第六章定积分 §6.1定积分与不定积分 给定非负函数y=f(x),定义于闭区间[a,b],如果我们要求函数图形y=f(x)下边 曲边梯形面积,就需要定积分[f(x)dtx。 定闭区间[a,b]内任意时刻的即时速度y=∫(1),求[a,b]内走过路程,也需要定 积分O)d 定义函数f(x)定义在[a,b上,给[a,b任意一个分割△:a=x00,彐δ>0,使得不管如何分割Δ,如何选取 5k∈[x-1,xk1,只要A= max Ax<6,就有a-|<E,则称/为∫(x)在[a,b]的定积 分,记为/=f(x)dx 如果∫(x)在[a,b存在定积分,称它为 Riemann可积,简称可积,将来到实变函数论 中还有 Lebesgue可积概念
133 第 六 章 定 积 分 § 6.1 定积分与不定积分 给定非负函数 y = f (x)，定义于闭区间[a, b]，如果我们要求函数图形 y = f (x)下边 曲边梯形面积，就需要定积分 ò b a f (x)dx 。 给定闭区间[a, b]内任意时刻t 的即时速度 y = f (t) ，求[a, b]内走过路程，也需要定 积分 ò b a f (t)dt 。 定义 函数 f (x) 定义在[a, b]上，给[a, b]任意一个分割 D : a = x0 0，$d > 0 ，使得不管如何分割 D ，如何选取 [ , ] k k 1 k x x Î - x ，只要l = D < d £ £ k k n x 1 max ，就有| s - I |< e ，则称 I 为 f (x) 在[a, b]的定积 分，记为 ò = b a I f (x)dx。 如果 f (x) 在[a, b]存在定积分，称它为 Riemann 可积，简称可积，将来到实变函数论 中还有 Lebesgue 可积概念
综上定义:定积分的定义包含分割,代替,求和,取极限四个步骤。这个极限不同于 以前的极限,比较复杂,条件N那样简单,固定 λ,分割△有很多种,固定Δ,5k的选择还有很多种 定积分与不定积分有密切关系,看例子:速度v()在[ab通过路程S=「v()d;由 原函数定义,S(t)=v()t+C,则[(t)dt=S(b)-S(a),一般地我们有 定理1( Newton- Leibinz公式)设∫(x)∈C[ua,b,F(x)∈C[a,b],且F在 (a,b)上是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),x∈(a,b),则 f(xdx= F(b-F(a)=F(x 证给定[a,b任意一个分割:△:a=x00,36>0,只要5,n∈[a,b],-m<6,就有 J()-f()< 于是,当λ= max Ax<6时,对V5k∈[xk-1,xk],有 ∑(5)x4-F(6)-F(l=∑[/)-f(n小x<s 定理2设f(x)在{a,b可积(不一定连续),又设F(x)在[ab]上连续,并且在(a,b) 上,F(x)=f(x),则(xk=F(x=F(b)-F(a) 证任给[a,b]一分割△:a=x0<x1<…<xn=b,由 Lagrange中值定理 F(b)-F(a)=∑f(n)x,m∈(xk-,x) 因∫在[a,b可积,令λ= max Ark→0,则上式右边→」f(x)x。所以 F(b)-F(a)='/(x)
134 综上定义： 定积分的定义包含分割，代替，求和，取极限四个步骤。这个极限不同于 以前的极限，比较复杂，条件l N 那样简单，固定 l ，分割 D 有很多种，固定 D ， k x 的选择还有很多种。 定积分与不定积分有密切关系，看例子：速度v(t) 在[a, b]通过路程 ò = b a S v(t)dt ；由 原函数定义， ò S(t) = v(t)dt + C ，则 v(t)dt S(b) S(a) b a = - ò ，一般地我们有 定理 1（Newton-Leibinz 公式） 设 f (x) ÎC[a,b]， F( x) Î C[a, b] ，且 F 在 (a, b)上是 f (x) 的原函数，即 F¢( x) = f ( x) ， x Î (a,b) ，则 b a b a f (x)dx = F(b) - F(a) =F(x) ò 。 证 给定[a, b]任意一个分割：D : a = x0 0，$d > 0 ，只要x ,h Î[a,b] ，x -h < d ，就有 b a f f - - < e (x ) (h) 。 于是，当l = D < d £ £ k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x " Î - x ，有 å x D - [ - ] = å[ x - h ]D < e = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 定理 2 设 f (x) 在[a, b]可积（不一定连续），又设 F( x) 在[a, b]上连续，并且在 (a, b) 上， F¢( x) = f ( x) ，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = - ò 。 证 任给[a, b]一分割D : a = x0 < x1 <L < xn = b ，由 Lagrange 中值定理 å= - = D n k k xk F b F a f 1 ( ) ( ) (h ) ， ( , ) k k 1 k x x h Î - 。 因 f 在[a, b]可积，令 max 0 1 = D ® £ £ k k n l x ，则上式右边® ò b a f (x)dx 。所以 ò - = b a F(b) F(a) f (x)dx
§6.2定积分的性质 1.初等性质 设f(在可积,c实数,则(x)亦可积,且9(xk=/(x) 设f(x),g(x)在[a,b]可积,则f(x)±g(x)亦可积,且 T/()gx)小女=∫(x)士∫g 这说明定积分是个线性运算 设f(x)在[a,b可积,a<c<b,则∫(x)在[a,c]和[c,b都可积,且 f(r)dx=f(x)dx+f(x)d 反之亦然 定理(推广的 Newton- Le ibn iz公式)设f(x)在[ab]可积,F(x)在[a,b]除去 有限个点a=x0<x<…<x=b外是∫(x)的原函数,这些点或是F(x)的连续点或是 第一类间断点,则∫(x=∑F(x)=0 证∫(x)x=∑∫f(x=∑F(x)|= 设/()在a句可积,则(对)可积,且(5( f(x) 几何上看/(x)d有可能出现正负面积相消情况,1(x)k将全部负面积翻成 正面积之和 设f(x)在[ab]可积,f(x)≥0,x∈[a,b,则f(x)dx≥0 135
135 § 6.2 定积分的性质 1. 初等性质 设 f (x) 在[a, b]可积，c 实数，则cf ( x) 亦可积，且 ò ò = b a b a cf (x)dx c f (x)dx 。 设 f (x) , g (x) 在[a, b]可积，则 f (x) ± g( x) 亦可积，且 [ ] ò ò ò ± = ± b a b a b a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx 。 这说明定积分是个线性运算。 设 f (x) 在[a, b]可积，a < c < b，则 f (x) 在[a, c] 和[c, b]都可积，且 ò ò ò = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 反之亦然。 定理（推广的 Newton-Leibniz 公式）设 f (x) 在[a, b]可积， F( x) 在[a, b]除去 有限个点 a = x0 < x1 < L < xn = b外是 f (x) 的原函数，这些点或是 F( x) 的连续点或是 第一类间断点，则 ò å - = - + = = + = 1 0 0 1 0 ( ) ( ) m i i x x i x x b a f x dx F x 。 证 ò åò - = + = 1 0 1 ( ) ( ) m i i x i x b a f x dx f x dx å - = - + = = + = 1 0 0 1 0 ( ) m i i x x i x x F x 。 设 f (x) 在[a, b]可积，则 f (x) 亦可积，且 ò ò £ b a b a f (x)dx f (x) dx 。 |f(x)| 几何上看 ò b a f (x)dx 有可能出现正负面积相消情况，ò b a f (x) dx 将全部负面积翻成 正面积之和。 设 f (x) 在[a, b]可积， f (x) ³ 0， x Î[a, b] ，则 ( ) ³ 0 ò b a f x dx
若∫,g在[ab]可积,f(x)≤g(x),x∈[ab],则f(x)dr≤g(x)db 即定积分运算是保序的 2.积分第一中值定理 定理设f(x),g(x)和f(x)g(x)在[a,b]可积,g(x)在[a,b不变号, m=inf f(x), M=sup f(x) 则存在μ,m≤H≤M,使得(x)g(x)dtx=川g(x)dx。 证不妨设g(x)≥0,则mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),由积分不等式,我们有 m g(x)dx.f(x)g(x)dx0,令= 推论1若f(x)在{ab连续,g(x)在[a,b上可积,不变号,则彐ξ∈[a,b],使得 f(x)g(x)dx=f(s)8(x)dx 推论2若f(x)在[a连续,则存在35∈(ab),使得∫f(x)dx=(Xb-a) 推论1是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。 推论2的结论中要求ξ∈(an,b),证明还需要作点加工:若f∫为常数,结论显然;若∫ 非常数,则彐x1,x2,使得∫(x1)m且f(x1)>f(x2),还可找到δ>0, 使得M-f(x)>0,p-xlk0,-x|<6 所以m(b-a)<f(x)x<M(b-a), 取μ f(x)dx,m<μ<M,所以∈(a,b),使得∫()∈μ 3.变限定积分 用 Newton- Leibniz公式,我们知道,若f(x)∈C[a,b,F(x)在[a,b]上是f(x)的原函 数,则vx∈[a,b],有f()d=F(x)-F(a)
136 若 f ， g 在[a, b]可积， f (x) £ g (x)， x Î[a, b] ，则 ò ò £ b a b a f (x)dx g(x)dx 。 即定积分运算是保序的。 2. 积分第一中值定理 定理 设 f (x) ， g (x) 和 f (x)g( x) 在[a, b]可积， g (x) 在[a, b]不变号， m inf f (x) a£x£b = ， M sup f (x) a£x£b = ， 则存在 m ，m £ m £ M ，使得 ò ò = b a b a f (x)g(x)dx m g (x)dx 。 证 不妨设g (x) ³ 0，则mg( x) £ f (x)g( x) £ Mg( x) ，由积分不等式，我们有 ò ò ò £ £ b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx 。 若 ( ) = 0 ò b a g x dx ，取任意 m 都行。 若 ( ) > 0 ò b a g x dx ，令 ò ò = b a b a g x dx f x g x dx ( ) ( ) ( ) m 即可。 推论 1 若 f (x) 在[a, b]连续， g (x) 在[a, b]上可积，不变号，则$x Î[a, b]，使得 ò ò = b a b a f (x)g(x)dx f (x ) g (x)dx 。 推论 2 若 f (x) 在[a, b]连续，则存在$x Î (a,b) ，使得 f (x)dx f ( )(b a) b a = - ò x 。 推论 1 是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。 推论 2 的结论中要求x Î(a, b) ，证明还需要作点加工：若 f 为常数，结论显然；若 f 非常数，则 1 2 $x¢ , x¢ ，使得 f (x1 ¢) m 且 ( ) ( ) 1 2 f x¢ > f x¢ ，还可找到d > 0 ， 使得 M - f (x) > 0 ， x - x1 ¢ 0， x - x¢ 2 < d 。 所以 m(b a) f (x)dx M (b a) b a - < < - ò ， 取 ò - = b a f x dx b a ( ) 1 m ，m < m < M ，所以$x Î (a,b) ，使得 f (x ) Î m 。 3. 变限定积分 用 Newton-Leibniz 公式，我们知道，若 f (x) ÎC[a,b] , F( x) 在[a, b]上是 f (x) 的原函 数，则"x Î[a,b]，有 f (t)dt F(x) F(a) x a = - ò
但是我们还不知道若f(x)∈Clb]原函数是否存在,我们称F(x)=J/(M为变上限定 积分,它启示我们它就是∫(x)的一个原函数 定理设f(x)eCab],则F(x)=J()M是f(x)在a上的一个原函数,满足 F(x)=f(x),并且满足F(a)=0。 证为证F(x)=f(x),a≤x≤b,我们固定x0∈(a,b), 考虑当x>x0时 F(x)-F(x0) f(x f()-f(x) x-x."o ∫U(o)-f(x)d ()-f(x0 当x0,38>0,使得x-x<6时,有(x)-f(x0)<E 这时 IF(x)-F(xo_f(0x-xol f(1)-f(x < x。是区间端点时,左右导数可类似证明 变限定积分还有一些变种 G(x)=(h=.(M,c(x)=-(x, p(x) f(odt= F(o()) x)=f(9(x)q(x) 137
137 但是我们还不知道若 f (x) ÎC[a,b]原函数是否存在，我们称 ò = x a F(x) f (t)dt 为变上限定 积分，它启示我们它就是 f (x) 的一个原函数。 定理 设 f (x) ÎC[a,b]，则 ò = x a F(x) f (t)dt 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，满足 F¢( x) = f ( x) ，并且满足 F(a) = 0。 证 为证F¢( x) = f ( x) ，a £ x £ b ，我们固定 ( , ) x0 Î a b ， 考虑当 0 x > x 时： ò ò ò - - £ - - = - - - = - - x x x x x x f t f x dt x x f t f x dt x x f t dt f x x x f x x x F x F x 0 0 0 ( ) ( ) 1 [ ( ) ( )] 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 当 0 x 0，$d > 0 ，使得 x - x0 < d 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f x f x 这时 × e × - = e - £ - - - £ - - ò 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 x x x x f t f x dt x x f x x x F x F x x x 0 x 是区间端点时，左右导数可类似证明。 变限定积分还有一些变种 ò ò = = - x b b x G(x) f (t)dt f (t)dt ， G¢( x) = - f ( x) ， ( ) ( ) ( ( )) ( ) x f t dt F x x a j j F = = ò ， F¢( x) = f (j ( x))j ¢( x)
例设/(cCr1,证明加m。.+(-x=可() 证不妨设t=0,考虑 h f(x)dx-f(o) h h f(x)-f(0)dx+2(arcg;-)f(0) h [f(x)+f(-x)-2f(0)x+2(arcg-)f(0) nb=()+(-)-2/0+b=U()+(=)-2/(0 +2(arct- (0) 对vE>0,f(x)∈C-11,(x)≤M,36>0,使当0,使当0<h<n时, arcl E,且 h h J8 h2+x2 2M arct h 26M 这时 ×C E 33 §6.3定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理 1.换元法 定理1f(x)∈C[a,b],q∈C[a,B,又(a)=a,q(B)=b,a≤()≤b (a≤I≤B)。则f(x)x=q(jp(t)dt 证f(x)∈C[a,b],它有原函数,记为F(x),则Fq(是∫[q()]p(1)的原函 数,由 Newton- Leibniz公式,有 f(xdx= F(b)-F(a 及「几q()p()dt=F[q(B-F[p(a)=F(b)-F(a),可得结论。 138
138 例 设 f (x)Î C[-1, 1] ，证明 ® + ò- - = + 1 1 2 2 0 0 lim f (t x)dx f (t) h x h h p 。 证 不妨设t = 0 ，考虑 ) (0) 2 1 2( [ ( ) ( ) 2 (0)] [ ( ) ( ) 2 (0)] ) (0) 2 1 [ ( ) ( ) 2 (0)] 2( ) (0) 2 1 [ ( ) (0)] 2( ( ) (0) 0 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 f h arctg f x f x f dx h x h f x f x f dx h x h f h f x f x f dx arctg h x h f h f x f dx arctg h x h f x dx f h x h I p p p p d d + - + - - + + - - + + = + - - + - + = - + - + = - + = ò ò ò ò ò - - 对"e > 0， f (x)Î C[-1, 1] , f (x) £ M ,$d > 0 ，使当 x 0 ，使当0 < h <h 时， h x M hdx h arctg h arctg 2 1 1 2 2 d e d < + - = ò ，且 h M arctg 2 6 1 p e - < ， 这时 e e e e < + + = 3 3 3 I 。 §6.3 定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理 1． 换元法 定理 1 f (x) ÎC[a,b]， [ , ] 1 j ÎC a b ，又j(a) = a，j (b ) = b ，a £j (t) £ b (a £ t £ b ) 。 则 ò ò = ¢ b a f x dx f j t j t dt b a ( ) [ ( )] ( ) 。 证 f (x) ÎC[a,b]，它有原函数，记为 F( x) ，则 F[j(t)]是 f [j(t)]j ¢(t) 的原函 数，由 Newton-Leibniz 公式，有 f (x)dx F(b) F(a) b a = - ò ， 及 f[ (t)] ¢(t)dt = F[ ( )] - F[ ( )] = F(b) - F(a) ò j j j b j a b a ，可得结论
注1在原函数定义f(x)中“ax”仅是一个记号,这个定理告诉我们它可看成 微分,x=φ(1),dx=q()dt,这样理解换元法公式是自然了 定理2设∫(x)∈C[a,b],x=o()∈C[a,B],满足 l°q(a)=a,q(B)=b; 2°φ(1)在[a,B]严格单调,则 fl(Ol 证不妨设q(1)严格上升,这时a0,彐8>0,使得△1=1-1-10,n>0,当 刀时,有p()-q(r 于是 -qs∑19(c(x)-9(x小 ≤M(B-a)E
139 注1 在原函数定义 ò b a f (x)dx 中“dx ”仅是一个记号，这个定理告诉我们它可看成 微分， x =j (t) ，dx = j¢(t)dt ，这样理解换元法公式是自然了。 定理 2 设 f (x) ÎC[a,b]， ( ) [ , ] 1 x = j t Î C a b ，满足 o 1 j(a) = a，j (b ) = b ； o 2 j (t) 在[a,b ]严格单调，则 ò ò = ¢ b a f x dx f j t j t dt b a ( ) [ ( )] ( ) 。 证 不妨设j (t) 严格上升，这时a 0，$d > 0 ，使得D = - 0，$h > 0 ，当 l = max Dxi <h 时，有 j¢(t ) -j¢(t ) < e i i 。 于是 s -s¢ £ å= ¢ - ¢ D n i i i i i f t 1 [j(t )]j (t ) j (t ) £ M (b -a)e
其中 M 所以如口=m=Jr(x)k=rpo)m 例1 sint cost dt (x=sint, 0<t< (1-cos 4r)dt 8 6 从这个例子,我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别:1)不定积分换元是 作为整体的变量替换,定积分是作为一个特定区间上的变量替换,有时前者行不通而后者却 可以进行:2)不定积分换元后必须换回去,而定积分换元不必,只要把定积分值算出来就 行了 例2 1.f(x)∈C[-a,a]偶函数,则 ∫(x)dh f∫(-t)d ∫(x)dx 2.f(x)∈C[-a,d],奇函数,则|f(x)dx=0 例31 解 Ⅰ=2 t xsIn x 1+cos(r-1) 11+4、,t=cost。 rcig
140 其中 M sup f (x) 。 a£x£b = 所以 ò ò = ¢ = = ¢ ® ® b l l a s s f x dx f j t j t dt b a lim lim ( ) [ ( )] ( ) 0 0 。 例 1 ò = - 1 0 2 2 I x 1 x dx t t dt ò = 2 0 2 2 sin cos p ) 2 ( sin , 0 p x = t < t £ t dt ò = 2 0 2 sin 2 4 1 p t dt ò = - 2 0 (1 cos 4 ) 8 1 p 16 ) 4 sin 4 ( 8 1 2 0 p p = - = t x 。 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：1）不定积分换元是 作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却 可以进行； 2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就 行了。 例 2 1. f (x)Î C[-a, a] 偶函数，则 ò- ò ò- = + 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx ò ò = - - 0 0 ( ) ( ) a a f x dx f t dt ò = a f x dx 0 2 ( ) 。 2. f (x)Î C[-a, a] ，奇函数 ，则 ( ) = 0 ò- a a f x dx 。 例3 ò- + = p p dx x x x I 2 1 cos sin 解 ò + = p 0 2 1 cos sin 2 dx x x x I ( ) 1 cos ( ) ( )sin( ) 2 0 2 dt x t t t t = - + - - - = - ò p p p p p ò ò + - + = p p p 0 2 0 2 1 cos sin 2 1 cos sin 2 dx t t t dx t t ， ò - + = - 1 1 2 1 2 2 u du I p ， u = cost 。 2 2 1 1 p = p = - I arctg u
2分部积分法 定理3设u,v∈Cab,则∫x)r(x)d=(x)(x-n(x)x)。 ∫"hn=ot2-」 证 (u(xv(x'=u'(xv(x)+u(x)v(x) 所以 广((x(x)th=x)(x), (x)v(x)dx+ u(x)(x)dx=u(x)v(x 例4,=5m”xd=2 cos"xdr 解=-2 sin-xd cos x -sin co +2 cos xdsin"-x =(n-1)2sin x cos xax dx-n-12 sin"xd 2) 所以 (2k-1)!x (2k)! (2k+1)! 例5( J. Wallis公式 (2n)!! (2n-1)!」2n+12 证0<x<2时,有sin2nx<sn2nx<sin2mx,采用例4中的记号我们可得
141 2 分部积分法 定理 3 设u ， [ , ] 1 v ÎC a b ，则 ò ò ¢ = - ¢ b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx 。 （ ò ò = - b a b a b a udv uv vdu ） 证 (u( x)v( x))¢ = u¢( x)v( x) + u( x)v¢( x) ， 所以 b a b a (u(x)v(x))¢dx = u(x)v(x) ò ， 即 b a b a b a u¢(x)v(x)dx + u(x)v¢(x)dx = u(x)v(x) ò ò 。 例 4 ò ò = = 2 0 2 0 sin cos p p I xdx xdx n n n 解 ò - = - 2 0 1 sin cos p I xd x n n ò - - = - + 2 0 1 2 0 1 sin cos cos sin p p x x xd x n n ò - = - 2 0 2 2 ( 1) sin cos p n x xdx n ò ò = - - - - 2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin p p n xdx n x dx n n ， ( 2) 1 2 ³ - = - I n n n I n n 2 0 p I = ， I1 =1。 所以 (2 )!! 2 (2 1)!! 2 p k k I k - = ， (2 1)!! (2 )!! 2 1 + + = k k I k 。 例 5 (J.Wallis 公式) 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! lim 2 p = + ú û ù ê ë é ®¥ n - n n n 证 2 0 p < x < 时，有 x x x 2n 1 2n 2n 1 sin sin sin + - < < ， 采用例 4 中的记号我们可得 2n+1 < 2n < n-1 I I I
(2n)!(2n-1)!x(2n-2)! (2n+1)!(2m)!2(2n-l)(2n-1)!」2 所以m(2n (2m)! n(2n-1)!(2n2n+1 (2n-1)!」(2n)(2n+1) lim =0 3积分余项的 Taylor公式 引理g(x)∈CIx0 ≤b,有 18(1)dh1kx-1b=<1 ∫g(4)(x-t)md1,m∈Z 证 g(t )dt, ((x-t)"dr g(41)dt1d(x-1) m+1J8(1)(x-D)my 1) g(ndt (x-tg(ta 定理4设∫(x)∈C(x0-h,x+h),则 f(x)=∑ (x-x0)+R(x) 其中Rx)=∫fm(Xx-yd,kx-x|<h。 证 1时 R1(x)=f(x)-f(x0) ∫(x0) x-x L. f'(dr-f'(xo(x-xo) f(a)-f(x0) f"(t1 55'redt, A()=5r(x-ndr 设n=m时成立,即 Rn=f(x)-|f(x0)+…+
142 (2 1)!! (2 2)!! (2 )!! 2 (2 1)!! (2 1)!! (2 )!! - - < - < + n n n n n n p ， n n n n n n 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 2 ú û ù ê ë é - < < + ú û ù ê ë é - p 所以 (2 )(2 1) 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim 2 1 1 2 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim + ú û ù ê ë é - = ï þ ï ý ü ï î ï í ì ÷ ø ö ç è æ + - ú û ù ê ë é ®¥ - ®¥ n n n n n n n n n n 0。 2 2 1 £ lim × = ®¥ p n n 3 积分余项的 Taylor 公式 引理 ( ) [ , ] g x Î C x0 b ， "x : x0 < x £ b ，有 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) 0 0 0 g t x t dt m g t dt x t dt m x x m x x t x + - + - = úû ù êë é ò ò ò ， + m Î Z 证 g t dt x t dt m x x t x ( ) ( ) 0 0 1 1 - úû ù êë é ò ò 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 0 0 + - úû ù êë é + - = ò ò m x x t x g t dt d x t m ò ò + + - + - + + - = = = x x m m t x x t g t dt m g t dt x t m t x t x 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ò + - + = x x m x t g t dt m 0 ( ) ( ) 1 1 1 。 定理 4 设 ( ) ( , ) 0 0 1 f x C x h x h n Î - + + ，则 å= = - + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ， 其中 ò = - + x x n n n f t x t dt n R x 0 ( )( ) ! 1 ( ) ( 1) ， x - x0 < h 。 证 n =1时， ( ) 1! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 x x f x R x f x f x - ¢ = - - ò = ¢ - ¢ - x x f t dt f x x x 0 ( ) ( )( ) 0 0 [ ] ò ò ò úû ù êë é = ¢ - ¢ = ¢¢ x x t x x x f t f x dt f t dt dt 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ò ò - úû ù êë é = - ¢¢ x x t x f t dt d x t 0 0 ( ) ( ) 1 1 ò = ¢¢ - x x f t x t dt 0 ( )( ) 。 设n = m时成立，即 ú û ù ê ë é = - + + - m m m x x m f x R f x f x ( ) ! ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 L