第十二章福里埃级数和福里埃变换 §1.福里埃级数 1.将下列函数展成福里埃级数,并讨论收敛性 (1)f(x)= sinx x∈[-z,丌] (2)f(x ∈[0,] 1, x∈-丌 2.由展开式 sinx 丌<x<丌 (1)用逐项积分法求x2,x3,x在(-,丌)中的福里埃展开式 y求级数∑(,∑L的和 3.()在(-z,兀)内,求∫(x)=e的福里埃展开式 (2)求级数∑ 的和 1+ 4.设f(x)在[,刀]上逐段可微,且f(-z)=f(x).an,b为f(x)的福里埃系数 an’,b'是f(x)的导函数∫(x)的福里埃系数,证明: =-mun(n=1,2…) 5.证明:若三角级数 a+∑(a1 cosnx+ b sin nx) 中的系数an,b满足关系 max. I,n3b}≤M, M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 第十二章 福里埃级数和福里埃变换 §1. 福里埃级数 1． 将下列函数展成福里埃级数，并讨论收敛性： (1) f x x x x ( ) = − sin [ , ] ； (2) ( ) 2 , [0, ] 1, [ ,0) x x f x x = − ； 2． 由展开式 ( ) 1 1 sin 2 ( 1) n n nx x x n + = = − − ， (1) 用逐项积分法求 2 x ， 3 x ， 4 x 在 ( , ) − 中的福里埃展开式； (2) 求级数 ( ) 1 4 1 1 n n n + = − ， 4 1 1 n n = 的和. 3． (1) 在 ( , ) − 内，求 ( ) x f x e = 的福里埃展开式； (2) 求级数 2 1 1 n 1 n = + 的和. 4． 设 f x( ) 在 [ , ] − 上逐段可微，且 f f (− = ) ( ). n a ， n b 为 f x( ) 的福里埃系数， ' n a ， ' n b 是 f x( ) 的导函数 f x'( ) 的福里埃系数，证明： 0 a ' 0 = ， ' n n a nb = ， ' n n b na = − ( n 1, 2, ) = . 5． 证明：若三角级数 ( ) 0 1 cos sin 2 n n n a a nx b nx = + + 中的系数 n a ， n b 满足关系 3 3 max , n n n a n b M ， M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数
6.设T(x)=+∑(acsk+b1sink),求证: ()=1 sinl n+ ∫m(x+1) 7.设f(x)以2为周期,在(0,2)上单调递减,且有界,求证:bn≥0(n>0) 8.设f(x)以2丌为周期,在(O,2)上导数∫(x)单调上升有界求证 a≥0(n> 9.证明:若∫(x)在x点满足a阶的利普希茨条件,则f(x)在x。点连续.给出一个 表明这论断的逆命题不成立的例子 10.设f(x)是以2为周期,在(-,∞)连续,它的福里埃级数在x点收敛求证: Sn(x)→f(x)(n→+∞) 11.设∫(x)是以2兀为周期、连续,其福里埃系数全为0,则f(x)=0 12.设f(x)是以2丌为周期,在[-,x]绝对可积又设x0∈(-,)满足 少1x++(x L 存在 13.证明lman(x)=L.进一步,若f(x)在点连续,则lman(x)=f(x), 其中 0(x)=n+1>S(x) 14.求下列周期为2丌的函数的福里埃级数 (1)三角多项式P(x)=∑( a: coS IX+bsin (2)f(x)=x ) 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 6． 设 ( ) ( ) 0 1 cos sin 2 n n k k k a T x a kx b kx = = + + ，求证： ( ) ( ) 1 sin 1 2 2 sin 2 n n n t T x T x t dt t − + = + . 7． 设 f x( ) 以 2 为周期，在 (0, 2 ) 上单调递减，且有界，求证： b n n 0 0 ( ) . 8． 设 f x( ) 以 2 为 周 期 ， 在 (0, 2 ) 上导数 f x'( ) 单 调 上 升 有 界 . 求证： a n n 0 0 ( ). 9． 证明：若 f x( ) 在 0 x 点满足 阶的利普希茨条件，则 f x( ) 在 0 x 点连续. 给出一个 表明这论断的逆命题不成立的例子. 10. 设 f x( ) 是以 2 为周期，在 (− , ) 连续，它的福里埃级数在 0 x 点收敛. 求证： S x f x n n ( 0 0 ) → → + ( ) ( ). 11. 设 f x( ) 是以 2 为周期、连续，其福里埃系数全为 0，则 f x( ) 0 . 12. 设 f x( ) 是以 2 为周期，在 [ , ] − 绝对可积. 又设 0 x −( , ) 满足 ( 0 0 ) ( ) 0 lim t 2 f x t f x t L → + + + − = 存在. 13. 证明 lim n ( 0 ) n x L → = . 进一步，若 f x( ) 在 0 x 点连续，则 lim n ( 0 0 ) ( ) n x f x → = ， 其中 ( ) ( ) 0 1 1 n n k k x S x n = = + . 14. 求下列周期为 2 的函数的福里埃级数： (1) 三角多项式 ( ) ( ) 0 cos sin n n i i i P x a ix b ix = = + ； (2) ( ) ( ) 3 f x x x = − ；
(3)f(x)=o (4)f(x)=e(-<x<z) (5)f(x)=|inx(丌<x<x) (6)f(x)=xcosx (-I<x<T) 丌<x<0 (7)f(x)= 0,0≤x<丌 ∫(x) 丌<X<丌 (9)f(x)=sgncosx (0)(x)=2-x(0<x<2z 15.设f(x)以2丌为周期,在[-丌,]绝对可积,证 (1)如果函数f(x)在-兀,]满足f(x+z)=f(x),则 a2nm1=b2m1=0,m=1,2,… (2)如果函数f(x)在[-x,团]满足∫(x+m)=-f(x),则 §2.福里埃变换 证明 (1)sinx,sin2x,…, sInn,…是[0,x]上的正交系; (2)sinx,sin3x,…,sin(2n+1)x,…是[0,]上的正交系 (3)1,cosx,cos2x,…, cos nx,…是[0,x]上的正交系; (4)1, sinx, sin 2x sinn,…不是[0,x]上的正交系 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 (3) ( ) cos 2 x f x = ； (4) ( ) ( ) ax f x e x = − ； (5) f x x x ( ) = − sin ( ) ； (6) f x x x x ( ) = − cos ( ) ； (7) ( ) , 0 0, 0 x x f x x − = ； (8) ( ) ( ) 2 2 f x x x = − − ； (9) f x x ( ) = sgn cos ； (10) ( ) 0 2 ( ) 2 x f x x − = . 15. 设 f x( ) 以 2 为周期，在 [ , ] − 绝对可积，证明： (1) 如果函数 f x( ) 在 [ , ] − 满足 f x f x ( + = ) ( ) ，则 2 1 2 1 0, 1,2, m m a b m − − = = = ； (2) 如果函数 f x( ) 在 [ , ] − 满足 f x f x ( + = − ) ( ) ，则 2 2 0, 1,2, m m a b m = = = . §2. 福里埃变换 1. 证明 (1) sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 是 [0, ] 上的正交系； (2) sin x ，sin3x， ， sin 2 1 ( n x + ) ， 是 [0, ] 2 上的正交系； (3) 1， cos x，cos2x ， ，cosnx ， 是 [0, ] 上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x， ， sinnx ， 不是 [0, ] 上的正交系；