成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第四章 留数定理

1/38 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/38 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/38 第四章留数定理 留数在复变函数理论本身及实际应用中都具有重要意义.本节主 要介绍留数概念、留数定理、留数计算及留数的应用 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/38 1oÙ 3ê½n 3ê3EC¼ênØ9¢SA^¥Ñäk­‡¿Â©!Ì ‡03êVg!3ê½n!3êOŽ93êA^©

4.1.留数定理 3/38 841留数定理 由 Cauchy定理可知,知道在区域B上解析、 在B上连续的函数f(z),对区域B的任一围线 f(zdz=0. 如果B内有奇点,则 Cauchy定理不再有效 如果z0是f(z)在B内的一个孤立奇点,在除去奇 点z0的环域(邻域)上,f(z)可展开为 Laurant级 图4-1 数 f(z) k=-oo 见图示,在z0点的邻域内任取一包围x0的小围线l0(包含在 Laurant级数(41-1)的收敛环中),由 Cauchy定理 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 3/38 §4.1 3ê½n d Cauchy ½nŒ§3« B þ)Û! 3 B þ I ëY¼ê f(z)§é« B ?Œ‚ `§ ` f(z)dz = 0. XJ B SkÛ:§K Cauchy ½nØ2k© XJ z0 ´ f(z) 3 B S‡áÛ:§3ØÛ : z0 ‚£¤þ§f(z) ŒÐm Laurant ? ê f(z) = X ∞ k=−∞ ak(z − z0) k . (4.1-1) „㫧3 z0 :S?Œ z0 Œ‚ `0£¹3 Laurant ?ê(4.1-1)Âñ‚¥¤§d Cauchy ½n

4.1.留数定理 4/38 小=小 f(z)dz. 代式(41-1)入上式,并利用积分公式(234)和(235),即 0,k≠-1 2ri 得 f(z)dz 2ria-1. (4.1-2) 式中,a-1为 Laurant级数负一次幂项的系数,称为函数f(z)在0点 的留数(残数),记作Resf(z0)或Resf(z),z].因此 f(z)dz 2riResf(zo) 4.1-3) 上面的结论可以推广到包含n个孤立奇点的情形.假设!包含着 f(z)的n个孤立奇点b1,b2,……,bn,作围线l1,2,…,ln分别包围点 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 4/38  ` f(z)dz =  `0 f(z)dz. ª(4.1-1)\þª§¿|^È©úª(2.3.4)Ú(2.3.5)§= 1 2πi I ` (z − z0) kdz = ( 0, k , −1 1, k = −1  I ` f(z)dz = 2πia−1. (4.1-2) ª¥§a−1 . Laurant ?. ê. K. . g. . ‘. . X. ê. §¡. . ¼. ê. f(z) 3. z0 :. . 3. ê. £í. ê. ¤§P. Š. Resf(z0) ½. Res[f(z), z0]©Ïd I ` f(z)dz = 2πiResf(z0). (4.1-3) þ. ¡. . (. Ø. Œ. ±. í. 2. . . ¹. n ‡. . á. Û. :. . œ. /. ©b ` ¹X f(z)  n ‡áÛ: b1, b2, · · · , bn§ŠŒ‚ `1, `2, · · · , `n ©OŒ:

4.1.留数定理 5/38 b1,b2,…,bn,由 Cauchy定理,有 小/d= f(z)dz +q f(z)dz +求 f(z)dz. 将(41-2)代入上式,得 ∫(x)dz=2π i[Res(b1)+Resf(b2)+∴+Resf(bn (4.1-4) 4.1.1留数定理 1.留数定理 设函数()在围线(所围区域B上除有限个Q 孤立奇点b1,b2,…·,bn外解析,在闭区域B上除 )Ln 61. b bn外连续,则 图4-2 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 5/38 b1, b2, · · · , bn§d Cauchy ½n§k  ` f(z)dz =  `1 f(z)dz +  `2 f(z)dz + · · · +  `n f(z)dz. ò(4.1-2)\þª§  ` f(z)dz = 2πi[Resf(b1) + Resf(b2) + · · · + Resf(bn)]. (4.1-4) 4.1.1 3ê½n 1. 3ê½n ~ ¼ê f(z) 3Œ‚ ` ¤Œ« B þØk‡ áÛ: b1, b2, · · · , bn )Û§34« B þØ b1, b2, · · · , bn ëY§K

4.1.留数定理 6/38回 f(zdz=2ni∑Resf(b (4.1-5) 意义 求围线积分转化为求被积函数在围线所围区域内各孤立奇点 的留数和 3.证明 思路:用复通区域的 Cauchy定理+留数定义.具体见上 4.留数定理可推广到无限远点的情形* 没函数∫(z)在无限远点的邻域上解析.我们来计算绕∞的正向 围线积分$f(z)dz,在l以外的区域上没有f(x)的有限远奇点将 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 6/38 ~ I ` f(z)dz = 2πi X n j=1 Resf(bj). (4.1-5) 2. ¿Â ~ ¦. Œ. ‚. È. ©. =. z. . ¦. . È. ¼. ê. 3. Œ. ‚. ¤. Œ. «. . S. ˆ. . á. Û. :. . 3. ê. Ú. © 3. y² ~ g. ´. µ^. E. Ï. «. . . Cauchy ½. n. + 3. ê. ½. Â. ©äN„þ. 4. 3ê½nŒí2Á:œ/∗ v¼ê f(z) 3Á:þ)Û©·‚5OŽ7 ∞ • Œ‚È©  ` f(z)dz§3 ` ± «þvk f(z) kÛ:©ò

4.1.留数定理 7/38圆 f(Z)在无限远的邻城上展为 Laurant级数,并代人积分式,得 )dz=4∑ak2)dz 除k=-1一项外,其余各项均为零,即 f(z)dz =-2ri(-a-1)=2riResf(oo). a-1被定义为∫(z)在无限远点的留数Resf(∞).这样,留数定理对于 无限远点也成立.注意,即使无限远点不是奇点Resf(o)也可以不为 有趣的是,如果f(x)只有有限个奇点.所有有限远的奇点必在某 个圆的内部{z<R,让我们在圆环城R<|z<∞内任取一个围线 E,则由(41-5), f(zdz=2ni{f(x)在所有有限远奇点的留数之和} ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 7/38 f(Z) 3Á¢þЏ Laurant ?꧿<È©ª§ ` f(z)dz = ` X ∞ k=−∞ ak z k ! dz. Ø k = −1 ‘ §Ù{ˆ‘þ"§= ~ ` f(z)dz = −2πi(−a−1) = 2πiResf(∞). (4.1-6) −a−1 . ½. Â. . f(z) 3. Ã. . . :. . 3. ê. Resf(∞)©ù§3ê½néu Á:¤á©5¿§=¦Ã:Ø´Û: Resf(∞) Œ±Ø "© k´§XJ f(z) kk‡Û:©¤kkÛ:73, ‡SÜ |z| < R§4·‚3‚¢ R < |z| < ∞ S?‡Œ‚ `§Kd(4.1-5)§ ~  ` f(z)dz = 2πi  f(z)3¤kkÛ:3êƒÚ .

841.留数定理 8/38 上式与(41-6式相加,得 0=2mi{在所有各点的留数之和} (4.1-7) 至即函数f(2)在全平面上所有各点的留数之和为零.这里说的所有 各点包括无限远点和有限远的奇点 412留数的计算 一般方法:在孤立奇点的邻域上把函数展开为 Laurant级数,取 其负一次幂项的系数.本性奇点用此方法 大对极点:可不作 Laurant级数展开而得到.下面具体介绍 1.m阶极点的留数定理 大定理 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 8/38 þª†(4.1-6)ªƒ\§ ~ 0 = 2πi{3¤kˆ:3êƒÚ}. (4.1-7) ~ =. ¼. ê. f(z) 3. . ². ¡. þ. ¤. k. ˆ. :. . 3. ê. ƒ. Ú. . ". ©ù. p. `. . ¤. k. ˆ. :. . ). Ã. . . :. Ú. k. . . . Û. :. © 4.1.2 3êOŽ ✿ „{µ3. . á. Û. :. . . . þ. r. ¼. ê. Ð. m. . Laurant ?. ê. §. Ù. K. . g. . ‘. . X. ê. ©5Û:^d{© ✿ é4:µŒØŠ Laurant ?êÐm ©e¡äN0© 1. m 4:3ê½n ✿ ½n

4.1.留数定理 9/38 如果x0是函数f(z)的m阶(级)极点,则 d Res(0)(m-1)!120dzm-1(x-z0yf(x) li 4.1-8) S证明具有m阶极点的函数∫(x)可展开为 Laurant级数 f(x)=am(z-z0)m+…+a-21(z-z0)-2+a-1(z-z0)-1 (4.1-9) 上式两边同乘以(z-z0,得 (x-z0)mf(x)=a-m+a-m+1(z-x0)+…+a-1(z-z0)m-1 ak(z -zo) k+m (4.1-10) 上式两边取极限,当z→z0时,右边等于am,所以 im[(z-z0)"f(x)=a-m=非零有限值 (4.1-11) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 9/38 X. J. z0 ´. ¼. ê. f(z) . m . £?. ¤4. :. §K. ~ Resf(z0) = 1 (m − 1)!  lim z→z0 d m−1 dz m−1 (z − z0) m f(z)  . (4.1-8) ✿ y²äk m 4:¼ê f(z) ŒÐm Laurant ?ê f(z) = am(z − z0) −m + · · · + a−2(z − z0) −2 + a−1(z − z0) −1 + X ∞ k=0 ak(z − z0) k . (4.1-9) þªü>Ó¦± (z − z0) m§ (z − z0) m f(z) = a−m + a−m+1(z − z0) + · · · + a−1(z − z0) m−1 + X ∞ k=0 ak(z − z0) k+m . (4.1-10) þªü>4§ z → z0 ž§m>u a−m§¤± ~ lim z→z0 (z − z0) m f(z) = a−m = š"kŠ. (4.1-11)

4.1.留数定理 10/38 这就是判断m阶极点阶数公式 式(41-10)两边求m-1阶导数后,有 d 1 (m+k)! zm-1(z-z0)"f(z)}=(m-1)!a-1+ d k=0(k+1!k(x-z0)4+1 上式中令z→0,两端取极限,并除以(m-1)!,得(4.18),即 d -1 Resf(zo)= a-1 (m-1)!20(dxm=1(z-z0)mf(z) lim 由定理(48),我们可以得到如下两个推论 推论一—一阶(单)极点的留数 对于一阶(单)极点,由定理(4.1-8),得 Resf(z0)=a-1=lim[(z-z0)f(z)]=非零有限值.(41-12) z→20 上式既是判断z0是否是函数f(x)单极点的公式,也是计算函数f(z) 在单极点z0的留数公式 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 10/38 ù. Ò. ´. . ä. m . 4. :. . ê. ú. ª. © ª(4.1-10)ü>¦ m − 1 ê￾￾￾§k d m−1 dz m−1 {(z − z0) m f(z)} = (m − 1)!a−1 + X ∞ k=0 (m + k)! (k + 1)! ak(z − z0) k+1 . þª¥- z → z0§üà4§¿Ø± (m − 1)!§(4.1-8)§= Resf(z0) = a−1 = 1 (m − 1)! lim z→z0  d m−1 dz m−1 (z − z0) m f(z)  d½n(4.1-8)§·‚Œ±Xeü‡íØ© 2. íØ—£ü¤4:3ê é. u. . . £ü. ¤4. :. §d. ½. n. (4.1-8)§. ~ Resf(z0) = a−1 = lim z→z0 [(z − z0)f(z)] = š. ". k. . Š. . (4.1-12) þ. ª. Q. ´. . ä. z0 ´. Ä. ´. ¼. ê. f(z) ü. 4. :. . ú. ª. §. ´. O. Ž. ¼. ê. f(z) 3. ü. 4. :. z0 . 3. ê. ú. ª. ©