第四章第二节 方差
第四章第二节 方 差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期 望,它体现了随机变量取值的平均水平, 是随机变量的一个重要的数字特征 但是在一些场合,仅仅知道平均值是 不够的
上一讲我们介绍了随机变量的数学期 望，它体现了随机变量取值的平均水平， 是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的
例如,某零件的真实长度为a,现用甲、 乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐 标上的点表示如图: 测量结果的甲仪器测量结果 均值都是a 较好 乙仪器测量结果 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣,你认为哪台仪器好一些呢? 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？ a •••• • •• ••• 乙仪器测量结果 a • • • • • •• • • • 甲仪器测量结果 较好 测量结果的 均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹,其落点距目标的位置如图: 乙较好 甲炮射击结果 乙炮射击结果一 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 中心 中心
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差
设X是一个随机变量,若EXE(X2<∞, 则称War(X)=EXE(A)2 为X的方差 采用平方是为了保证一切 注:有的书上差值xE都起正面的作用 记作D(X) 由于它与X具有相同的度量单位,在实 际问题中经常使用
一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实 际问题中经常使用. 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2 }<∞， 则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1) 为X的方差. 注：有的书上 记作D(X)
Var(=EIX-E(X 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 若X的取值比较集中,则方差较小; 若X的取值比较分散,则方差较大 若方差Ir(X=0,则rv.X以概率1取常数值
若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度. 若X的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E[X-E(X)]2
由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X=[XE(XP的数学期望 X为离散型, ∑[xk-E(X)2pP= Var(X)=k= L[[x-E()I2 f(x)dx X为连续型, x-f(x)
X为离散型， P{X=xk }=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . − − = − = [ ( )] ( ) , [ ( )] , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X p Var X k k k X为连续型， X~f(x)
二、计算方差的一个简化公式 Var(X)=E(X)-E(XI2 展开 证:Mr(X)=EXE(X)2 E{Y22XE(X+|E()2} E(X2)-2E(X)2+E(X2 利用期望 性质 E(X2)-E()2 请自己用此公式计算常见分布的方差
二、计算方差的一个简化公式 Var(X)=E(X2 )-[E(X)]2 展开 证：Var(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2 -2XE(X)+[E(X)]2 } =E(X2 )-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差
设rX服从几何分布,概率函数为 P(X=k)=p(1-p)412k=1,2 ●● 其中0<p<1,求rr(X) 无穷递缩等比 解:记q=1p 级数求和公式 E(X)=∑qn∑( 求和与求导 =1 =1 换序p(∑q)=n(,q k=1 1 q p
例1 设r.v. X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p) k-1 , k=1,2,…，n 其中0<p<1,求Var(X) 解： 记q=1-p = − = 1 1 ( ) k k E X kpq = = 1 ( )' k k p q = = 1 ( )' k k p q )' 1 ( q q p − = p 1 = 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式