第十章 定积分的应用 §1平面图形的面积 教学内容:平面图形面积的计算 教学目的:理解定积分的意义;学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 直角坐标系下平面图形的面积 由定积分的几何意义,连续曲线y=f(x)0与直线 =a,x=b(b>a),x轴所围成的曲边梯形的 面积为A=[f(x)x 若y=f(x)在[a,上不都是非负的,则所围成的面积为 A=5if(x)1dx 般的,有两条连续曲线1=1(x),y2=A2(x)及直线 =a,x=b(b>a)所围成的平面图形的面积为 A=][2(x)-f(x)]x A=[g2)-g10)
1 第 十 章 定 积 分 的 应 用 § 1 平 面 图 形 的 面 积 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 一． 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 与直线 轴所围成的曲边梯形的 面积为 若 在 上不都是非负的，则所围成的面积为 一般的，有两条连续曲线 及直线 所围成的平面图形的面积为
简单图形:x-型和Y-型平面图形 简单图形的面积:给出-型和Y-型平面图形的面积 公式.对由曲线 F(x)=0和(xy)=0围成的所谓“两线型”图形,介绍面积计算步骤 注意利用图形的几何特征 简化计算. 例1求抛物线 与直线x 所围的平面图形 的面积. 所给的区域不是一个规范的x-区域,如图需将其切成两块,即可化成x 形区域的面积问题
2 1． 简单图形： 型和 型平面图形 . 2． 简单图形的面积 : 给出 型和 型平面图形的面积 公式. 对由曲线 和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征 简化计算. 例 1 求抛物线 与直线 所围的平面图形 的面积. 所给的区域不是一个规范的 x-区域, 如图需将其切成两块, 即可化成 x- 形区域的面积问题
第一块的面积等于 int(2*sqrt(x)’,x’,0,1) ans =4/3 4 A1=[x-(√x)]ax=2]xix 第二块的面积等于 int(sqrt(x)-(x-3)/2,’x’,1,9) ans=28/3 28/3+4/3 ans 10.6667 A2= x-3 A=A1+A2=10 总面积 我们也可以把图形看成y-形区域计算其面积 int(-y2+2*y+3 1,3) ans=32/3 例2求由曲线x=1,x-y=0,x=2围成的平面图形的面积 例3求由抛物线y=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积 3.参数方程下曲边梯形的面积公式:设区间{ab]上的曲边梯形的曲边 由方程由参量方程表示 x=x(),y=y()a≤t≤8 且x(),y()在[a,上连续,a=xa),b=x(A,x()>0 (对于x(Q)<0或y(≠0的情况类似讨论) S=ly()1dx=ly(t)Ix(e)di 计算中,主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法 1)具体计算时常利用图形的几何特征
3 第一块的面积等于 int('2*sqrt(x)','x',0,1) ans = 4/3 第二块的面积等于 int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9) ans = 28/3 28/3+4/3 ans = 10.6667 总面积 我们也可以把图形看成 y-形区域计算其面积 int('-y^2+2*y+3','y',-1,3) ans = 32/3 例 2 求由曲线 围成的平面图形的面积. 例 3 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积. 3． 参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间 上的曲边梯形的曲边 由方程由参量方程表示 且 在 上连续， ， （对于 或 的情况类似讨论）。 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征
2)从参数方程x=x(),y=y()定义域的分析确定 例2求摆线 x=a(-sma),y=a(1-cos),a>0的一拱 与x轴所围的平面图形的面积 由图看出,t=0对应原点(0,0) t=27对应一拱的终点 ax,0所以其面积为 A=a(1-cos t[a(t-sin t)]at=a(1-cost)dt int(a2*(1-cos(t)2,0,2*pi) ans 3*pi=a 2 例2 求由曲线x=t-2,y=1-t2所围图形的面 积.(cd3) 由图看出,积分的上下限应为t从-1到1,其面积为 A=[x()y(=[t(1-t2)(42)dt 极坐标下平面图形的面积 2+△ 若曲线是极坐标方程 =r(日),a≤日≤8
4 2）从 参数方程 定义域的分析确定 例 2 求摆线 的一拱 与 x 轴所围的平面图形的面积 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 所以其面积为 int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi) ans = 3*pi*a^2 例 2 求由曲线 所围图形的面 积. (cd3) 由图看出, 积分的上下限应为 t 从 –1 到 1, 其面积为: 极坐标下平面图形的面积 : 若曲线是极坐标方程
=∑%∑r()△9 S=gr(0)de 和参数方程一样,极坐标情况 面积的计算主要困难是积分上下限 的确定。确定上下限方法通常也是 1)利用图象:2)分析r=(定义域 乐21r=g
5 和参数方程一样，极坐标情况 面积的计算主要困难是积分上下限 的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 定义域
g?( g() 例3求双扭线r2=a2co929所围成的平面图形的面积 90 6 270 6
6 例 3 求双扭线 所围成的平面图形的面积
解先看一下双纽线的图象, t=0:pi/50:2*pi r=sgrt(cos(2*t)) rl=real(r) 它由两支,因 r20=c82820→8[-4,x4,所以双扭线r2=a2cos2所围 成的平面图形的面积为 S=2×|r(d=|a2cos2d int( a 2*cos(2*x), -pi/4, pi/4) ans 例求曲线(x2+y3)2=2(x2-y2)与x2+y2>a2所围部分的面积 [例题演示 2三叶形曲线”=aam3(a>0双扭线r2=a2cos2所围成的平面图形 的面积(cd4(n)) t=0: pi/50: 2*pi; r=sin(3*t): rl=real(r) polar(t,rl,’r’) 150 0 270
7 解 先看一下双纽线的图象， t=0:pi/50:2*pi; r=sqrt(cos(2*t)); r1=real(r); polar(t,r1,'r') 它由两支，因 ，所以双扭线 所围 成的平面图形的面积为 int('a^2*cos(2*x)', -pi/4,pi/4) ans = a^2 例 求曲线 与 所围部分的面积 [例题演示] 2．三叶形曲线 双扭线 所围成的平面图形 的面积(cd4(n) ) t=0:pi/50:2*pi; r=sin(3*t); r1=real(r); polar(t,r1,'r')