§3.1矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 矩阵的初等变换 三、小结
§3.1矩阵的初等变换 • 一、消元法解线性方程组 • 二、矩阵的初等变换 • 三、小结
士士 本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件,并介绍 用初等变换解线性方程组的方法.内容丰 牛富,难度较大 上页
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大
生-消元法解线性方程组 分析:用消元法解下列方程组的过程 引例求解线性方程组 2x, n-c, fx 2 4 =2. x1+x2-2x3+x4=4,② 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③÷2 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ 上页
引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程． 2
解 关1+x2x3+4=4,① ①台②2 2x1-x2-x3+x4=2,g (B1) ③÷2 2x1-3x2+x3-x4=2, 3x1+6x,-9x2+7x4=9,④ x,+x2-2x3+x4=4,① 3 ③-2① 2x22x3+2x4=9 ④-30|-5x2+5x3-3x1=-6,③ (B2) 3x2-3x3+4x4=-3,④ 上页
解 ( ) (1) B1 ( ) B2 2 1 3 2 + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1 − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2
1x+x2-2x3+x1=4, ② 2 x3+x4=0, B ③+52 2x4=-6, ④-3② x,=-3 「x1+x2-2x3+x=4,① ③>④ x2-x3+x4=0, (B4) ④-2 =-3. 0=0 ④ 用“回代”的方法求出解: 上页
( ) B3 ( ) B4 = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1 3 4 − 3 2 2 = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3 2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：
x1=x3+4 c于是解得{x2=x3+3其中x为任意取值 4 3 或令x3=C,方程组的解可记作 1 C+4 2 C+3 3 即x= 十 (2) 3 C 0 -3 3 其中c为任意常数
于是解得 = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1 − + + = = c c c x x x x x 其中c为任意常数. − + = 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c （2）
上小结: 1.上述解方程组的方法称为消元法 2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换 (1)交换方程次序;(与①相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程; 工工工 (以⑦xk替换⑦) 上(3)一个方程加上另一个方程的k倍 (以⑦+k①替换⑦) 上页
小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）
3.上述三种变换都是可逆的 ①<① 若(A)(B),则(B) ①<① (4) 若(4)①xk(B,则B)①+k(4); ①+k④ 若(A) (B),则(B) ①-k④ (4) 由于三种变换都是可逆的,所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换 上页
3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). i − k j
4、增广矩阵 因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算,未知量并未参与运算 若记 2-1-112 11-21 B=(404-62-24 36-979 上则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 牛程组(1)的增广矩阵)的变换 上页
4、增广矩阵 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 − − − − − − = = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (Ab) 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
生三、矩阵的初等变换 平定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换 ()对调两行(对调,两行记作分r); (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作xk) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上 记作r+xy) 上页
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； (2)以 数 k 0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 二、矩阵的初等变换