第十二章函数项级数 §1函数序列的一致收敛概念 1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性: (1)fn(x) +n,x∈(-∞,+∞) (2)fn(a)=sin 5 i)x∈(-l,l),i)x∈(-∞,+∞) 3)fn(x)=m,x∈(0,1); (4)fn(x) +nT 7 i)x∈a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞); (5)1(x)=21+n23, i)x∈a,+∞),a>0,1i)x∈(0,+∞); (6)fn(x)=1n+x,x∈0,1 (7)fn(x)= i)x∈0,b),b 8)fn(a)=."-xin, E 0, 1; (9)fn(a)=on-rn+, r E[0, 1] (10)fn(x)=aln,x∈(0,1 (11)fn(x)=lm(1+em),x∈(-∞,+∞);
第十二章 函数项级数 §1 函数序列的一致收敛概念 1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： (1) fn(x) = q x 2 + 1 n2 , x ∈ (−∞, +∞); (2) fn(x) = sin x n , i) x ∈ (−l, l), ii) x ∈ (−∞, +∞); (3) fn(x) = nx 1+nx , x ∈ (0, 1); (4) fn(x) = 1 1+nx , i) x ∈ [a, +∞), a > 0, ii) x ∈ (0, +∞); (5) fn(x) = n 2 x 2 1 + n 3x 3 , i) x ∈ [a, +∞), a > 0, ii) x ∈ (0, +∞); (6) fn(x) = nx 1+n+x , x ∈ [0, 1]; (7) fn(x) = x n 1+xn , i) x ∈ [0, b), b 1; (8) fn(x) = x n − x 2n , x ∈ [0, 1]; (9) fn(x) = x n − x n+1, x ∈ [0, 1]; (10) fn(x) = x n ln x n , x ∈ (0, 1); (11) fn(x) = 1 n ln(1 + e −nx), x ∈ (−∞, +∞); 1
i)x∈[-l,li)x∈(-∞,+∞) 2.设fn(x)(n=1,2,…)在{a,b上有界,并且{fn(x)}在a,上一致收 敛,求证:fn(x)在,列上一致有界 3.设f(x)定义于(a,b),令 ()-=回ln=1,2,…) 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于f(x) 4.设f(x)在(a,b)内有连续的导数f(x),且 fn(r)=nf(a+-)-f(r) 求证:在闭区间a,(a<a<B<b)上,{fn(x)}-致收敛于f(x) 5.设f1(x)在{a,b上黎曼可积,定义函数序列 +1 (n=1,2,……) 求证:{fn(x)}在{a,b上一致收敛于零 6.问参数α取什么值时, fn(ar) ,n=1,2,3 在闭区间1]收敛?在闭区间0,1一致收敛?使 lim Jo fn(a)d可在积分 号下取极限? 7.证明序列fn(x)=ne-mr,(n=1,2,…)在闭区间,1]上收敛,但 lim fn(r)dr# lim fn(a)d. 8.设{fn(x)(n=1,2…)在(-∞,+∞)一致连续,且{fn(x)} 在(-∞,+∞)一致收敛于f(x).求证:f(x)在(-∞,+∞)上一致连续
(12) fn(x) = e −(x−n) 2 , i)x ∈ [−l, l] ii) x ∈ (−∞, +∞). 2．设fn(x)(n = 1, 2, · · ·) 在[a, b] 上有界，并且{fn(x)} 在[a, b] 上一致收 敛，求证：fn(x) 在[a, b] 上一致有界. 3．设f(x) 定义于(a, b) ，令 fn(x) = [nf(x)] n (n = 1, 2, · · ·). 求证：{fn(x)}在(a, b) 上一致收敛于f(x) . 4．设f(x)在(a, b) 内有连续的导数f 0 (x) ，且 fn(x) = n[f(x + 1 n ) − f(x)], 求证：在闭区间[α, β](a < α < β < b) 上，{fn(x)}一致收敛于f 0 (x) . 5．设f1(x)在[a, b] 上黎曼可积，定义函数序列 fn+1 = [nf(x)] n (n = 1, 2, · · ·). 求证：{fn(x)}在[a, b] 上一致收敛于零. 6. 问参数α 取什么值时， fn(x) = n αxe−nx, n = 1, 2, 3 · · · 在闭区间[0, 1] 收敛？在闭区间[0, 1] 一致收敛？使 limn→∞ R 1 0 fn(x)dx 可在积分 号下取极限？ 7．证明序列fn(x) = nxe−nx2 ,(n = 1, 2, · · ·) 在闭区间[0, 1] 上收敛，但 Z 1 0 limn→∞ fn(x)dx 6= limn→∞ Z 1 0 fn(x)dx. 8． 设{fn(x)(n = 1, 2, · · ·)} 在(−∞, +∞) 一 致 连 续 ， 且{fn(x)} 在(−∞, +∞) 一致收敛于f(x) . 求证：f(x) 在(−∞, +∞) 上一致连续. 2
9.设{fn(x)}是{a,b上的连续函数列,且{fn(x)}在{a,一致收敛 于f(x);又xn∈{a,(n=1,2,…),满足 lim In=xo,求证imfn(xrn) 10.设{fn(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),xo∈(a,b)且 imfn(x)=an,(n=1,2,……) 证明:iman和limf(x)存在且相等,即 lim lim fn(a)= limlim fn(a) n→x→x0 工→x0→∞ 11.设fn(a)(n=1,2,…)在a,黎曼可积,且{fn(x)}在[a,b一致收敛 于f(x),证明:f(x)在{a,b黎曼可积. 2函数项级数的一致收敛性及其判别法 1.求出下列函数项级数的收敛区域(绝对的和条件的): 2.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性: (1)∑(1-x)x2,x∈[0,1 n=0 (2) r2 2),x∈(-∞,+o 3.讨论下列函数项级数的一致收敛性: 3
9．设{fn(x)} 是[a, b] 上的连续函数列，且{fn(x)} 在[a, b] 一致收敛 于f(x) ；又xn ∈ [a, b](n = 1, 2, · · ·) ，满足 limn→∞ xn = x0 ，求证 limn→∞ fn(xn) = f(x0) 10．设{fn(x)} 在(a, b) 内一致收敛于f(x), x0 ∈ (a, b) 且 lim x−>x0 fn(x) = an,(n = 1, 2, · · ·). 证明： limn→∞ an 和 limx→x0 f(x) 存在且相等，即 limn→∞ limx→x0 fn(x) = limx→x0 limn→∞ fn(x) 11．设fn(x)(n = 1, 2, · · ·) 在[a, b] 黎曼可积，且{fn(x)}在[a, b]一致收敛 于f(x) ，证明：f(x) 在[a, b] 黎曼可积. §2 函数项级数的一致收敛性及其判别法 1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： (1) P∞ n=1 x n 1+x2n ; ⑵ P∞ n=1 n n+1 ¡ x 2x+1 ¢n ; ⑶ P∞ n=1 (−1)n 2n−1 ¡ 1−x 1+x ¢n ; ⑷ P∞ n=1 √ 1 n · 1 1+a 2nx2 . 2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： (1) P∞ n=0 (1 − x)x n , x ∈ [0, 1]; ⑵ P∞ n=1 (−1)n−1x 2 (1+x2) n , x ∈ (−∞, +∞) . 3．讨论下列函数项级数的一致收敛性： 3
r∈(-∞,+∞); (2)∑1+nx2,x∈(-∞,+∞) ,x∈p0,+∞); (4) 1+1mxzx,x∈( m(+x-),≤≤ x∈(-∞,+∞); m2,x∈0,1] (9) +是 x∈(-∞ 00∑,|≥r>1 (1D a,+∞), 4.讨论下列函数项级数的一致收敛性 n=1 ,∈ ∞0,+∞) 0,2] +n,x∈ (4∑3,x∈(-∞,+∞
⑴ P∞ n=1 sin nx √3 n4+x4 , x ∈ (−∞, +∞); ⑵ P∞ n=1 x 1+n4x2 , x ∈ (−∞, +∞) ⑶ P∞ n=1 (−1)n (1−e −nx) n2+x2 , x ∈ [0, +∞); ⑷ P∞ n=1 sin x x+2n , x ∈ (−2, +∞); ⑸ P∞ n=1 nx 1+n5x2 , x ∈ (−∞, +∞); ⑹ P∞ n=1 n 2 √ n! (x n + x −n ), 1 2 ≤ |x| ≤ 2; ⑺ P∞ n=1 x 2 e −nx, x ∈ (−∞, +∞); ⑻ P∞ n=1 x n lnn x n! , x ∈ [0, 1]; ⑼ P∞ n=2 µq x 2 + 1 n2 − q x 2 + 1 (n−1)2 ¶ , x ∈ (−∞, +∞); ⑽ P∞ n=1 n xn , |x| > r > 1; ⑾ P∞ n=1 ln(1+nx) nxn , x ∈ [a, +∞), a > 1. 4．讨论下列函数项级数的一致收敛性： (1) P∞ n=1 cos 2nπ √ 3 n2+x2 , x ∈ (−∞, +∞); (2) P∞ n=1 sin √x sin nx n+x , x ∈ [0, 2π]; (3) P∞ n=1 (−1)n x+n , x ∈ (−1, +∞); (4) P∞ n=1 (−1)n n+sin x , x ∈ (−∞, +∞); 4
(5)∑2in孙,x∈(0,+∞) ≤ ∈[-1,0 n=1 2n+1 x∈[-1,1 5.证明级数∑(-1)-1n4关于x在(-∞,+∞)上为一致收敛,但对 任何x并非绝对收敛;而级数 m2虽在∈(-∞,+∞)上绝对收敛, 但并不一致收敛 6.设每一项n(x)都是{a,上的单调函数,如果∑φn(x)在{a,b的端 点为绝对收敛,那么这级数在{a,b上一致收敛 7.若∑n(x)的一般项n1(x)≤cn(x),x∈x,并且∑cun(x)在X上 致收敛,证明∑un(x)在X上也一致收敛且绝对收敛 3和函数的分析性质 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性 (1)∑xn,-10;
(5) P∞ n=1 2 n sin 1 3 nx , x ∈ (0, +∞); (6) P∞ n=1 (−1) n(n−1) 2 √3 n2+e x , |x| 6 a; (7) P∞ n=1 x n √ n , x ∈ [−1, 0]; (8) P∞ n=1 (−1)n x 2n+1 2n+1 , x ∈ [−1, 1]. 5．证明级数 P∞ n=1 (−1)n−1 1 n+x2 关于x 在(−∞, +∞) 上为一致收敛，但对 任何x 并非绝对收敛；而级数 P∞ n=1 x 2 (1+x2) n 虽在x ∈ (−∞, +∞) 上绝对收敛， 但并不一致收敛. 6．设每一项ϕn(x) 都是[a, b] 上的单调函数，如果Pϕn(x)在[a, b] 的端 点为绝对收敛，那么这级数在[a, b] 上一致收敛. 7．若 P∞ n=1 un(x) 的一般项|un(x)| ≤ cn(x), x ∈ X,并且 P∞ n=1 cun(x) 在X上一 致收敛，证明 P∞ n=1 un(x) 在X上也一致收敛且绝对收敛. §3 和函数的分析性质 1. 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性： (1) P∞ n=0 x n , −1 0; 5
x (2+m,同>0 (8)∑a+xm,0内无穷次可微 4.证明∑nem在(0,+∞)内连续 5.设∑un(x)在(a,b)内一致收敛,∑un(x)(n=1,2,…)在[a,b上 n=1 连续, 求证 (1)∑n(x)在,b上一致收敛; (2)S(x)=∑un(x)在{a,b上连续 6.设级数∑an(x)收敛,证明 lim n 证明 1_c⊥n=1+22an
(6) P∞ n=1 sin nx n √ n , |x| 0; (8) P∞ n=1 x 2 (1+x2) n , |x| 0 上连续； ⑵f(x) 在x > 0 内无穷次可微. 4．证明 P∞ n=1 ne−nx 在(0, +∞) 内连续. 5．设 P∞ n=1 un(x) 在(a, b) 内一致收敛， P∞ n=1 un(x)(n = 1, 2, · · ·) 在[a, b] 上 连续， 求证： ⑴ P∞ n=1 un(x) 在[a, b] 上一致收敛； ⑵S(x) = P∞ n=1 un(x) 在[a, b] 上连续. 6．设级数 P∞ n=1 an(x) 收敛，证明 lim x−>0+ X∞ n=1 an nx = X∞ n=1 an. 7. 证明 1 − r 2 1 − 2r cos x + r 2 = 1 + 2X∞ n=1 an. 6
当p<1时成立,从而证明 r cos T 8.用有限覆盖定理证明迪尼定理 设{xn}是(0,1)内的一个数列,即0 且x1≠xf(i≠j) 讨论函数 在(0,1)中的连续性 7
当|r < 1| 时成立，从而证明 Z π π 1 − r 2 1 − 2r cos x + r 2 dx = 2π(|r| < 1). 8. 用有限覆盖定理证明迪尼定理. 9．设{xn} 是(0, 1) 内的一个数列，即0 < xn < 1 ，且xi 6= xj (i 6= j). 试 讨论函数 f(x) = X∞ n=1 sgn(x − xn) 2 n 在(0, 1) 中的连续性. 7