第29次课 教学内容(或课题):§1.谱的概念 目的要求:掌握谱的概念 教学过程: 第九章巴拿赫空间中的基本定理 本章将介绍 Banach空间中的四个著名定理:Hahn- Banach 泛函延拓定理,一致有界性定理,逆算子定理和闭图象定理,这些 定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用 第上章线性算子的谱 谱论是泛函分析的重要分之一.从《线性代数》课程中可 知:有限维空间上的线性算子由它的特征值和最小多项式完全确 定,将这一结论推厂到有界线性算子的情况,研究它的结构,就是 算子的谱理论,特征值的概念将相应地扩展为“谱”,由于特征值 和逆算子有密切关系,谱论也大量涉及逆算子的问题,将算子求 逆应用到微分算子和积分算子上,推动了微分方程和积分方程的 发展
44 第 29 次课 教学内容(或课题)： §1.谱的概念 目的要求： 掌握谱的概念. 教学过程：
§1.谱的概念 考竅n个未知数的线性方程组 Cin=y ,t …十 它对应系数矩阵A=(a,).记x(x,x,…,xn),y=(31,2,…,), 则上述方程表示n维空间E上的线性算子AAx=3.对复数A, 若存在x=0,使4x=Ax,则称λ是A的特征值.它意味着(A A)x=0有非零解,即算f(A-)不存在逆算子.因此,我们为 了弄清算子A的特征值,必须考察算子(A-4)是否有逆算子的 问题 现在我们转向讨论无限维的情形 定义】设X是赋范空间,T∈(X→X),若T-1存在且是
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定义在整个X上的有界线性算子,则称T是X上的正则算子 关于正则算子有以下的简单性质 1°T是正则算子的充要条件是存在有算子B∈(X→x), 使得 BT=TB=I,Ⅰ是恒等算子 只须证充分性,事实上,若Tz=0,则x=BTx=0,故T是 对一的.对任何yX,因 fa=TBy=y,(令By=x),故T的值城 充满X,即T存在定义在整个X上的T:T1=B,这就证明了T 的正则性 2°若A、B是正则算子,则T=AB也是正则算子,且(AB)1 =BA.这只要验证定义立即可得. 定义2设m∈:(X→,A是一复数,若(T-A正则,我 们称入是算子T的正则点T的正则点全体称为T的正則集或豫 解集,记为P(T).不是正则点的复数称为T的谱点,其全体构成 T的谱,记为0(T) 定义3(谱的分类)设在(T),即T-不存在有界逆算 子,可分三种情况 (1)如果T-不是一对一,此时存在xX、x与0,使(T AD)x=0,即Tx=Ax,这时称是算子T的特征值,z称为相应 于特征值λ的特征向量.T的特征值全体称为T的点谱,记为 a (r) (2)(T-AD是一对一的,但值城不充满全空间 (3)(-MD是X到X上的一对一算于,但(-n)1不是有 界的, (2)(3)两类谱点合称为T的连续谱,记为oc(T) 由逆算子定理可知,当X是 Banach空间时,(3)不会出现这 时()只有(1)、(2)两类
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下面举一些例子 例1设T是有限维空间E上线性算子,则(T)=σ(T) 因为B是 Banach空间,(3)不会发生.现在只须证,如果λ 不是特征值,TI的值域一定充满X,即(2)也不会发生,设x, x2,…,xn是E的基,可以证明 2,- (T-A) 也是线性无关的 事实上,若存在n个复数A,A2,…,λn,使 >a,(t-AI)==0, 即 T一AI) 由于(-AI)是一对一的,即知∑ar;=0.这就证明了{( AD)x4}是线性无关的.所以 span{(7-A)x,…,(T-1)xm}=E", 即?一M是映照“到上”的 例2(单向移位算子)设X=12,其中元素x为 线性算子S定义为 Sx=S(51,52,…,…,…) 我们称S为单向移位箅子.这时可证(8)= 先看λ=0的情形.这时由Sx=(0,5,52,…,5n,…)=0,立 即可知=2=…=n=…=0.若λ=0,从(S-AI)x=0及 (8-A)(51,21…,n,…)
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(41,1,…, (-2 可知 即x=0,这就证明了(8)=0 不难看出:算子S的值域不会充满l,因为Sx的第一个坐标 都是0,故0∈σc(S) 例3设2°是1中只有有限个坐标不为0的数列全体.线 性算子T定义如下 对x=(x1,x2,…,,…)∈Z,令Tx= 然T-1存在,且 T-1的定义域是l,T1作为l°上的线性算子是无界的,事实上, Irl|= sup T-'x」≥ :"en =(0,0,…,n,0,0,…)l=乳 其中巳。={0,0,…,0,1,0,…).因此0是T的第三类谱点。 1个 例4取E=C[a,b],设K(s,t)=∑f()94(t),且f,f, = …,fn在E中线性无关,定义算子A如下: Az)(s)=K(s, t)z(t)di 求A的特征值应满足的条件 0,意味着 ar(s) 4.(t)z(t)d]f,(s)=0. (2) 当A=0时,上式有非零解的充要条件是存在x(t)0,但
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(t)r(t)砒=0,k=I,2,…, 当0时,容易看出(2)式的任何解x()必可表示为下列形 式 x(s)=∑af(s) 将它代入(2)式,即得 ap f(s) 92(t)r(t)dt:(s) 由于f1,f2,…,f;是线性无关的,即可知 Aap=g, (t)r(t)dt. 这说明,λ是算子A的特征值的充要条件是存在x(t)与0,能 满足(3)式
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§2.有界线性算子谱的基本性质 无限维空间上线性有界算子的谱已不再限于特征值,情况较 有限维情形要复杂得多,但是还是有一些基本性质可以得出.这 节涉及的空间X均指 Banach空间 定理1设T∈(X→>x),T<1,則1P(T).这时I- 有定义在全空间上的有界逆算子: (1-7)=∑T=1+T+P2+…+T+… 这里的级数按(X→X)中范数收敛 证因为T2≤72,故||≤‖,但!]<1,必有 2"<∞,所以∑T“<∞,故∑T一致收做于某有界算 子S(按(X→X)中范数收敛),下面验证S确实是(I-T)的逆
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算子 (I-T)(+T+…T)=(I+T+T2+…+T) (T+T2+…+T+) I-T 令n→∞,则T+≤T1-0因<1,故可知∑7*是I-T 的右逆,同理可知共为左逆.这就证明了S=(I-T).证毕 定理2(谱集的闭性)设T∈始(X→X),则p(T)是开集 (T)是闭集. 证若p(T)=必,则p(T)自然是开集.(定理3将证明:有 界线性算子的谱,不会超过它的范数,即∈(T),则A4≤|,因 此这种情形实际上不会发生) 若p(T)非空,设A∈0(T).对任意的复数λ,有恒等式: T-dI=T-aI-(A-do) =(T-An1)[-(T-A)(λ-A)] 现在考I-(T-A0)-(A-A),由AP(T),(T一0T)是有界 算子,且非零.如果|A-101<(T-n)-1-,则(7-42)(元一 l){<1,由定理1知 [I-(T-0)(4-10)] 有逆V1,于是 (T-a1)=(T-AoI)v. 右边两项均存在有界逆算子,故(T—D)也有逆: (T-4)=V-1(r-401)1 这就证明了,若λn∈p(T),则存在A的邻域 U(A0)={14-<T-AD), U(HoC(T) 由于λ6是任取的,故p(T)为开集,因而σ(T)为闭集.证毕
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定理3设T∈闭(X→X),则q(T)是有界闭集,且当a(T) 时有1≤T,由此可知(T)非空 证我们只须证当|>T时都是T的正则点,这时|1 T,故(m)非空.并由此知 (T)C{}列≤T} 结合定理2的结果,即知a()是有界闭集.证毕. 线性有界算子的谱还有许多重要的性质,例如谱集非空 uplλ=lim,以及谱映照定理等等,限于篇幅,不能在这 里一一叙述了 §3.紧集和全连续算予 为了把谱论应用于积分方程,我们要介绍一种全连续算子.它 的定义,又涉及到紧集的概念 定义1(紧集和相对紧集)设X是度量空间,M是X中子集 如果对M中任何点列xn}都存在子列xn}=收敛于M中 元素x,则称M是紧集,如果X中子集N的闭包N是紧集,则称 N是相对紧集 例1有限维欧氏空间中的有界闭集都是紧集,有界集则是相 对紧集.这由有界点列必有收敛子列的魏尔斯脱拉斯定理立即可 得 例222中的单位球{x1z]≤1,l2}不是紧集
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这时,只须取l2的基向量e=(0,0,…,0,1,0,…).显然,卩e;!=1, k 无=1,2,3,…故{ek}是有界集.但是{ek}中的两个不同元素之 间的距离为es-e,=√12+12=√2.因此其中不存在任何收 敛子列.出于单位球是闭集,所以也不是相对紧集 这说明,在无限维空间,有界集不一定是紧集 定义2(全连续算子)设X和F是线性赋范空间,T是x到 Y的线性算子.如果对X的任何有界子集M,TM都是F中相对 紧集,则称T为全连续算了,亦称紧算子 容易看出,T是全连续算子的充要条件是:设{x}=1是x中 的有界点列,则{Tx}n=:必有收敛予列 例3设K(s,1)=∑gA(t)f(s),其中f,g∈L[a,6] {9n}是线性无关的.定义 (4)(t)=K(,1)q()da,q∈L[a,b 则A是全连续算子。 证由于 (4g)(t) g2(t)f(8)(s)d ∫(s)p(s)ds94(t) 我们可知算子A的值域是由9,…,9n所张成的有限维子空间F 任给L2[a,b]中有界集M,容易看出A是有界算子,故AM 是F巾有界集.因F是有限维空间,它的有界集都是相对紧的,故 AM为相对紧集,证毕 定理1设{丌n}n1是X到Y上的全连续算子列,Y是B 空间,而且-T其*0,则T也是全连续算子
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