第十八章含参变量的广义积分 1.证明下列积分在指定的区间内一致收敛 (1) dy(x≥a>0) cos(xy) dy(-∞0,x≥0) 2.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性: (1) e“ax(00),(i)x∈[0,b] (i)a0连续,tf(x当2=a,元=b皆收敛,且a<b。求证: tf(tx关于在[a,b]一致收敛 4.讨论下列函数在指定区间上的连续性 ()F(x)=,小,x∈(-,+) (2)F(x)= dy 3 (3)F(x)= Sin y dy,x∈(0,2) y(r-y) 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 2 2 0 cos( ) ( 0) xy dy x a x y + + ； (2) 2 0 cos( ) ( ) 1 xy dy x y + − + + ； (3) 1 ( ) x y y e dy a x b + − ； (4) 1 cos ( 0, 0) xy p y e dy p x y + − ； (5) 2 0 sin ( 0) 1 p x dx p x + + . 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 2 0 (0 ) x e dx + − + ； (2) 0 xy xe dy + − ， （i） x a b a [ , ] ( 0) ，（ii） x b [0, ] ； (3) 2 ( ) x e dx + − − − ， （i） a b ，（ii） − + ； (4) 2 2 (1 ) 0 sin (0 ) x y e xdy x + − + + . 3． 设 f t() 在 t 0 连续， 0 t f t dt ( ) + 当 = = a b , 皆收敛，且 a b 。求证： 0 t f t dt ( ) + 关于 在 [ , ] a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 2 2 0 ( ) x F x dy x y + = + ， x − + ( , ) ； (2) 2 0 ( ) 1 x y F x dy y + = + ， x 3 ； (3) 2 0 sin ( ) ( ) x x y F x dy y y − = − ， x(0,2)
5.若∫(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续,含参变量广义积分 1(x)=L.f(x,y)dy 在[a,b)收敛,在x=b时发散,证明l(x)在[a,b)不一致收敛 6.含参变量的广义积分(x)=「f(x,y)b在[ab一致收敛的充要条件是:对任 趋于+∞的递增数列{An}(其中A1=c),函数项级数 u, (x) 在[a,b]上一致收敛 7.用上题的结论证明含参变量广义积分1(x)=「f(x,y)在[a6]的积分交换次序 定理(定理19.12)和积分号下求导数定理(定理19.13) 8.利用微分交换次序计算下列积分 (1)n(a) (n为正整数,a>0) +a sin mxdx (a>0.b>0): (3)xe- sin bxdx(a>0) 9.用对参数的积分法计算下列积分: dx(a>0,b>0) sin mdx (a>0.6>0) 0.利用=「“cm=b计算拉普拉斯积分 o COS ax l- 和 +oo xsinax L 1,利用女=c(x>0)计算傅伦涅尔积分 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 5． 若 f x y ( , ) 在 [ , ] [ , ) a b c + 上连续，含参变量广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + = 在 [ , ) a b 收敛，在 x b = 时发散，证明 I x( ) 在 [ , ) a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + = 在 [ , ] a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于 + 的递增数列 { } A n （其中 A c 1 = ），函数项级数 1 1 1 ( , ) ( ) n n A n A n n f x y dy u x + = = = 在 [ , ] a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + = 在 [ , ] a b 的积分交换次序 定理（定理 19.12）和积分号下求导数定理（定理 19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 2 1 0 ( ) ( ) n n dx I a x a + + = + （ n 为正整数， a 0 ）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x − − + − （ a b 0, 0 ）； (3) 2 0 sin x xe bxdx + − ( 0 ). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 2 2 0 ax bx e e dx x − − + − （ a b 0, 0 ）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x − − + − （ a b 0, 0 ）. 10． 利用 2 (1 ) 2 0 1 1 y x e dy x + − + = + 计算拉普拉斯积分 2 0 cos 1 x L dx x + = + 和 1 2 0 sin 1 x x L dx x + = + . 11． 利用 2 0 1 2 ( 0) xy e dy x x + − = 计算傅伦涅尔积分
F- Sinx'dx=lrt sin x dx 和 F xxx 2 12.利用已知积分 dx d 计算下列积分: too sin x too SIn vcos (3)oxe a ax(a>O (4) 13.求下列积分: )「 -cos tdi 2)ln(1+x2 14.证明: ()mx)在,b(>1)上一致收敛 在(-∞,b](b<1)上一致收敛 15.利用欧拉积分计算下列积分: (1) d x 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 2 0 0 1 sin sin 2 x F x dx dx x + + = = 和 2 1 0 0 1 cos cos 2 x F x dx dx x + + = = . 12． 利用已知积分 0 sin 2 x dx x + = ， 2 0 2 x e dx + − = 计算下列积分： (1) 4 2 0 sin x dx x + ； (2) 0 2 sin cos y yx dy y + ； (3) 2 2 0 x x e dx + − ( 0) a ； (4) 2 ( ) 0 ax bx c e dx + − + + ( 0) a ； (5) 2 2 2 ( ) a x x e dx + − + − ( 0) a . 13． 求下列积分： (1) 0 1 cos t e tdt t + − ； (2) 2 2 0 ln(1 ) 1 x dx x + + + . 14． 证明： (1) 1 0 ln( ) xy dy 在 1 [ , ] b b ( 1) b 上一致收敛； (2) 1 0 y dx x 在 ( , ] − b ( 1) b 上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分： (1) 1 0 1 4 1 dx − x ； (2) 1 2 0 x x dx − ；
(-√x)h (4)5oxva2-x2)x(a>0) ∫x2c-d(n为正整数) COSx ()2sin2xdhx(n为正整数) dx(n为正整数) 16.将下列积分用欧拉积分表示,并求出积分的存在域: dx (3)|2tan”xdh (5)xpe- In xdx(a>0) 17.证明: dx=-r()(n>0); 8.证 B(a,b)= dx (1+x)“ dx (s>0) 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 (3) 1 3 0 x x dx (1 ) − ; (4) 2 2 2 0 ) a x a x dx − ( 0) a ； (5) 2 6 4 0 sin cos x xdx ； (6) 4 0 1 dx x + + ； (7) 2 2 0 n x x e dx + − （ n 为正整数）； (8) 0 3 cos dx x − ； (9) 2 2 0 sin n xdx （ n 为正整数）； (10) 1 1 0 1 ln n m x dx x − ( n 为正整数). 16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 1 0 2 m n x dx x − + + ； (2) 1 0 1 n m dx − x ； (3) 2 0 tan n xdx ； (4) 1 0 1 ln p dx x ； (5) 0 ln p x x e xdx + − ( 0) . 17． 证明： (1) 1 1( ) n x e dx n n + − − = ( 0) n ； (2) lim 1 n x n e dx + − →+ − = . 18． 证明： 1 1 1 0 ( , ) (1 ) b a b x x B a b dx x − − + + = + ； 1 0 ( ) sx s x e dx + − − = ( 0) s
