第六节压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征,我们介绍 Banach压缩 决象原理,它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的 工具。 随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微 分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等)的过 程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说:对 个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程(当 然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问 题)。但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是 个收敛序列,否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就 是寻求变换(映射、映照)的不动点。例如求方程f(x)=0的根, 我们可令g(x)=x-f(x),则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动 点,即求,使 而在通常求映射的不动点的方法中,最 简单的就是下面我们所讲的- Banach压缩映象定理。 定义(压缩映象 设T是度量空间X到ⅹ中的映照,如果对 都有 是常数)则称T是X上的一个压缩映照。 从几何上说:压缩映照即点ⅹ和y经过映照T后,它们的像 的距离缩短了(不超过d(x,y)的倍) 定理1( Banach压缩映照原理)1922年 ( Banach1892-1945波兰数学家) 设(X,d)是一个完备度量空间,T是X上的一个压缩映照, 则T有唯一的不动点。即的使 证:任取令 (此即解方程的逐次迭代法) 先证是 Cauchy点列 ①①先考虑相邻两点的距离 ②再考虑任意两点的距离 当nⅫm时
第六节 压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍 Banach 压缩 映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的 工具。 随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微 分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过 程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一 个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当 然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问 题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是 个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就 是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程 f(x)=0 的根， 我们可令 g(x)=x-f(x)，则求 f(x)=0 的根就变成求 g(x)的不动 点，即求 ,使 .而在通常求映射的不动点的方法中，最 简单的就是下面我们所讲的--Banach 压缩映象定理。 定义（压缩映象） 设 T 是度量空间 X 到 X 中的映照，如果对 都有 （ 是常数）则称 T 是 X 上的一个压缩映照。 从几何上说：压缩映照即点 x 和 y 经过映照 T 后，它们的像 的距离缩短了（不超过 d(x,y)的 倍） 定理 1（Banach 压缩映照原理）1922 年 （Banach 1892-1945 波兰数学家） 设（X,d）是一个完备度量空间，T 是 X 上的一个压缩映照， 则丅有唯一的不动点。即 的 使 证：任取 令 （此即解方程的逐次迭代法） 先证 是 Cauchy 点列 ① ① 先考虑相邻两点的距离 ②再考虑任意两点的距离 当 n>m 时
是 Cauchy点列 是完备度量空间, 使 下证x为不动点 再证不动点唯 若还有,使 则 因 必须 注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可,反例如下 (a)若X不完备,则定理不成立 例如:令X=(0,1),用欧氏距离, 则 但不动点 (b)定理不成立 例如:令X=R用欧氏距离 则 但显然T无不动点。 ②若将空间X条件加强为紧距空间,则压缩因子条件可放 宽为1,即可改为 限于我们的学时,我们只介绍一下 Banach压缩映象原理的 简单应用。 定理2(隐函数存在定理) 设 在带状区域 上处处连 续,处处有关于y的偏导数,且如果存在常数皿,M,适合 则方程f 在闭区间上有唯一的连续 函数 使
= = 是 Cauchy 点列 是完备度量空间, 使 下证 x 为不动点 再证不动点唯一 若还有 ,使 则 因 必须 注:①定理条件(a)X 完备,(b) 缺一不可，反例如下 (a)若 X 不完备,则定理不成立 例如:令 X=(0,1),用欧氏距离, 则 但不动点 (b) 定理不成立 例如:令 X=R 用欧氏距离 则 但显然 T 无不动点。 ②若将空间 X 条件加强为紧距空间，则压缩因子 条件可放 宽为 1，即可改为 限于我们的学时，我们只介绍一下 Banach 压缩映象原理的 简单应用。 定理 2（隐函数存在定理） 设 在带状区域 上处处连 续，处处有关于 y 的偏导数 ,且如果存在常数 m,M，适合 .则方程 f 在闭区间 上有唯一的连续 函数 ,使
证:(在中考虑映照 ,若其为压缩映照, 则有不动点 在完备度量空间中作映照 显然,对 由连续函数的运算性质有 是到自身的一个决照 下证是压缩的 即证 ,任取 由微分中值定理,存在 使 则 故 取最大值 映照T是压缩的.由 Banach压缩映象定理 在上有唯一的不动点使 显然这个不动点适合 注:①注意本定理的证明思路:先确定空间,再找映照(这是 难点),然后证明此映照是压缩的,最后利用定理即得。注意 到这是利用 Banach压缩映照定理解题的一般方法。 ②②此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数 存在定理所给出的条件,因而得出的结论也强些:此处得 出区间上的连续隐函数 下面我们介绍 Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯 一性定理中的应用- Picard定理. 定理3:( Picard定理 Cauchy- - Peano微分方程解的存在唯一 性定理) ( Picard法国人1856-194 I Peano意大利人1858-1932) 在矩形 上连续,设
证：（在 中考虑映照 ，若其为压缩映照， 则有不动点 ） 在 完 备度 量空 间 中 作映 照 , 显然 , 对 由连续函数的运算性质有 。 是 到自身的一个映照 下证是压缩的. 即证 ,任取 由微分中值定理,存在 ,使 令 则 ,故 取最大值 映照 T 是压缩的.由 Banach 压缩映象定理 在 上有唯一的不动点 使 显然这个不动点适合 注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是 难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意 到这是利用 Banach 压缩映照定理解题的一般方法。 ② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数 存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得 出区间上的连续隐函数 . 下面我们介绍 Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯 一性定理中的应用--Picard 定理. 定理 3：（Picard 定理 Cauchy--Peano 微分方程解的存在唯一 性定理） （Picard 法国人 1856—1941 Peano 意大利人 1858--1932） 设 在 矩 形 上连续 , 设
又在R上关于x满足 Lipschitz(德 国人1832-1903)条件,即存在常数k使对 有 ,那么方程 在区间 上有唯一的满足初始条件 的连续函 数解.其中 证:设 表示在区间 上的连续函数全体。 对 成完备度量空间。又令表示 中满 足条件 的连续函数全体所成的子空间。显然 闭,因而也是完备度量空间 如果 当时, 而是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。 又对一切 故T是到的一个映照 下证是压缩的。 由 Lipschitz条件,对中的任意两点 有 ,则由 有 则 故T是压缩的。 由 Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点. 即 使
又 在 R 上关于 x 満足 Lipschitz（德 国人 1832--1903）条件,即存在常数 k 使对 有 , 那么方程 在区间 上有唯一的满足初始条件 的连续函 数解.其中 证：设 表示在区间 上的连续函数全体。 对 成完备度量空间。又令 表示 中满 足条件 的连续函数全体所成的子空间。显然 闭,因而 也是完备度量空间. 令 如果 当 时, 而 是 R 上的二元连续函数, 映照中积分有意义。 又对一切 故 T 是 到 的一个映照 下证是压缩的。 由 Lipschitz 条件,对 中的任意两点 有 令 ,则由 有 . 则 故 T 是压缩的。 由 Banach 压缩映象定理,T 在 中有唯一的不动点. 即 使
即 且 即是满足初值条件的连续解。 再证唯一性。 如果 也是 满足 的连续解. 那么 因而 而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的 故 有唯一解。 注:题设条件中 Lipschitz条件的要求是十分强的,它保证了解 的唯一性。实际上满足 Lipschtz条件即为一致收敛。因而 可在积分号下求导,如果把解的要求降低,例如只要求 义解,即只要求满足积分方程 则题设 条件可大大放宽:只要有界,即可利用 Lebesgue控 制收敛定理得到广义解。 注意到 Banach压缩映照定理不仅证明孓方程的解的存在唯 一性,而且也提供了求解的方法一逐次逼近法:即只要任取 则解 且在 Banach不动点定理的 证明中,有 即此式给出了用逼近解的误 差估计式。 补充: Brouwer不动点是定理与 Schauder不动点定理 简介 鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位,以及不动点 理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支,下面我们简单
即 且 即 是满足初值条件的连续解。 再证唯一性。 如果 也是 满足 的连续解. 那么 因而 而且也是 T 的不动点.而 T 的不动点是唯一的. 故 有唯一解。 注：题设条件中 Lipschitz 条件的要求是十分强的，它保证了解 的唯一性。实际上満足 Lipschtz 条件即为一致收敛。因而 可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广 义解，即只要求满足积分方程 则题设 条件可大大放宽：只要 有界,即可利用 Lebesgue 控 制收敛定理得到广义解。 注意到 Banach 压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯 一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取 令 则解 .且在 Banach 不动点定理的 证明中,有 .即此式给出了用 逼近解 的误 差估计式。 补充：Brouwer 不动点是定理与 Schauder 不动点定理 简介 鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点 理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单
介绍 Brouwer不动点定理和 Schauder不动点定理及其简单应用。 Brouwer不动点定理及其应用 (一) Brouwer不动点定理 ( Brouwer:荷兰人1881-1966) 定义(凸集): X为一集 若 则称A为X 的凸子集 定理1( Brouwer不动点定理): 设为的有界闭凸集 连续,则 证:1、若 证明如下:不妨设 作辅助函数 显然在上连续 从而变成证明 使 即可 显然 否则 则0为f之不动点; 否则 则1为f之不动点: (证毕)由连续函数的介值性定理的推论:根的存在定理可得 使 证毕。 2、若 ,其证明方法很多,其中纯分析方法的证明要 用到场论中旋度的概念,且很繁,而简洁的证明要用到拓扑学中 映象度理论,因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点 定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。 3、注意到 Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的,但某些 条件可以减弱。 下面我们讨论 Brouwer不动点定理的应用 )证明代数基本定理 代数基本定理 复系数一元n次方程 至少有 个复根。 证:令
介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。 一、Brouwer 不动点定理及其应用： （一）Brouwer 不动点定理 （Brouwer：荷兰人 1881-1966） 定义（凸集）： X 为一集, 若 则称 A 为 X 的凸子集。 定理 1（Brouwer 不动点定理）： 设 为 的有界闭凸集， 连续,则 使 . 证：1、若 证明如下：不妨设 作辅助函数 显然 在 上连续. 从而变成证明 使 即可. 显然: 否则 则 0 为 f 之不动点; 否则 则 1 为 f 之不动点: (证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得 使 证毕。 2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要 用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中 映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点 定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。 3、注意到 Brouwer 不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些 条件可以减弱。 下面我们讨论 Brouwer 不动点定理的应用。 （二）证明代数基本定理： 代数基本定理： 复系数一元 n 次方程 至少有一 个复根。 证：令
作辅助函数 考虑闭圆盘 显然c为有界闭凸集,且连续(只要考虑z=1连续即可,而 这是显然的。)。下证将c映入c 当 时 将c映入c.由 Brouwer不动点定理 使 使 证毕 三)证明 Perron定理 Perron定理 矩阵 即:正矩阵一定存在正特征值和特征向量。 证:设 为标准单纯形,则
作辅助函数 考虑闭圆盘： 显然 c 为有界闭凸集，且 连续（只要考虑 z=1 连续即可，而 这是显然的。）。下证 将 c 映入 c: 当 时 当 时 = 将 c 映入 c. 由 Brouwer 不动点定理 使 使 证毕 （三）证明 Perrou 定理： Perrou 定理： 矩阵 使 . 即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。 证：设 ,令 为标准单纯形，则
作映照 显然为连续映照 下面先证将映入 注意到 则 由 Brouwer不动点定理 使 则有 下证的每个分量严搭大于零. 由 的第i个分量方程为 正矩阵一定存在正特征值和特征向量 (四) Rother证明定理 Brouwer定理条件可以减弱,作为 Brouwer不动点定理的推 广,下面我们证明 Rother定理。 Rother定理 为单位球,在上连续,且当 证:作辅助函数 则作 连续,且 ,则F在上连续,且将映入
作映照 显然为连续映照. 下面先证 将 映入 . 注意到 . 则 由 Brouwer 不动点定理 使 即 . 令 则有 . 下证 的每个分量 严挌大于零. 由 的第 i 个分量方程为 正矩阵一定存在正特征值 和特征向量 。 （四）Rother 证明定理： Brouwer 定理条件可以减弱，作为 Brouwer 不动点定理的推 广，下面我们证明 Rother 定理。 Rother 定理： 为单位球， 在 上连续,且当 时, 使 . 证：作辅助函数 则 连续,且 . 作 ,则 F 在 上连续,且将 映入
由 Brouwer不动点定理,F有不动点 使得 即下若若若 证此为之不动点 先用反证法证明 则 矛盾, 从而 故f有不动点 证毕 Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用,由于时间关系, 我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论 及其应用》 我们可以进一步将 Brouwer不动点定理推广到无穷维空间 这就是 Schauder不动点定理。 Schauder不动点定理 ( Schauder:1899-1940) 首先我们注意到度量空间中:紧集列紧闭集(致密闭集), 在拓扑空间中:紧集任意开复盖都有有限复盖之集。 Schauder不动点定理 紧凸集到自身的连续映照必有不动点。 证:(略) Schauder不动点定理的应用(略)。 我们还可以将 Schauder不动点定理再推广到多值映照得到 Kakutani不动点定理
由 Brouwer 不动点定理,F 有不动点. 即 ,使得 . 下证此 为 之不动点. 若 若 先用反证法证明 . 若 ,则 矛盾, . 从而 故 f 有不动点 . 证毕 Brouwer 不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系， 我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论 及其应用》。 我们可以进一步将 Brouwer 不动点定理推广到无穷维空间 —这就是 Schauder 不动点定理。 二、Schauder 不动点定理： （Schauder:1899-1940） 首先我们注意到度量空间中：紧集 列紧闭集（致密闭集）， 在拓扑空间中：紧集 任意开复盖都有有限复盖之集。 Schauder 不动点定理： 紧凸集到自身的连续映照必有不动点。 证：（略） Schauder 不动点定理的应用（略）。 我们还可以将 Schauder 不动点定理再推广到多值映照得到 Kakutani 不动点定理