数学系2002级三、四班《数学分析》 复习-难题解析 (2003年6月) (华东师大《数学分析》上册第336页15题) (2)设∫为a,∞)上的连续可微函数,且当x→+∞时递减趋 于零。则t∞∫(x)dx收敛的充分必要条件是t∞xf(x)dx也收敛 提示:在充分性(←)的证明中,设t∞f(x)dx收敛,下证 lim f(=0 x→+∞ 事实上,由于∫递减趋于零,故-f(x)≥0,x∈[a,∞),因此,对任 意充分大的x,A∈a,∞),不妨认为A>x>0,有 A A cf'(a)d cl dn≥x/(-r()d=r(f(a)-f(4)≥0 注意到limf(x)=0.那么 I f()dx=lim x(-f(x)dx≥,limr(f(x)-f(A))=f(x)≥0 A→+∞ 进一步,由∞xf(x)dx收敛,有 0= lim rf'()dx> lim af(a)20 即, 华东师大《数学分析》下册第351页7题) 7.设f为[a,b×c,+∞)上的连续非负函数, f(a, y)dy
1 2002 – 2003 6 336 15 ! 2 " f # [a, ∞) $%&'()*+ x → +∞ ,-./ 01 +∞ a f(x) dx 23$45 678 +∞ a xf (x) dx 231 9:; 4 (⇐=) $ ? ) f -./0)@ −f (x) ≥ 0, x ∈ [a, ∞), ÆA)BC 4$ x, A ∈ [a, ∞), DEF# A>x> 0 ) | A x xf (x) dx| = A x x(−f (x)) dx ≥ x A x (−f (x)) dx = x(f(x)−f(A)) ≥ 0. G lim x→+∞ f(x)=0. HI | +∞ x xf (x) dx| = lim A→+∞ A x x(−f (x)) dx ≥ lim A→+∞ x(f(x)−f(A)) = xf(x) ≥ 0. JK) +∞ a xf (x) dx 23) 0 = lim x→+∞ | +∞ x xf (x) dx| ≥ lim x→+∞ xf(x) ≥ 0. L) lim x→+∞ xf(x)=0. M = 351 7 ! 7. " f # [a, b] × [c, +∞) $%NO() I(x) = +∞ c f(x, y) dy
在la,b上连续,证明I(x)在a,b上一致收敛 先证明 函数列的狄尼(Din)定理.设连续函数列{n(x)}对每个x∈a,b 为不增的数列。如果皿咖n(x)=0,x∈,b,那么,函数列{on(x)} 在a,b上一致地收敛于0 证明:由条件 o1(x)≥2(x)≥qn(x)≥…,x∈a,b 只需证明:对于任给的∈>0,存在自然数N,使得 0≤φN(x)≤ε,x∈a,b 采用反证法:如果存在ε>0,使得任意自然数n,都存在xn∈ a,b,满足 qhn(xn)≥0,n=1,2 既然,{xn}有界,则存在子列{xn}收敛,记 lim a=xo。这样, 对每个n,只要mk>n,就有 on(xn)≥n( 成立。所以,让k→+∞,有 on(ao) 这与条件 lim(x0)=0矛盾 可类似证明 推广的狄尼(Dini)定理1.设非负的二元函数a(x,y)定义在 a,b×[c,)上。如果o(x,y)满足有1)对于每个y∈[c,),作为x的
2 [a, b] %) 0 )Y Z N )[\ 0 ≤ φN (x) ≤ ε, x ∈ [a, b]. ] ^ _;UVY ε0 > 0 )[\C Z n )`Y xn ∈ [a, b] )a! φn(xn) ≥ ε0, n = 1, 2, ··· . bZ){xn} c)Y "R {xnk} 23)d lim k→∞ xnk = x0 1#$) BST n, nk > n, e φn(xnk) ≥ φnk (xnk) ≥ ε0 fg1h%)i k → +∞ ) φn(x0) = limk→∞ φn(xnk) ≥ ε0. #&67 lim n→∞ φn(x0)=0 jk1 &lm < '( (Dini) 1. "NO$M)( φ(x, y) n* [a, b]×[c, y0) 1UV φ(x, y) a! 1 BST y ∈ [c, y0), +# x $
函数在[a,上是连续的,(2)对每个x∈叵,b,作为y的函数在 ,)上单调不增,且limφ(x,y)=0,x∈a,b,那么,函数a(x,y) 当y→时关于x在a,b上一致地收敛于0 推广的狄尼(Dini)定理2.设非负的二元函数o(x,y)定义在 a,b×(c,+∞)上。如果(x,y)满足(1)对于每个y∈[c,+∞), 作为x的函数在[u,b上是连续的,(2)对每个x∈[a,b,作为y 的函数在[c,+∞)上单调不增,且limo(x,y)=0,x∈[a,b,那么, 函数o(x,y)当y→+∞时关于x在[a,b上一致地收敛于0 推广的狄尼(Din)定理2的证明.记on(x)=o(x,n),n=1,2,3 由题设条件可知,连续函数列{n(x)}满足函数列的狄尼定理条件, 故{n(x)}在{a,b上一致地收敛于零。因此,对任给的ε>0,存在 自然数N,使得当n≥N时,有0≤n(x)≤ε,对一切x∈[a,b成 鉴于条件(1),当y≥N时,有0≤叭(x,y)≤(x,N)≤∈,对 切x∈[a,成立.所以,函数o(x,y)当y→+∞时关于x在[a,b 上一致地收敛于0 7题的证明:记v(x,y)=f(x,t)d,y∈c,+∞),以及o(x,y)= (x)-f(x,t)d,y∈[c,+∞).容易看到,函数v(x,y),y∈c,+∞),满 足推广的狄尼(Dini)定理2,因此,二元函数(x,y)当y→+∞时关 于x在a,b]上一致地收敛于0,即含参变量广义积分t∞f(x,t)t 在ab]上一致地收敛于I(x)
3 ( [a, b] 8%$) 2 BST x ∈ [a, b] )+# y $( [c, y0) opD )* lim y→y− 0 φ(x, y)=0, x ∈ [a, b] )HI)( φ(x, y) + y → y− 0 ,q x [a, b] W23 0 1 '( (Dini) 2. "NO$M)( φ(x, y) n* [a, b] × [c, +∞) 1UV φ(x, y) a! 1 BST y ∈ [c, +∞), +# x $( [a, b] 8%$) 2 BST x ∈ [a, b] )+# y $( [c, +∞) opD )* lim y→+∞ φ(x, y)=0, x ∈ [a, b] )HI) ( φ(x, y) + y → +∞ ,q x [a, b] W23 0 1 '( (Dini) 2 ,-Qd φn(x) = φ(x, n), n = 1, 2, 3 ··· . !"67&.)%(R {φn(x)} a!(R$rsnt67) @ {φn(x)} [a, b] W2301ÆA)BCX$ ε > 0, Y Z N, [\+ n ≥ N ,) 0 ≤ φn(x) ≤ ε, Bu x ∈ [a, b] f g1 v67 1 )+ y ≥ N ,) 0 ≤ φ(x, y) ≤ φ(x, N) ≤ ε )B u x ∈ [a, b] fgQh%)( φ(x, y) + y → +∞ ,q x [a, b] W23 0 1 7 /,-;d ψ(x, y) = y c f(x, t) dt, y ∈ [c, +∞), %w φ(x, y) = I(x) − y c f(x, t) dt, y ∈ [c, +∞). x0yG)( ψ(x, y), y ∈ [c, +∞), a !z{$rs (Dini) nt 2 )ÆA)M)( φ(x, y) + y → +∞ ,q x [a, b] W23 0 )L|}Æ~{* +∞ c f(x, t) dt [a,b] W23 I(x) 1