《数学分析(1,2,3)》教案 第十七章含参变量的积分 设函数∫(xy)在矩形{abcd]上连续。定义含参积分 b(r) 1(y)=」f(x,y)x和F(y) f(x, y)d 含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上 和应用上都有重要作用,有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数 下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性,可微性与可积性。 定理1若函数f(x)在矩形{be小上连续则函数)=/(x,y在上连续 注:在定理的条件下,有 lim/(x, yyx= limf(x, yk 即极限运算可以通过积分号 例:求lm y dx 定理2若函数f(x,y及其偏导数f,(x,y)都在矩形[abc,d]上连续,则 f(x, y)dx=f, (x, y)dx 也就是微分运算可以通过积分号 例:当y=0时,能否利用定理2计算F(y)=n√2+y的导数? 定理3若函数f(xy)及其偏导数J(x,y)在矩形域D={(x,y)a()x≤bcsy≤l}上连续,函数 a(y)和b(y)在[c,d]上连续,并且 a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b,(c≤y≤d) 则函数F(y)=m,(xy)在cd上连续 例:求lm y→0Jy1+x-+y 定理4设函数函数f(x,y)及其偏导数∫(xy)在矩形域D={(x,y)a(y)sx≤ b(), csy≤d}上连续, 函数a(y)和b(y)在[c,d]上存在,并且 a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b,(c≤ysd) 则 17
《数学分析（1，2，3）》教案 17-1 第十七章 含参变量的积分 设函数 f x y ( , ) 在矩形 a b c d , ; , 上连续。定义含参积分 ( ) ( , ) b a I y f x y dx = 和 ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y F y f x y dx = . 含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上 和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。 下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。 定理 1 若函数 f (x, y) 在矩形 a b c d , ; , 上连续, 则函数 ( ) ( , ) b a I y f x y dx = 在 [ , ] c d 上连续. 注：在定理的条件下，有 ( ) ( ) 0 0 lim , lim , b b y y y y a a f x y dx f x y dx → → = ， 即极限运算可以通过积分号。 例：求 1 2 2 0 1 lim y x y dx → − + 。 定理 2 若函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 都在矩形 a b c d , ; , 上连续, 则 ( , ) ( , ) b b y a a d f x y dx f x y dx dy = ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：当 y = 0 时，能否利用定理 2 计算 ( ) 1 2 2 0 F y x y dx = + ln 的导数？ 定理 3 若函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 在矩形域 D x y a y x b y c y d = ( , ) ( ) ( ), 上连续, 函数 a y( ) 和 b y( ) 在 [ , ] c d 上连续，并且 a a y b a b y b ( ) , ( ) ，(c y d ) 则函数 ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y F y f x y dx = 在 [ , ] c d 上连续。 例：求 1 2 2 0 1 lim 1 y y y dx x y + → + + 。 定理 4 设函数函数 f (x, y) 及其偏导数 f x y y ( , ) 在矩形域 D x y a y x b y c y d = ( , ) ( ) ( ), 上连续， 函数 a y '( ) 和 b y '( ) 在 [ , ] c d 上存在，并且 a a y b a b y b ( ) , ( ) ，(c y d ) 则
《数学分析(1,2,3)》教案 F(y)=Jm,(xy+/(b(y)y)b(0)-/(a(y),y(y) 例:设F(y)= ry In(1+yx d,求F(y)。 定理5若函数f(x,y)在矩形[a,bCd]上连续,则 d(xy)=小(xy 注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。 例:求1(y)= dx 例:研究函数F(y)-∫y(在的连续性,其中()2是上连续且为正的函数 解:令g(x1=y(x),则g(x,y)在[0.x,d连续,其中0ed。从而F(y)在y≠0连续。 + J 当y=0时,F(0)=0 当y>0时,记m=mn.f(x)>0,则 F()-303)女2m一=mmn 若lmF(y)存在,则limF(y)≥ lim mactan 1xm>0=F(0) 故F(y)在y=0不连续。 或用定积分中值定理,当y>0时,彐5∈[O,],使 FO f(x) d=(5)J y f()arctan=f(5)arctan 若lmF(y)存在,则 Im F()=lim f()arctan-2m>0 故F(y)在y=0不连续 17-2
《数学分析（1，2，3）》教案 17-2 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) '( ) ( , ) , '( ) , '( ) b y y a y F y f x y dx f b y y b y f a y y a y = + − 。 例：设 ( ) 1 ln 1 ( ) y yx F y dx x + = ，求 F y '( ) 。 定理 5 若函数 f (x, y) 在矩形 a b c d , ; , 上连续，则 = b a d c d c b a dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx . 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：求 ( ) 1 0 ln b a x x I y dx x − = 。 例： 研究函数 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y 的连续性，其中 f (x) 是 [0,1] 上连续且为正的函数。 解： 令 2 2 ( ) ( , ) x y yf x g x y + = ，则 g(x, y) 在 [0,1][c,d] 连续，其中 0[c,d] 。从而 F( y) 在 y 0 连续。 当 y = 0 时， F(0) = 0 当 y 0 时，记 min ( ) 0 [0,1] = m f x x ，则 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y + 1 0 2 2 dx x y y m y m 1 = arctan 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 → + lim ( ) 0 F y y y m y 1 lim arctan 0 → + 0 (0) 2 = m = F 故 F( y) 在 y = 0 不连续。 或用定积分中值定理，当 y 0 时， [0,1] ，使 + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x F y + = 1 0 2 2 ( ) dx x y y f y f y x f 1 ( ) arctan ( ) arctan 1 0 = = 若 lim ( ) 0 F y y→ + 存在，则 = → + lim ( ) 0 F y y y f y 1 lim ( ) arctan 0 → + 0 2 m 故 F( y) 在 y = 0 不连续
《数学分析(1,2,3)》教案 问题1上面最后一个式子能否写为 lim f(arctan -=f()>0 事实上,ξ是依赖于y的,极限的存在性还难以确 例:设∫(x)在[a,b连续,求证 y(x)=(m(x-)(其中ac∈b 满足微分方程y”+k2y=f(x) 证:令g(x,1)=f(m)snk(x-1),则 8(x, n=kf(ocos k(x-1 8, (x, n=-k f(osin k(x-1) 它们都在[a,b]×{a,b上连续,则 y(x)=f()cos(x-t)dt y"(x)=-kf(sin k(x-1)dt+f(x) k∫f()sink(x-t)dt+f(x)+k∫()snk(x-t)dt =f(x) 例:设f(x)为连续函数 F(x)=叮f(x+5+n)lm 求F"(x)。 令x+5+n=l F(x)=Jr]r(x+5+mdnlds=ds Sr(u)du F'(x)=[/(x+5+h)ds-5(+5)d5 在第一项中令x+5+h=u,在第二项中令x+5=u,则 17-3
《数学分析（1，2，3）》教案 17-3 问题 1 上面最后一个式子能否写为 y f y 1 lim ( ) arctan 0 → ( ) 0 2 = f 。 事实上， 是依赖于 y 的，极限的存在性还难以确定。 例：设 f (x) 在 [a,b] 连续，求证 = − x c f t k x t dt k y x ( )sin ( ) 1 ( ) （其中 a,c [a,b] ） 满足微分方程 ( ) 2 y + k y = f x 。 证：令 g(x,t) = f (t)sin k(x − t) ，则 g (x,t) kf(t)cos k(x t) x = − ， ( , ) ( )sin ( ) 2 g x t k f t k x t xx = − − 它们都在 [a,b][a,b] 上连续，则 = − x c y (x) f (t)cos k(x t)dt y (x) k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = − − + y k y 2 + k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = − − + + − x c k f (t)sin k(x t)dt = f (x) 例：设 f (x) 为连续函数， F x f x d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0 = + + 求 F(x)。 解：令 x + + = u ，则 F x f x d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0 = + + + + + = x h x h d f u du ( ) 0 ( ) [ ( ) ( ) ] 0 0 = + + − + h h F x f x h d f x d 在第一项中令 x + + h = u ，在第二项中令 x + = u ，则
《数学分析(1,2,3)》教案 F'(x=[ f(udu-lf(u)du] 17-4
《数学分析（1，2，3）》教案 17-4 ( ) [ ( ) ( ) ] 2 + + + = − x h x x h x h F x f u du f u du