第七章定积分 §1.定积分的概念 1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分: (1)「xdx(00 2.设 1,x=c,c∈(a,b) f(x)=1o, xe[a, c)u(c, b] 求证f(x)ax=0 2.定积分存在的条件 1.设f(x)在[a+c,b+c]可积,证明f(x+C)在{a,b]上可积,且 f(x+cdx= f(x)da 2.若函数∫(x)在[a,b上可积,其积分是I,今在[a,b]内有限个点上改变f(x)的 值使它成为另一函数∫(x),证明∫(x)也在ab]上可积,并且积分仍为 3.举例说明∫(x)在[a,b]可积,但f(x)在[a,b]不可积 判断下列函数在区间[0,1上的可积性: (1)f(x)在[上有界,不连续点为x=1(m=12…) Sgn(sin-),x∈(0,1 (2)f(x) x=0 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 第七章 定积分 §1. 定积分的概念 1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0 ) b a xdx a b ； (2) ( ) b a kdx k 是常数 ； (3) 2 2 x dx -1 ； (4) 1 ( 1, 0) x a dx a a 0 . 2． 设 1, , ( , ), ( ) 0, [ , ) ( , ], x c c a b f x x a c c b = = 求证 ( ) 0 b a f x dx = . §2. 定积分存在的条件 1. 设 f x( ) 在 [ , ] a c b c + + 可积，证明 f x c ( ) + 在 [ , ] a b 上可积，且 ( ) ( ) b b c a a c f x c dx f x dx + + + = . 2. 若函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，其积分是 I ，今在 [ , ] a b 内有限个点上改变 f x( ) 的 值使它成为另一函数 * f x( ) ，证明 * f x( ) 也在 [ , ] a b 上可积，并且积分仍为 I . 3. 举例说明 2 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，但 f x( ) 在 [ , ] a b 不可积. 4. 判断下列函数在区间 [0,1] 上的可积性： (1) f x( ) 在 [0,1] 上有界，不连续点为 1 x n( 1, 2, ) n = = ； (2) sgn(sin ), (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x = =
x∈(0,1 (0,1 5.讨论f(x),f(x),|f(x)三者间可积性的关系 6.设f(x),g(x)都在[a,b]上可积,证明 M(x)=max(f(x),g(x)), m(x)=min(f(x),g(x)) 在[a,b]上也是可积的 7.设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)≥r>0,求证: 在[a,b]可积 f(x) (2)Inf(x)在[a,b]可积 8.设f(x)在{a,b可积,求证:任给E>0,存在逐段为常数的函数o(x),使 If(x)-(x)dx<a 9.设f(x)在[a,b]上有界,定义 b]=sup f(x)-inf f(x), Ea, bl 求证 b]= sup f(x)-f(x")I 10.设f(x)在x附近有定义且有界,定义 o (xo)=lir 求证:f(x)在x连续的充分必要条件为o(x0)=0 11.若函数f(x)在[A,B可积,证明: 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 (3) 1 1 , (0,1], ( ) 0, 0; x f x x x x − = = (4) 1 , (0,1], 1 ( ) 0, 0. x f x x x = = 5. 讨论 2 f x f x f x ( ), ( ),| ( ) | 三者间可积性的关系． 6. 设 f x g x ( ), ( ) 都在 [ , ] a b 上可积，证明： M x f x g x m x f x g x ( ) max( ( ), ( )), ( ) min( ( ), ( )) = = 在 [ , ] a b 上也是可积的． 7. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，且 f x r ( ) 0 ，求证： (1) 1 f x( ) 在 [ , ] a b 可积； (2) ln ( ) f x 在 [ , ] a b 可积． 8. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，求证：任给 0 ，存在逐段为常数的函数 ( ) x ，使 | ( ) ( ) | . b a f x x dx − 9. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上有界，定义 [ , ] [ , ] [ , ] sup ( ) inf ( ), f x a b x a b a b f x f x = − 求证 ', '' [ , ] [ , ] sup | ( ') ( '') | . f x x a b a b f x f x = − 10. 设 f x( ) 在 0 x 附近有定义且有界，定义 0 0 0 1 1 ( ) lim , . f n x x x n n →+ = − + 求证： f x( ) 在 0 x 连续的充分必要条件为 0 ( ) 0 f x = ． 11. 若函数 f x( ) 在 [ , ] A B 可积，证明：
lim 1f(x+h)-f(x)ldx=0 其中A<a<b<B(这一性质称为积分的连续性) 12.f(x)≥0,f"(x)≤0,对任意省仨x∈[a,b]成立,求证 f(x)s、2 13.设f(x)在[a,b有连续的导函数,求 max If(x)si-f(xdx|+[l/(x)ldx 14.设f(x)在[a,b]可积,求证;存在连续函数序列qn(x),n=1,2,…,使 imgn(x)dx=」f(x)db 15.设f(x)在[a,b黎曼可积,求证: (1)存在区间序列{[a,b]}使 Lanl,bmc(an, bn)c(a, b), 且of(an,b) (2)存在c∈∩an,b],使得f(x)在c点连续 (3)f(x)在[a,b上有无穷多个连续点 §3.定积分的性质 1.比较下列各对定积分的大小 xdx,2sin xdx dx,3'dx 2.证明下列不等式(设所给的积分存在); ()1se≤e 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 0 lim | ( ) ( ) | 0, b h a f x h f x dx → + − = 其中 A a b B (这一性质称为积分的连续性)． 12. f x f x ( ) 0, ''( ) 0, 对任意省仨 x a b [ , ] 成立，求证： 2 ( ) ( ) . b a f x f x dx b a − 13. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 有连续的导函数，求证： 1 max | ( ) | | ( ) | | '( ) | . b b a x b a a f x f x dx f x dx b a + − 14. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，求证；存在连续函数序列 ( ), 1,2, n x n = ，使 lim ( ) ( ) . b b n n a a x dx f x dx → = 15. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列 {[ , ]} a b 使 1 1 [ , ] ( , ) ( , ), n n n n a b a b a b + + 且 1 ([ , ]) f n n a b n ； (2) 存在 1 [ , ] n n n c a b = ，使得 f x( ) 在 c 点连续； (3) f x( ) 在 [ , ] a b 上有无穷多个连续点． §3. 定积分的性质 1. 比较下列各对定积分的大小： (1) 1 1 2 0 0 xdx x dx ， ； (2) 2 2 0 0 xdx xdx sin ， ； (3) 1 1 2 0 1 3 3 x x dx dx − − ， . 2. 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1 2 0 1 x e dx e ；
(2)1≤ ax≤ 2 p)3vE≤ 4e In xdx 3.设f(x)在{ab连续,「"f(x)hx=0,证明f(x)在[a,b]上恒为零 4.证明: = 2)lim2sin”xax=0 5.设0 7.(1)设∫(x)在[a,b]上连续,且对[a,b]上任一连续函数g(x)均有 ∫(x)g(x)dx=0,证明f(x)=0,x∈[a,b (2)设∫(x)在[a,b上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件 g(a)=g(b)=0的连续函数g(x),有f(x)g(x)dx=0证明:在ab上同样 有f(x)≡0 8.设∫(x)在[a,b]连续,且f(a)=0,求证 f(x)dx≤ (b-a)2 max/'(x)I 9.设f(x),g(x)在[a,b]连续,求证: 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 (2) 2 0 sin 1 2 x dx x ； (3) 2 0 2 1 2 2 1 sin 2 dx x − ； (4) 4 0 ln 3 6 e xdx e x . 3. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， 2 ( ) 0 b a f x dx = ，证明 f x( ) 在 [ , ] a b 上恒为零. 4. 证明： (1) 1 0 lim 0 1 n n x dx → x = + ； (2) 2 0 lim sin 0 n n xdx → = . 5. 设 0 1 ，求证 1 2 1 2 0 (1 ) lim 0 (1 ) n n n t dt t dt → − = − . 6. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， f x( ) 0 ， f x( ) 不恒为零，证明 ( ) 0 b a f x dx . 7. (1) 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上 连 续 ， 且 对 [ , ] a b 上 任 一 连 续 函 数 g x( ) 均 有 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = ，证明 f x x a b ( ) 0, [ , ] . (2) 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且对所有那些在 [ , ] a b 上满足附加条件 g a g b ( ) ( ) 0 = = 的连续函数 g x( ) ，有 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx = .证明：在 [ , ] a b 上同样 有 f x( ) 0 . 8. 设 f x'( ) 在 [ , ] a b 连续，且 f a( ) 0 = ，求证： 2 ( ) ( ) max '( ) 2 b a a x b b a f x dx f x − . 9. 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，求证：
f(x)g(x)ks训f(x)dx引g2(x)x, 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(或∫(x)=Ag(x)),其中为常数 0.设∫(x),g(x)在[a,b]连续,证明 imn∑(5)g()Ax=f(x(xx 其中a=x0,求证: x vx §4.定积分的计算 1.计算下列定积分 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ， 而且等号成立当且仅当 g x f x ( ) ( ) = (或 f x g x ( ) ( ) = )，其中 为常数。 10. 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，证明 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) n b i i i a i f g x f x g x dx → = = ， 其中 0 1 1 1 , , , [ , ]( 1,2, , ), n i i i i i i i a x x x b x x x x x i n = = = − = − − 1 max i i n x = . 11. 用一致连续定义验证： (1) 3 f x x ( ) = 在 [0,1] 上是一致连续的； (2) f x x ( ) sin = 在 ( , ) − + 上是一致连续的； (3) 2 f x x ( ) = 在 [ , ] a b 上一致连续，但在 ( , ) − + 上不一致连续； (4) 2 f x x ( ) sin = 在 ( , ) − + 上不一致连续. 12. 设 y x x = ( )( 0) 是严格单调增加的连续函数， (0) 0, ( ) = =x y 是它的反函 数，证明 0 0 ( ) ( ) ( 0, 0). a b x dx y dy ab a b + 13. 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，求证： 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx + + ， 而且等号成立当且仅当 g x f x ( ) ( ) = ( 0 常数). 14. 设 f x( ) 在 [0,1] 连续， f x( ) 0 ，求证： 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) dx f x f x dx . §4. 定积分的计算 1. 计算下列定积分
(1).sinx: (2). sin'xdx xdx 2 cos xax (5)(a2-xy'dx 2.计算下列定积分 (1)∫2(x+1)(x2-3) x2+1 dx (3)「x√2-5xx (4)「(√x+ 6)xG-x在 sIn x cos nxa (8) xdx 1+√1+x (10)x(x+√x)hx cosx 第6页共8页
第 6 页 共 8 页 (1) 2 9 0 sin xdx ； (2) 5 0 sin xdx ； (3) 2 6 0 cos xdx ； (4) 3 2 7 0 cos xdx ； (5) 2 2 0 ( ) a n a x dx − ； (6) 1 2 6 0 (1 ) − x dx ； 2. 计算下列定积分 (1) 2 2 2 1 ( 1)( 3) 3 x x dx x + − ； (2) 2 1 4 0 1 1 x dx x + + ； (3) 1 5 1 5 x xdx 2 5 − − ； (4) 9 4 1 ( ) x dx x + ； (5) 1 2 0 4 − x dx ； (6) 2 2 2 0 a x a x dx − ； (7) 2 0 sin cos mx nxdx ； (8) 1 2 3/ 2 0 ( 1) dx x x − + ； (9) 3 0 1 1 xdx + + x ； (10) 4 0 x x x dx ( ) + ； (11) 2 2 1 cos 1 sin x dx x + ； (12) 1 0 x e dx ；
(13) arctan xdx: (14) x cos xx: (15) x xdx sIn x cosnx x2-dx(a>0) (20)x(1-5x2) 3.设f(x)在所示区间上是连续函数,证明 (1)f(sinx)dx=f(cosx)cx (2) rf(sin x)dx=l f(sin x)dx: ∫n+) (4∫x(x)M=1 4.证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数,连续的偶函数的原函数中有且只有 个为奇函数 5.计算积分 SInx o cosx+sin x 6.设∫"(x)在[a,b]连续,且f(a)=∫(b)=0,求证: (1) f()dx= f"(x)(x-a(x-b)dx: (2)f(x)dx≤ (b-a)3 maxI/"(x)l 7.设∫(x)在任一有限区间上可积分,且 lim f(x)=7 第7页共8页
第 7 页 共 8 页 (13) 1 0 x xdx arctan ； (14) 2 2 2 0 x xdx cos ； (15) 2 2 x xdx cos − ； (16) ln 2 2 3 0 x x e dx − ； (17) sin cos mx nxdx − ； (18) 2 0 ( 0) a a x x dx a a x − + ； (19) 2 2 2 4 0 a x a dx x − ； (20) 1 3 2 10 5 0 x x dx (1 5 ) − ； 3. 设 f x( ) 在所示区间上是连续函数，证明： (1) 2 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) (cos ) = ； (2) 0 0 (sin ) (sin ) 2 xf x dx f x dx = ； (3) 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 a a a dx a dx f x f x x x x x + = + ； (4) 2 3 2 0 0 1 ( ) ( ) ( 0) 2 a a x f x dx xf x dx a = ； 4. 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一 个为奇函数. 5. 计算积分 2 0 sin cos sin x dx x x + . 6. 设 f x ''( ) 在 [ , ] a b 连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 = = ，求证： (1) 1 ( ) ''( )( )( ) 2 b b a a f x dx f x x a x b dx = − − ； (2) 3 ( ) ( ) max ''( ) 12 b a a x b b a f x dx f x − ； 7. 设 f x( ) 在任一有限区间上可积分，且 lim ( ) x f x l → =
求证 lim-/(dt= 8.利用分部积分法证明: Sof(u(x-u)du=oof()dtdu 9.设f(x)在x>0时连续,对任意a,b>0,积分值 f(x)dx 与a无关,求证:f(x)=(c为常数) 第8页共8页
第 8 页 共 8 页 求证： 0 1 lim ( ) x x f t dt l → x = 8. 利用分部积分法证明： 0 0 0 ( )( ) ( ) x x u f u x u du f t dtdu − = 9. 设 f x( ) 在 x 0 时连续，对任意 a b, 0 ，积分值 ( ) ab a f x dx 与 a 无关，求证： ( ) c f x x = （c 为常数）