§2柯西中值定理和不等式极限 柯西中值定理 定理(6.5)设∫(x)、g(x)满足 i)在区间[a,6上连续, (i)在(a,b)内可导 i)f(x),g(x)不同时为零 (iy)g(O)≠g(a) 则至少存在一点5∈(a,b)使得 f(b)-f(a)y"() gb-g(a) g(E) 柯西中值定理的几何意义 曲线AB由参数方程 X=f(x) ∈[a,b] =g(x) 给出,除端点外处处有不垂直于X轴的切线, 则AB上存在一点P处的切线平行于割线AB
§2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、 满足 (i) 在区间 上连续， (ii) 在 内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线 由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线， 则 上存在一点 P 处的切线平行于割线
注意曲线AB在点(,处的切线的斜率为 dx g(=) X=F(x) B A °|F(a)P()F(x) F(52)F(b) X 而弦AB的斜率为 f()-f(a) ()-g(a) 受此启发,可以得出柯西中值定理的证明如下: 由于9()-9(a)=9(m)(b-a)≠0, 类似于拉格朗日中值定理的证明,作一辅助函数 p(s)=f(r)-f(a g(a)-g(] 容易验证p(x)满足罗尔定理的条件且
注意曲线 AB 在点 处的切线的斜率为 ， 而弦 的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于 ， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且
f()-f(a) 8()-(a)(x) 根据罗尔定理,至少有一点∈(ab)使得φ()=0,即 fe)-f(b)-f(a) 9(b)-s(a)s()=0 由此得 f()-f(a)f∈) 9(6)-s(a)g() 注2:在柯西中值定理中,取(x)=x,则公式(3)可写成 f(6)-f(a) b-a 这正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令f()=f(),则 f()=0.这恰恰是罗尔定理 注3:设∫(x)在区间上连续,则fx)在区间I上为常数→f(x)=0, x∈I 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点:由拉格朗日中值定理知:满足定理条件的曲线上任意两点的弦,必与 两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题 例1:设∫(∞)在(a,b)可导,且∫(x)在[a,b]上严格递增,若 f(a)=f(b),则对一切 x∈(a,b)有f(x)<f(a)=f(b) 证明:记A(a,(a),B(b,f(),对任意的x∈a,),记C(xf(x) 作弦线AB,BC,应用拉格
根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即 由此得 注 2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注 3:设 在区间 I 上连续，则 在区间 I 上为常数 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与 两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例 1：设 在 （a ，b） 可导，且 在 [a，b] 上严格递增，若 ，则对一切 有 。 证明：记 A（ ）， ，对任意的 x ，记 C（ ）， 作弦线 AB，BC，应用拉格
朗日中值定理,35∈(a,2x,n∈(xb),使得f"().f(m)分别等于AC,BC弦的斜率, 但因严格递增,所以 f(2)<∫"(m),从而 f(x)-f(a) fob)-f(x) b-x 注意到∫(a)=J(),移项即得(x)<J(a)=J(),x∈(ab 2、利用其有限增量公式 要点:借助于不同的辅助函数,可由有限增量公式 fb-f(a=f'a(b-a,se(a, b) 进行思考解题: 例2:设(x)上连续,在(a,b)内有二阶导数,试证存在C∈(ab)使得 Jf()-2f(--)+f(a) 证:上式左端 b b J(b)-2()+f(a)=[f(b)-f()-[f()-f(a) a+b (a 2 f(a)] 作辅助函数 b 则上式 +b )-g(a)=g() a)=g'( ∈
朗日中值定理， 使得 分别等于 AC，BC 弦的斜率， 但因 严格递增，所以 ＜ ，从而 ＜ 注意到 ，移项即得 ＜ ， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例 2：设 上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在 使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =
[∫(+=-4)-f"() J"( b-ab-a ee(0, 1 (b c=l+日 (a,b) 其中 3、作为函数的变形 要点:若∫(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可微,则在[a,b]上 fx)=f(x0)-((x-x0)(5介于x与 x0之间) 此可视为函数f(x)的一种变形,它给出了函数与导数的一种关系,我们可以 用它来研究函数的性质 例3设(x)在[0+)上可导,f(=0,并设有实数A>0,使得() A|f(x)在[0+∞) 成立,试证f(x)=0,x∈D,+) 证明:()在,24]上连续,故存在少 A]使得 Inax 1f(x)1≤(x 于是M ()=o+f(6k-)1(x≤e)lx≤
= ，其中 3、作为函数的变形 要点：若 在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （ 介于 与 之间） 此可视为函数 的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以 用它来研究函数的性质。 例 3 设 在 上可导， ，并设有实数 A＞0，使得 ≤ 在 上 成立，试证 证明 ： 在[0， ]上连续，故存在 ] 使得 = =M 于是 M= ≤A ≤ ≤
故M=0,f(x)在[0,2A]上恒为0。用数学归纳法,可证在一切[2A2A] (i=1,2,…)上恒有 所以 利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1.证明中值点的存在性 例1设函数/在区间[a上连续,在(ab)内可导,则 32∈(a,b) 使得 f()-f(a) AIn 证在 Cauch中值定理中取g(x)=lnx. 例2设函数在区间[a上连续,在(ab内可导,且有 f(a=f(b)=0 试证明:3∈(a,b),3f(5)-f()=0 2.证明恒等式: 例3证明:对Vx∈卫,有 =0 例4设函数/和吕可导且()≠0,又 则g(x)=(x) 证明
故 M=0， 在[0， ] 上恒为 0。用数学归纳法，可证在一切[ ] （ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以 =0, 。 利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得 . 证 在 Cauchy 中值定理中取 . 例 2 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 且有 . 试证明: . 2. 证明恒等式: 例 3 证明: 对 , 有 . 例 4 设函数 和 可导且 又 则 . 证明
例5 令设对x且,有(x+)-f(x)≤M,其中M是正 常 则函数f(x)是常值函数 (证明J=0). 证明不等式 0时,1+h 例7证明不等式:对n,有+1如(1+ 4.证明方程根的存在性: 证明方程aix+xcxX=0在(07)内有实根 例8证明方程4ax2+3bx2+2x=a+b+c在(0,1)内有实根. 四、小结 本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性;难点是用辅 助函数解决问题的方法。 1°拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要 指拉格朗日中值定理,它 的特例是罗尔定理,它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理 拉格朗日中值定理是沟通 函数及其导数的桥梁,是数学分析的重要定理之一。 2°构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上,辅助函数 法是转化问题的一种重要手
例 5 设对 , 有 , 其中 是正 常数. 则函数 是常值函数. (证明 ). 3. 证明不等式: 例 6 证明不等式: 时, . 例 7 证明不等式: 对 ，有 . 4. 证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根. 例 8 证明方程 在 内有实根. 四 、小结 本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅 助函数解决问题的方法。 1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要 指拉格朗日中值定理，它 的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。 拉格朗日中值定理是沟通 函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。 2° 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数 法是转化问题的一种重要手
段,通过巧妙地数学变换,将一般问题化为特殊问题,将复杂问题化为简单 问题,这种论证思想也是数 学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函 数问题,请同学们结合第 部分的题目仔细体会总结 二不定式的极限 型 定理6.6(L' Hospital法则)若函数f(x)和8(满足: f(x)= lim g(x)=0 (i)在点的某空心邻域内而这可导,且g(x)≠0 f(x) =A (A (iii) hg(x) 可为实数,也可为00) f(x x→区(x) (证) 注意:若将定理中的x换成x→对,x→x,x→1,x→0,只要相 应地求证条件(ii)中的 邻域,也可以得到同样的结论。 1+cos x 例
段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单 问题，这种论证思想也是数 学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函 数问题，请同学们结合第三 部分的题目仔细体会总结。 二 不定式的极限 一. 型: 定理 6.6 ( Hospital 法则 ) 若函数 和 满足： (i) (ii) 在点 的某空心邻域内而这可导，且 ； (iii) 可为实数，也可为 ） 则 ( 证 ) 注意: 若将定理中的 x 换成 ，只要相 应地求证条件(ii)中的 邻域，也可以得到同样的结论。 例 1
(1+2x) 例2 (作代换t=√或利用等价无穷小代换直接计 算.) 例!岛、 sin x L' Hospital法则失效的例) C型不定式极限: 定理6.7(L' Hospital法则)若函数f(x)和g(x)满足: lm f(x)= lim g(x)=oo (i)在点的某右邻域内二这可导,且g(x≠0 g =A (A 可为实数,也可为00) lim y(a) A *3 g(x) X (a>0) 例5 例6 关于,x“,x当x→+0时的阶 x=5:0.1:50;y1=log(x
例 2 . 例 3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计 算. ) 例 4 . ( Hospital 法则失效的例 ) 二. 型不定式 极限: 定理 6.7 ( Hospital 法则 ) 若函数 和 满足： (i) (ii) 在点 的某右邻域内二这可导，且 ； (iii) 可为实数，也可为 ） 则 例 5 . 例 6 . 註: 关于 当 时的阶. x=5:0.1:50; y1=log(x);
2=x.(1/2) plot(x, yl, 'b, x, y2, m 右图看出x4高于1gx clf,x=1:0.1:5; yl=exp(x) plot(x,y1,"b’,x,y2,’m‘) 右图看出 高于
y2=x.^(1/2); plot(x,y1,'b',x,y2,'m') 右图看出 高于 clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.^2; plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘) 右图看出 高于