从而 x → x(n →) x → x (n →) n n . 完备的线性赋范空间称为 Banach(巴拿赫)空间. 例 1. 欧氏空间 n R ，对每个 x = ( ) n , , , 1 2 n R ，定义 x = 2 2 1 + 2 ++ n . (3) 若令 d(x, y)= x − y = 2 2 1 −1 + 2 −2 ++ n −n ， y = ( ) n , , , 1 2 n R ，则 d(x, y) 为 n R 中欧几里得距离，且满足条件 (a) 和 (b) ，由此可知 x 是 n R 中的范数，又因 n R 完备，故 n R 按范数(3)成 为 Banach 空间. 例 2 空间 Ca,b ，对每个 x Ca,b ，定义 x = Max x(t) t a,b . (4) 则容易证明 Ca,b 按范数(4)成为 Banach 空间. 例 3 空间 l ，对每个 x = ( , , ) 1 2 l ，定义
1x=Sups,I 则/°按范数(5)成为 Banach空间 P207.2.设,6表示有界闭区间[ab]上右连续的有界变差函 数的全体,其线性运算为通常函数空间中的运算,在b]中定义范数 c=xa)+(x).证明:vb]是 Banach空间 证显然是线性空间.今证满足范数条件 =x(a)+(x)20及k=显然成立;|=0x(a)=0且 (x)=0对任一分划T:a=100,N∈N,s.t Vnm>N时,有p(xm,xn)=xn(a)-xn(a)+(xm-x)∞) 1)x()的右连续性:设M>0,因() x(t+△t
50 x = j j Sup . (5) 则 l 按范数(5)成为 Banach 空间. P 207.22. 设 Va,b 表示有界闭区间 a,b 上右连续的有界变差函 数的全体，其线性运算为通常函数空间中的运算，在 Va,b 中定义范数 x = x(a) V(x) b a + . 证明： Va,b 是 Banach 空间. 证 显然 Va,b 是线性空间. 今证 满足范数条件. x = x(a) V(x) b a + 0 及 x = x 显然成立; x =0 x(a) =0 且 V(x) b a =0 对任一分划 T ： 0 a = t 1 t 2 t t k = b ，成立 x(a) =0 及 ( ) ( ) = − − k i i i x t x t 1 1 =0 x(t) =0，t a,b ; x + y = (x + y)(a) + V(x y) b a + x(a) + y(a) + V(x) b a V(y) b a + = x + y . 最后证明 Va,b 的完备性. (x, y) = x(a)− y(a) + V(x y) b a − . 设 ( ) n n=1 x t 是 Va,b 中任一基本点列，则 0，N ，s.t. n,m N 时，有 ( ) m n x , x = xm (a)− xn (a) + ( ) m n b a V x − x . 容易证明 x (t) n 在 a,b 一致收敛，记 x (t) n n→ lim = x(t). 只要证明 x(t) Va,b，且 xn (t)− x(t) → 0 (n →). 1) x(t) 的右连续性：设 t 0，因 x(t)− x(t + t)
x()-x2()+x,()-xn(+△V)+x(+△)-x(+△),利用x()-致 收敛于x()以及xn(0)的右连续性,立即得到x()的右连续性 2)(x)0(→∞):因为x()是rb]中的基 本点列,故VE>0,丑N∈N,s.t.nm>N,有 xn()-x(a)+∑|xn()-x1()-xm(-)+x()≤-xN,令m→>∞,得 a)-x,(a)+∑k)-xn()-x-)+xn()≤E.故当n>N时,有 xn≤E 这就证明了x()∈vgb]及p(xn,x)→0(→∞).证毕 第12次课 教学内容(或课题):§8.线性赋范空间和 Banach空间(2) 目的要求:掌握 Holder不等式和 Minkowski不等式,借此二不 等式进一步认识一些 Banach空间. 教学过程 例生.空间L[ab] 设f(是[ab]上实值可测函数,p>0,若()是[b上的
51 x(t)− xn (t) + xn (t)− xn (t + t) + x (t t) x(t t) n + − + ，利用 x (t) n 一致 收敛于 x(t) 以及 x (t) n 的右连续性，立即得到 x(t) 的右连续性. 2) V(x) b a + 及 xn − x → 0 (n →) ：因为 x (t) n 是 Va,b 中的基 本点列，故 0，N ，s.t. n,m N ，有 xm (a)− xn (a) + ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − + − k i m i n i m i n i x t x t x t x t 1 1 1 n m x − x 对一 切分划 T 成立. 上式中固定 n N ，令 m→ ，得 x(a)− xn (a) + ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − + − k i i n i i n i x t x t x t x t 1 1 1 . 故当 n N 时，有 n x − x . 这就证明了 x(t) Va,b 及 (xn , x) → 0 (n →). 证毕. 第 12 次课 教学内容(或课题)：§8.线性赋范空间和 Banach 空间(2) 目的要求： 掌握 Holder 不等式和 Minkowski 不等式，借此二不 等式进一步认识一些 Banach 空间. 教学过程： 例 4. 空间 L a b p , . 设 f (t) 是 a,b 上实值可测函数， p 0，若 ( ) p f t 是 a,b 上的
Lebesgue可积函数,则称f()是[,b]上的p方可积函数.[ab]上的p 方可积函数全体记为L[ab] 设f()是[a,b上实值可测函数,P>0.如果|f(x)|是[a,b 上 Lebesgue可积函数,则称f(t)是[a,b]上P方可积函数,[a b]上P方可积函数全体记为L2[a,b],当P=1时,D[a,b]即为 [a,b]上 Lebesgue可积函数全体,在空间L[a,b]中,我们把两个 a.c.相等的函数视为L[a,b中同一个元素而不加以区别.设f, g∈L[a,b],因为 f(t)+g(t)≤(2max{l∫(t),g(t)}) ≤2|f(t)P+|g(t)”) 所以,f(t)+g(t)P是[a,b]上 Lebesgue可积函数,即∫+g∈L a,b].至于L"[a,b]关于数乘运算封闭是显见的,于是L[a,b 按函数通常的加法及数乘运算成为线性空间对每个f∈La,b], 定义 lfl2=( If(t)1d) 我们要证明当P≥1时,L[a,b]按f成为 Banach空间.为此 首先证明几个重要的不等式 引理1( Holder不等式,设p>1.+=1,∈DPa,b 9∈L[a,b],那末f(t)g(t)在a,b]上 Lebesgue可积,并且成立 ∫()g(t)张≤‖f,!glg 证明首先证明当P?=1时,对任何正数A及B, 有 A B AP B
52 Kebesgue 可积函数，则称 f (t) 是 a,b 上的 p 方可积函数. a,b 上的 p 方可积函数全体记为 L a b p ,
事实上,作辅助函数φ(t)=b-ct(00,在(1,+∞)上q (t)0,lg>0,作
53