成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第五章 Fourier变换

1/67回 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs a cuit. edu. cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/67 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/67圆 第五章 Fourier变换 在许多实际问题中,人们往往通过适当的变换把一个复杂的问题 化成简单的问题来研究.例如,通过对对数变换,把除法运算化为加 减运算,通过分式线性变换把复杂区域化为简单区域等.本张从 Fourier级数出发,引出在电学、力学、控制理论等许多工程和科学 领域中有广泛应用的积分变换— Fourier变换及其基本性质和一些简 单应用 Fourier级数的应用可在力学中振动和波动部分找到:任何振动 和波动都可表示为谐振动和谐波的叠加一 Fourier级数展开 简谐振动是振动或周期运动的一种,许多实际的周期运动并不是 谐振动.例如,各种乐器的振动大多不是谐振动.对小提琴的锯齿振 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/67 1ÊÙ Fourier C† 3Nõ¢S¯K¥§Æ!åÆ!››nØNõó§Ú‰Æ +¥k2A^È©C†—Fourier C†9ÙÄ5ŸÚ { üA^© Fourier ?êA^Œ3åÆ¥ÄÚÅÄÜ©éµ?ÛÄ ÚÅÄьL«ÄÚÅU\— Fourier ?êÐm© {Ä´Ľ±Ï$Ä«§Nõ¢S±Ï$Ä¿Ø´ Ä©~X§ˆ«WìČõØ´Ä©éJŒç¸

3/67回 动,就可以表示为 f() Ak cos(kot +(pr) 所谓音色,就取决于A0,A1,A2,…的比值,声音是否和谐也取决于 这些比例.小提琴的一系列谐振动的振幅之比具有非常简单而有规律 的比例,3,…,这就是小提琴音色优美的物理原因 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/67 ħҌ±L« f(t) = X ∞ k=0 Ak cos(kωt + ϕk) ¤¢ÑÚ§Òûu A0, A1, A2, · · · 'Š§(Ñ´Äڏûu ù '~©JŒXÄ̃'äkš~{ü k5Æ '~ 1 1 , 1 2 , 1 3 , · · · §ùÒ´JŒÑÚ`{ÔnÏ©

§5.1. FOURIER级数 4/67 51 Fourier级数 本节简要概述 Fourier级数的基本内容 511周期函数的 Fourier级数展开 设函数∫(x)以2C为周期,即 f(x)=f(x+2D). 5.1-1) 则函数f(x)可以正余弦函数族作为展开基(基本函数族)展开: 2丌x kzx 1. cos -.cOs coS 角函数系: Tr 2丌x (5.1-2) sIn-. sin sInOx rc数/12=+(+bm4)-613 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 4/67 §5.1 Fourier ?ê !{‡Vã Fourier ?êÄSN© 5.1.1 ±Ï¼ê Fourier ?êÐm . ¼. ê. f(x) ±. 2` . ±. Ï. §=. f(x) = f(x + 2`). (5.1-1) K. ¼. ê. f(x) Œ. ±. . {. u. ¼. ê. x. Š. . Ð. m. Ä. £Ä. . ¼. ê. x. ¤Ð. m. µ n. . ¼. ê. X. µ 1, cos πx ` , cos 2πx ` , · · · , cos kπx ` , · · · , sin πx ` ,sin 2πx ` , · · · ,sin kπx ` , · · · . (5.1-2) Fourier ?. ê. µf(x) = a0 + X ∞ k=1  ak cos kπx ` + bk sin kπx `  . (5.1-3)

§5.1. FOURIER级数 5/67 这就是周期函数的f(x)的 Fourier展开式,其系数称为 Fourier系 数 函数族(51-2)满足正交归一关系 k≠n kT IT cos=rcos"xdx=〈1 k=n≠0 k=n=0 (5.1-4) n k≠n sin -x sin -xdx cosx sin-xdx =0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 5/67 ù. Ò. ´. ±. Ï. ¼. ê. . f(x) . Fourier Ð. m. ª. §Ù. X. ê. ¡. . Fourier X. ê. © ~ ¼. ê. x. (5.1-2)÷. v. . . 8. . '. X. µ    Z ` −` cos kπ ` x cos nπ ` xdx =    0 k , n 1 δk` =    1 ` k = n , 0 1 2` k = n = 0 Z ` −` sin kπ ` x sin nπ ` xdx =    0 k , n 1 ` k = n Z ` −` cos kπ ` x sin nπ ` xdx = 0. (5.1-4)

§5.1. FOURIER级数 6/67圆 (51-3)中的展开系数一 Fourier系数为 kE f()cosde 5.1-5) f(s)sin kIE 式(51-4)和(51-5)中, k≠0 5.1-6) 2,k=0 称为δ符号 设0=Z=,则上面的讨论可表示为更明显的具有周期性的问 题 f(x)=a0+> ak coS kox + bk sin kox ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 6/67 (5.1-3  )¥ÐmXê— Fourier X. ê. .   ak = 1 δk` Z ` −` f(ξ) cos kπξ ` dξ, bk = 1 ` Z ` −` f(ξ) sin kπξ ` dξ. (5.1-5) ª(5.1-4)Ú(5.1-5)¥§ δ = ( 1, k , 0 2, k = 0 (5.1-6) ¡. . δ Î. Ò. ©  ω = 2π 2` = π `§Kþ¡?،L«²wäk±Ï5¯ K f(x) = a0 + X ∞ k=1 ak cos kωx + bk sin kωx

§5.1. FOURIER级数 7/67圆 5.12 Dirichlet定理- Fourier级数的收敛性判据* 若函数f(x)满足条件:(1)处处连续或在每个周期中只有有限 个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值点,则 Fourier级数(51-3)收敛,且 f(r) (在连续点)x, 级数和 5.1-7) 2(x+0)+f(x-0)(在间断点x 证明:需要较多的数学知识,略去 513奇偶函数的 Fourier展开 如果周期函数f(x)是奇函数或偶函数,则其 Fourier展开式也必 须是奇函数或偶函数,因而其 Fourier系数ak或bk为零,相应的 Fourier级数分别是 Fourier正弦或余弦级数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 7/67 5.1.2 Dirichlet ½n—Fourier ?êÂñ5â∗ e¼ê f(x) ÷v^‡µ£¬¤??ëY½3z‡±Ï¥kk ‡1amä:¶£­¤3z‡±Ï¥kk‡4Š:§K Fourier ?ê(5.1-3)Âñ§… ?êÚ =    f(x) (3ëY:)x, 1 2 {f(x + 0) + f(x − 0)} (3mä:)x. (5.1-7) y²µI‡õêÆ£§Ñ© 5.1.3 Ûó¼ê Fourier Ðm X. J. ±. Ï. ¼. ê. f(x) ´. Û. ¼. ê. ½. ó. ¼. ê. §K. Ù. Fourier Ð. m. ª. . 7. L. ´. Û. ¼. ê. ½. ó. ¼. ê. §Ï. . Ù. Fourier X. ê. ak ½. bk . ". §ƒ. A. . Fourier ?. ê. ©. O. ´. Fourier . u. ½. {. u. ?. ê. ©

§5.1. FOURIER级数 8/67圆 8f(x)为奇函数时: f(x)=∑b k ok sin 5.1-8) b f() i da 5.1-9) Sf(x)为偶函数时 f(x)=ao+∑acsn (5.1-10) k=1 (E) cOS kx三d (5.1-11) 514非周期函数的 Fourier级数展开—延拓法 对于只在有限区间,例如在(0,O)上有定义的函数f(x),可以采 取延拓的方法,使其成为某种周期函数g(x),而在(0,D) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 8/67 ✿ f(x) Û¼êžµ ~ f(x) = X ∞ k=1 bk sin kπξ ` , (5.1-8) ~ bk = 2 ` Z ` 0 f(ξ) sin kπξ ` dξ. (5.1-9) ✿ f(x) ó¼êžµ ~ f(x) = a0 + X ∞ k=1 ak cos kπξ ` , (5.1-10) ~ ak = 2 δk` Z ` 0 f(ξ) cos kπξ ` dξ. (5.1-11) 5.1.4 š±Ï¼ê Fourier ?êÐm—òÿ{ éu3k«m§~X3 (0, `) þk½Â¼ê f(x))§Œ±æ òÿ{§¦Ù¤,«±Ï¼ê g(x)§ 3 (0, `)

§5.1. FOURIER级数 9/67回 上,g(x)≡∫(x).然后再对f(x)作 Fourier级数展开,其级数和在区 间(0,D)上代表f(x) 由于f(x)在(0,D)外无定义,因此,可以有无数种延拓方式,因 而有无数种展开式,但它们在(0,0)上均代表f(x).实际问题中,常 常存在一定的条件(环境和边界等),如在区间的端点固定或自由, 由此决定了(限制)了延拓的方式.例如要求 f(0)=f(O)=0=:奇延拓, ∫(0)=f(D)=0=:偶延拓 非周期函数的 Fourier级数展开在工程技术上有重要的应用价 值,下节将予以专门讨论 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 9/67 þ§g(x) ≡ f(x)©,￾￾￾2é f(x) Š Fourier ?êÐm§Ù?êÚ3« m (0, `) þL f(x)© du f(x) 3 (0, `) ý§Ïd§Œ±kÃê«òÿª§Ï kÃê«Ðmª§§‚3 (0, `) þþL f(x)©¢S¯K¥§~ ~3½^‡£‚¸Ú>.¤§X3«mà:½½gd§ ddû½ £›¤ òÿª©~X‡¦ f(0) = f(`) = 0 =:Ûòÿ, f 0 (0) = f 0 (`) = 0 =:óòÿ. š±Ï¼ê Fourier ?êÐm3ó§Eâþk­‡A^d Š§e!òƒ±;€?Ø©

§5.1. FOURIER级数 10/67回 5.15复数形式的 Fourier级数 取复指数函数族 e-i,…,e-1,e-,1,e",e,…,e, (51-12) 作为基本函数系,并利用 Euler公式 cos 0+isin 0 cos 0 i sin e i 2i 可将前面的周期函数f(x)的 Fourier级数展开式(51-3)改写为复数形 式 f(x)=Co+∑(Ce k=1 k-ib k+ibk 2 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §5.1. FOURIER ?ê 10/67 5.1.5 Eê/ª Fourier ?ê Eê¼êx · · · , e −i kπx ` , · · · , e −i 2πx ` , e −i πx ` , 1, e i pix ` , e i 2πx ` , · · · , e i kπx ` , (5.1-12) ŠÄ¼êX§¿|^ Euler úª e iθ = cos θ + i sin θ, cos θ = 1 2 ￾ e iθ + e −iθ
, sin θ = 1 2i ￾ e iθ − e −iθ
. Œòc¡±Ï¼ê f(x)  Fourier ?êÐmª(5.1-3)UEê/ ª f(x) = C0 + X ∞ k=1 ￾ Cke ikωx + C−ke −ikωx
C0 = a0, Ck = ak − ibk 2 , C−k = ak + ibk 2 ©