§4定积分在的物理的某些应用 学习目标:能够运用定积分解决物理问题 学习要点:引力,变力沿直线所做的功 学习基础:分部积分法,换元法 1变力沿直线所作的功 从物理学知道,如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用,并且力F的 方向与物体运动的方向 致,那么,当物体移动了距离s时,力F对物体所作的功是W=F·s如果 物体在运动过程中所受到的力 是变化的,那么就遇到变力对物体作功的问题,下面通过例1说明如何计算变力 所作的功 例1把一个带电量为+q的点电荷放在γ轴的原点O处,它产生一个电场, 并对周围的电荷产生作用力 ,由物理学知道,如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为?的地 方,那么电场对它的作用力 F=k- 的大小为2(k是常数),如图,当这个单位正电荷在电场中从=a处 沿r轴移动到”=b(a<b处 时,计算电场力F对它所做得功 解在上述移动过程中,电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的,取 为积分变量,它的变化区间 为,,在上任取一小区间"+翊,当单位正电荷从γ移动到+d 时,电场力对它所作的功近
§4 定积分在的物理的某些应用 学习目标：能够运用定积分解决物理问题 学习要点：引力，变力沿直线所做的功 学习基础：分部积分法，换元法 1 变力沿直线所作的功 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F 作用，并且力 F 的 方向与物体运动的方向一 致，那么，当物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功是 如果 物体在运动过程中所受到的力 是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例 1 说明如何计算变力 所作的功 例 1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场， 并对周围的电荷产生作用力 ，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地 方，那么电场对它的作用力 的大小为 （ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处 沿 轴移动到 处 时，计算电场力 对它所做得功. 解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间 为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到 时，电场力对它所作的功近
dw=-do 似于r2,从而得功元素为 于是所求的为 如=(-3) 例2某水库的闸门形状为等腰梯形,它的两条底边各长10m和6m,高为20m 较长的底边与水面相齐, 计算闸门的一侧所受的水压力 解如图3.9.2以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作x轴,取x为 积分变量,它的变化范围为,20.在D,20]上任取一个小区间[,x+d叫],闸门 上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于9(/m3,这窄条的 长度近似为5,高度为dx,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为 df=or/1oa 就是压力元素,于是所求的压力为 g(10-fdz=g 5z2- 150=0(2000 3≈14373(
似于 ，从而得功元素为 于是所求的为 例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m 和6m,高为20m, 较长的底边与水面相齐， 计算闸门的一侧所受的水压力。 解 如图 3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为 积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门 上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于 ,这窄条的 长度近似为 ,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为 就是压力元素，于是所求的压力为
10m r+d 20m 6m 例3设有一根长度为、线密度为的均匀细直棒,在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为的质点 。试计算该棒对质点M的引力 解取坐标系如图3.9.3所示,使棒位于轴上,质点M位于x轴上,棒 的中点为原点O,取y为积分 变量,它的变化区间为 在 上任取一小区间[,y+d,把细直棒上相应于p,y+dy]的一 段近似的看成质点,其质量 为dy,与M相距”=√a+y 因此可以按照两质点间的引力计算公 式求出这段细直棒对质点M的 引力△F的大小为 mody +y2
例 3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点 。试计算该棒对质点 的引力 解 取坐标系如图 3.9.3 所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒 的中点为原点 ，取 为积分 变量，它的变化区间为 。 在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一 段近似的看成质点，其质量 为 ，与 相距 ， 因此 可以按照两质点间的引力计算公 式求出这段细直棒对质点 的 引力 的大小为
从而求出△F在水平方向分力△Fx的近似值,即细直棒对质点M的引力在 水平方向分力z的元素为 df=k amply 于是得到引力在水平方向的分力为 2Jen ol 上式中的负号表示Fz指向x轴的负向,又由对称性知,引力在铅直方向分 力为F=0 y+dy 平均值 内容概述:本节介绍函数的平均值求法 学习时数:2 学习目标:了解平均值的求法 学习要点:函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值 学习基础:微积分基本定理 函数的算术平均值
从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在 水平方向分力 的元素为 于是得到引力在水平方向的分力为 上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分 力为 平均值 内容概述：本节介绍函数的平均值求法 学习时数：2 学习目标：了解平均值的求法 学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值 学习基础：微积分基本定理 函数的算术平均值
在实际问题中,常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概 貌。例如,对某一零件的长度进行 次n测量,测得的值为y2vn。这时,可以用1y2yn的算术平均值 9、y1++…+n1 作为这一零件的长度的近似值。但是,在工程技术与自然科学中,有时还要 考虑一个连续函数f(x)在区 间四,上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率 就是这样的例子。下面就 来讨论如何规定即计算连续函数f(x)在区间[a,列上的平均值 先把区间四,分成n等分,设分点为 a=x0<x1<x2<…<xn=b 每个小区间的长度为 。设在这些分点处f(x) 的函数值依次为y2yn ,那么可以用1y2n的平均值 o+y1+y2+…+yn-1 来近似表达函数f(x)在,上所取的”一切值"的平均值,如果%取的比较大, 那么上述平均值就能比较确切 地表达函数∫(x)在,可上所取的″一切值"的平均值因此自然地,我们就称极
在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概 貌。例如，对某一零件的长度进行 次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值 作为这一零件的长度的近似值。但是，在工程技术与自然科学中，有时还要 考虑一个连续函数 在区 间 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率 就是这样的例子。下面就 来讨论如何规定即计算连续函数 在区间 上的平均值。 先把区间 分成 等分，设分点为 每个小区间的长度为 。设在这些分点处 的函数值依次为 ，那么可以用 的平均值 来近似表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值,如果 取的比较大, 那么上述平均值就能比较确切 地表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我们就称极 限
y+y1+…y y= lim 为函数∫(x)在区间p刭上的算术平均值(简称平均值).现在 y=1in骀+y+…+yn-1 %+y1+…+yn-1b-a 1∑ra1-1)△n b-aja /f()dr 因此得连续函数y=f(z)在区间上的平均值等于函数v(x)在区间 ,上的定积分除以区间a 的长度,即 请读者注意我们是怎样从有限多个数值的算术平均值的概念出发,演化出连 续函数在一个区间上的平均值 的定义的,其中关键之举是使用了极限方法 函数的加权平均值 我们以商业中的一个问题为例来讨论函数的加权平均 假设某商店销售某种商品,以每单位商品售价?1元,销售了4各单位商品,调 整价格后以每单位商品售 价P2元,销售了2个单位商品.那么,在整个销售过程中,这种上平的平均 售价为
为函数 在区间 上的算术平均值(简称平均值).现在 因此得连续函数 在区间 上的平均值 等于函数 在区间 上的定积分除以区间 的长度 , 即 请读者注意我们是怎样从有限多个数值的算术平均值的概念出发,演化出连 续函数在一个区间上的平均值 的定义的,其中关键之举是使用了极限方法. 函数的加权平均值 我们以商业中的一个问题为例来讨论函数的加权平均. 假设某商店销售某种商品,以每单位商品售价 元,销售了 各单位商品,调 整价格后以每单位商品售 价 元, 销售了 个单位商品. 那么,在整个销售过程中, 这种上平的平均 售价为
P11+2q2 1+92(元) 这种平均成为加权平均.一般地设1y”"为实数,和,k2”,知n>0,称 为1y1+k2+…+knyn 十k2+…+knyn 为y2“n关于均,k2,“n的加权平均值,其中1y2”,yn称为资料数 据码,和2…,称为权数 当=1(=1,2,“y)时,加权平均就是算术平均 现在我们讨论连续变量的情形.假设某商店销售某种商品,在时间段 2内,该商品的售价与单位 时间内的销售量都与时间有关.如果已知在时刻时,售价P=p(t),单位时 间内的销售量=q(t),那么 如何计算这种商品在时间段21,x2]上的平均售价呢?下面我们用元素法分析 并且给出他的计算方法 在区间,2]上任取一小区间+d,在这短暂的时间间隔内,这种商 品的售价近似于p(t),销售 的数量近似于(t)dt,因此,在这段短暂的时间间隔内,销售这种商品所得到 的收益近似于 (t)a(t dt 这就是在t,t+d这段时间内销售这种商品所得收益的元素 dR=p(t)at)dt 于是,在,2]这段时间内销售这种商品的总收益与销售总量分别为
(元) 这种平均成为加权平均. 一般地设 为实数, ,称 为 关于 的加权平均值,其中 称为资料数 据 称为权数. 当 时, 加权平均就是算术平均。 现在我们讨论连续变量的情形. 假设某商店销售某种商品, 在时间段 内, 该商品的售价与单位 时间内的销售量都与时间有关. 如果已知在时刻 时, 售价 , 单位时 间内的销售量 , 那么 如何计算这种商品在时间段 上的平均售价呢? 下面我们用元素法分析, 并且给出他的计算方法. 在区间 上任取一小区间 . 在这短暂的时间间隔内, 这种商 品的售价近似于 , 销售 的数量近似于 , 因此, 在这段短暂的时间间隔内, 销售这种商品所得到 的收益近似于 这就是在 这段时间内销售这种商品所得收益的元素 于是, 在 这段时间内销售这种商品的总收益与销售总量分别为
l-p(t)a(t)dt 从而这段时间内这种商品的平均售价为 fra(t) 一般地,如果f(x)∈Cp,u(x)∈C[a,,且(x)≥0(u(x)≠0)·那么 Sf(w(r) So(ae)dz 成为函数f(x)关于权数(x)在区间,上的加权平均值 若令山≡1,加权平均就变成了算术平均
与 从而这段时间内这种商品的平均售价为 一般地,如果 , , 且 那么 成为函数 关于权数 在区间 上的加权平均值. 若令 , 加权平均就变成了算术平均