§2不定积分的计算 不定积分的计算(1) 教学内容:第一换元积分法(凑公式法)分部积分法 要求:掌握凑公式法的技巧和方法 掌握分部积分中,"的选取原则和技巧 难点:分部积分中,的选取原则和技巧 不定积分的计算一般由三种方法: 1)凑公式法 2)部积分法 2)第二变量替换法 今天讲前两种方法: 第一类换元法一一凑公式法 d sin2x= 5sin +2xd sin 2x 2x(sin 2x)dx =10sn·2xcos2xax 10sin 2xcos 2xdx 2x(sin 2x)'dx sin 42xd sin 2x udu=u'5 tc 引出凑公式法 定理 若JJ(x)ax=F(x)+c, x)连续可导,则 ∫)(0=F()+c
§2 不定积分的计算 不定积分的计算（1） 教学内容：第一换元积分法（凑公式法） 分部积分法 要 求：掌握凑公式法的技巧和方法 掌握分部积分中 的选取原则和技巧 难 点：分部积分中 的选取原则和技巧 不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法 今天讲前两种方法： 一 第一类换元法 ——凑公式法 引出凑公式法: 定理 若 连续可导, 则
该定理可叙述为:若函数g()能分解为g()=几)1()则有 ∫g=几如0=)) f(x)ax=F(x)+c=[()]+c 凑公式法:表面看J(x)ar 不符合基本积分公式,但作变换,令 (x)=,]f(x)=g(h ,而」g(x)d 符合基本积分公式。 x sin xdx 例 但作变换,令x=2后 xsin xax=l cosx+c 例2 不符合基本积分公式,稍微变换一下 令 arct 例 sec xdx 不符合基本积分公式,但用三角函数公式整理 ∫k a(sin x 231+sin x 令 后,化成 1..1+x )du=hn I C=-In
该定理可叙述为： 若函数 能分解为 则有 . 凑公式法： 表面看 不符合基本积分公式，但作变换，令 后 ，而 符合基本积分公式。 例 1 但作变换，令 后 例 2 不符合基本积分公式，稍微变换一下 ＝ ， 令 例 3 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整理 令 后，化成
凑公式法的关键是设法把f(x)kx凑成g(91x)d(x)的形式,使 Jg)符合基木积分公式。 分部积分 我们讲导数时,知道 Lu(xv(x)]=u(xv(x)+u(xv'(x) 从而有 u(xjv(x)=u' (xjv(x)dx+u(xyv'(x)dx 移项得 Ju(x)v(x)dx=u(x))v(x)-u'(x)v(x)dx 或 u(x)dv(x)dx=u(x)v(x)-v()du(x) 我们称这个公式为分部积分公式。 (xv'(x)dx 不容易积分,但」2(x(x)ax容易积分时,我们就可 以用分部积分把不容易积分 的J(xn(xah 计算出来 例4 若令2=x,V=3x=y=如m 代入分部积分公式 xcos xdx= xsin x- sin xdx= xsin x+cosx+ 但若令 =cx,y=x→v=x2,代入分部积分公式
凑公式法的关键是设法把 凑成 的形式，使 符合基本积分公式。 二 分部积分 我们讲导数时，知道 从而有 移项得 或 我们称这个公式为分部积分公式。 当 不容易积分，但 容易积分时，我们就可 以用分部积分把不容易积分 的 计算出来 例 4 若令 ， 代入分部积分公式 但若令 ， 代入分部积分公式
xcos xdx=-cos x+ 这比原积分还复杂,由此可知,在用分部积分公式时,u,v的选择不是随意 的,那个作u,那个作V ,应适当选取,否则有可能计算很复杂甚至计算不出来 分析分部积分公式,我们可总结出下面一个原则 般应把(相比之下)容易积分,积分后比较简单的函数作为v,积分较 难或积分后比较复杂的函数 作为。 xin xax 例4 相比之下显然,x容易积分,所以取 =hnx,y=x→ν=x2/2 xIn xdx=x C 分部积分公式也可以连续用多次 x2 例5 积分是它本身,x积分是x2相比之下,e容易积分,应选 X=2e xe dx 再用一次分部积分公式 Jxe dx=xe-2(xe - dx)(x2-2x+2)e*+C
这比原积分还复杂，由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意 的，那个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。 分析分部积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 ，积分较 难或积分后比较复杂的函数 作为 。 例 4 相比之下显然， 容易积分，所以取 分部积分公式也可以连续用多次 例 5 积分是它本身， 积分是 相比之下， 容易积分，应选 ， 再用一次分部积分公式
例6 e,COsx二者积分难度相当,随意取那个作u都可,比如取= cos bx =e代入分部积分公式 ∫∞csba=ecbx+je“snbx 再分部积分一次 -e cosbx+-[-ea sin bx-=ea cosbx 出现循环,将上式最后一项移到左端合并整理 +)J°c=(-cosx+2ambx 分部积分使用的类型:一般说下面类型的不定积分 ∫x1g”x,Jx, Jx sin bxa, x c> 等常用分部积分来计算。 习题课(凑公式法和分部积分法) 1常用的几种凑公式法 凑法1J(ax+b)x=-f(ax+b)(ax+b)=-f(a)h
例 6 二者积分难度相当，随意取那个作 u 都可，比如取 代入分部积分公式 再分部积分一次 出现循环，将上式最后一项移到左端合并整理 分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 等常用分部积分来计算。 习题课(凑公式法和分部积分法) 1 常用的几种凑公式法 凑法 1
sin xdx=-(1-cos x)dx=.=-(x--sin 2x) 例1 d arct C 例212+x2 2 x+1 actg x2+2x+3J2+(x+1) 例4 4/x+3+c 由例1-4知,常可用初等化简把被积函数化为f(ax+b)型,然后用凑法1 dx 例5(1) 4+x105]4 2arctg+c x J= 凑法2 特别地,有 f(x )xdx=-f(xd(x=-f(u)au 和 2(x√
例 1 例 2 例 3 例 4 由例 1-4 知，常可用初等化简把被积函数化为 型，然后用凑法 1. 例 5 ⑴ . ⑵ . 凑法 2 . 特别地, 有 和
例6 Jasin x2ax 例7 2 arcsin√x+c 例8 x(1-x) 1rd(x2)22 二二一 例9Jx(x2+1Jx2(x2+)21x2(x2+ n n 凑法3f(mx) cos xdx=J(smnx)danx=J(a)h, f(cos x)sin xdx=-f(cos xd cos x=-f(udu f(tgr)sec xdx= f(tgxdtgx=f(u)du xcos xdX sin'xdx 例10(1) 11+sin x sec xdx +c 例11 B5i]12 ]sec xdx=(1+tgxfdtgx= 例13 xsec xdx=tg'xsecd sec x=(secx-1,secd x= 凑法4 f(e" dx=f(e)de"= f(u)ds 例15 f(n x)-=f(n x)dIn x=f(u)du 凑法5
例 6 . 例 7 例 8 . 例 9 = . 凑法 3 例 10 ⑴ ⑵ 例 11 例 12 . 例 13 凑法 4 . 例 15 凑法 5
例16 x(1+2nx) f(arcsin x dx =f(arcsin xd arcsin x= f(u)du 凑法6 f(arctgx) dx= f(arctgrdarctgx= f(u)da 1+ actg adx arced t-x arctan 1+t2 2arctgtdarctgt=(arctii)2+c=(arct/x) 其他凑法举例 (e+e) In x+1 d(xIn x) 例19 (xIn x) sec xdx sec x(sec x+tgx) dx sec" xt sec xtg sec x+tgx sec x+tg d(sec x +tgr) In sec x+tgx sec x+tgx cos x+sin x
例 16 凑法 6 . 例 17 . 其他凑法举例: 例 18 . 例 19 例 20 . 例 21
osx+sin x sn x+cos x dx +2 例23 X 例24 x2+2x+2 二使用分部积分公式的一般原则 1.幂X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函 数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用 其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂x”型的积分,使用分部积分 法可使“幂”降次,或对 “x”求导以使其成为代数函数 xIn xdx 例 (幂对搭配) 例26 xcos xar (幂三搭 配)
例 22 . 例 23 例 24 . 二 使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函 数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用 其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂 ”型的积分, 使用分部积分 法可使“幂”降次, 或对 “ ”求导以使其成为代数函数. 例 25 (幂对搭配) 例 26 (幂三搭 配)
xe"d 例27 (幂指搭 配) 例29 (幂指搭配) 例 xarctgxdx 例31 (幂反搭 cos xdx 例 2建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是:对被 积函两因子之一求导,进行分部 积分若干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关于原 积分的一个方程.从该方程中 解出原积分来. 例33 sin xd e“ cos bxdx 例3 求 和 42= jasin bxdx,(a≠0) 11=ecos bx+-12 解
例 27 (幂指搭 配) 例 29 (幂指搭配) 例 3 例 31 (幂反搭 配) 例 32 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被 积函两因子之一求导, 进行分部 积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原 积分的一个方程. 从该方程中 解出原积分来. 例 33 例 34 求 和 解